2025届新疆奎屯市农七师高级中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届新疆奎屯市农七师高级中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.24种 B.81种C.64种 D.256种2．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为A.2 B.3C.4 D.53．已知a，b为不相等实数，记，则M与N的大小关系为（）A. B.C. D.不确定4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）A.-18 B.-6C. D.5．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（）A. B.C. D.6．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.7．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是()A. B.C. D.9．已知某班有学生48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是（）A.26 B.27C.28 D.2910．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为A.第5项 B.第6项C.第7项 D.第8项11．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺12．已知是数列的前项和，，则数列是（）A.公比为3的等比数列 B.公差为3的等差数列C.公比为的等比数列 D.既非等差数列，也非等比数列二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________14．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________15．若等比数列的前n项和为，且，则__________.16．在三棱锥中，点Р在底面ABC内的射影为Q，若，则点Q定是的______心三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直线PA与CD所成角为60°.（1）求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）：任意两个等边三角形都是相似的；（2）：，.19．（12分）如图长方体中，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.20．（12分）已知中，内角的对边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.21．（12分）已知圆，P（2，0），M点是圆Q上任意一点，线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，当M点在圆上运动时，点C的轨迹为曲线C（1）求曲线C方程；（2）已知直线l：x＝8，A、B是曲线C上的两点，且不在x轴上，，垂足为，，垂足为，若D（3，0），且的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值22．（10分）已知函数的图象在处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用分步乘法计数原理进行计算.【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有种.故选：D2、D【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.3、A【解析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒【详解】因为，又，所以，即故选：A4、A【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.【详解】由题设，，，则，又，，所以.故选：A5、C【解析】根据等比数列的求和公式求解即可.【详解】从第1次着地到第2次着地经过的路程为，第2次着地到第3次着地经过的路程为，组成以为首项，公比为的等比数列，所以第1次着地到第8次着地经过的路程为，所以经过的总路程是.故答案为：C.6、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.7、D【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.8、A【解析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可【详解】，或，∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，∴f(x)有极大值，要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，则，又或，∴，综上，.故选：A.9、B【解析】由系统抽样可知抽取一个容量为4的样本时,将48人按顺序平均分为4组,由已知编号可得所求的学生来自第三组,设其编号为,则,进而求解即可【详解】由系统抽样可知,抽取一个容量为4的样本时,将48人分为4组,第一组编号为1号至12号；第二组编号为13号至24号；第三组编号为25号至36号；第四组编号为37号至48号,故所求的学生来自第三组,设其编号为,则,所以,故选:B【点睛】本题考查系统抽样的编号,属于基础题10、C【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.11、A【解析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A12、D【解析】由得，然后利用与的关系即可求出【详解】因为，所以所以当时，时，所以故数列既非等差数列，也非等比数列故选：D【点睛】要注意由求要分两步：1.时，2.时.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、200【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.故答案：200.14、【解析】设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.【详解】解：圆的圆心为，半径长为，设点，由点为椭圆上的动点，可得：且，由为圆的任意一条直径可得：，，，，，当时，取得最大值，即.故答案为：.15、5【解析】根据题意和等比数列的求和公式，求得，结合求和公式，即可求解.【详解】因为，若时，可得，故，所以，化简得，整理得，解得或，因为，解得，所以.故答案为：.16、外【解析】由可得，故是的外心.【详解】解：如图，∵点在底面ABC内的射影为,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案为：外.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1），所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，然后过P在平面PAB内作，可得平面ABCD，从而可求出答案.（2）可证平面PAB，过B在平面PAB内作，连结CF，则是二面角的平面角，从而可求解.【小问1详解】因为，所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，可知，是正三角形.过P在平面PAB内作，垂足为E，因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直线PD与平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.【小问2详解】因为，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.则过B在平面PAB内作，垂足为F，连结CF，又,则平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因为，，所以，从而所以二面角正弦值为.18、（1）存在两个等边三角形不是相似的，假命题（2），真命题【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【小问1详解】解：命题“任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定“存在两个等边三角形不是相似的”，命题为假命题.【小问2详解】解：根据全称命题与存在性命题关系，可得：命题的否定为.因为，所以命题为真命题.19、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【详解】（1）连接交与点，连接四边形为正方形，点为的中点又点为的中点，平面，平面平面（2）连接由勾股定理可知，，则同理可证，平面平面（3）建立如下图所示的空间直角坐标系显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为由（2）可知平面，即平面的法向量为又二面角是钝角二面角的余弦值为【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.20、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根据题意，由余弦定理得，再根据基本不等式求得，当且仅当时取得等号，即可求出面积的最大值.【小问1详解】解：由题意得，由正弦定理得：，即，即，因为，所以【小问2详解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，当且仅当时取得等号，，所以面积的最大值为21、（1）（2）【解析】（1）由定义法求出曲线C的方程；（2）先判断出直线AB过定点H(2,0)或H(4,0).当AB过定点H(4,0)，求出最大；当H(2,0)时，可设直线AB：.用“设而不求法”表示出，不妨设（），利用函数的单调性求出△ABD面积的最大值.【小问1详解】因为线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，所以,所以,符合椭圆的定义，所以点C的轨迹为以P、Q为焦点的椭圆，其中，所以，所以曲线C的方程为.【小问2详解】不妨设直线l：x＝8交x轴于G(8,0)，直线AB交x轴于H(h,0)，则,.因为，，，所以.又因为的面积是△ABD面积的5倍，所以.因为G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).当H(4,0)时，则H与A（或H与B）重合，不妨设H与A重合，此时，，要使△ABD面积最大，只需B在短轴顶点时，=2最大，所以最大；当H(2,0)时，要想构成三角形ABD，直线AB的斜率不为0，可设直线AB：.设,则，消去x可得：，所以，，，所以.不妨设（），则，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，所以当t=4时，，此时最大综上所述，△ABD面积的最大值为.【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（2）解析几何中最值计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：表示为函数，