2019高三数学（人教A版理）一轮教师用书第3章第8节　正弦定理余弦定理应用举例

第八节正弦定理、余弦定理应用举例[考纲](教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(对应学生用书第64页)[基础知识填充]1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图3­8­1①)．①②图3­8­12．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3­8­1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A．10eq\r(,3)nmile B．eq\f(10\r(,6),3)nmileC．5eq\r(,2)nmile D．5eq\r(,6)nmileD[如图，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(,6).]3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°B[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]4．如图3­8­2，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()图3­8­2A．50eq\r(3)mB．25eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD．50eq\r(2)mD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m．]5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.70[设两船之间的距离为d，则deq\s\up7(2)＝50eq\s\up7(2)＋30eq\s\up7(2)－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.](对应学生用书第65页)测量距离问题如图3­8­3，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)【导学号：97190136】图3­8­360[如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°得AC＝92m.在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得eq\f(92,sin113°)＝eq\f(BC,sin37°)，即eq\f(92,sin67°)＝eq\f(BC,sin37°)，解得BC＝eq\f(92sin37°,sin67°)≈60(m)．][规律方法]求解距离问题的一般步骤1画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；2明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；3使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答.[跟踪训练]如图3­8­4所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．图3­8­4[解]在△ABC中，由余弦定理得ABeq\s\up7(2)＝ACeq\s\up7(2)＋BCeq\s\up7(2)－2AC·BCcos∠ACB，∴ABeq\s\up7(2)＝400eq\s\up7(2)＋600eq\s\up7(2)－2×400×600cos60°＝280000，∴AB＝200eq\r(7)(m)，即A，B两点间的距离为200eq\r(7)m.测量高度问题如图3­8­5，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图3­8­5100eq\r(6)[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．][易错警示]解决高度问题的注意事项1在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2在实际问题中，可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.[跟踪训练]如图3­8­6，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为________米．图3­8­65eq\r(21)[如图，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．设OC＝x米，则OA＝eq\f(\r(3),3)x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，得ABeq\s\up7(2)＝OAeq\s\up7(2)＋OBeq\s\up7(2)－2OA·OB·cos∠AOB，即35eq\s\up7(2)＝eq\f(x2,3)＋xeq\s\up7(2)－eq\f(2\r(3),3)xeq\s\up7(2)·cos150°，整理得x＝5eq\r(21)，所以此电视塔的高度是5eq\r(21)米．]测量角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10eq\r(3)海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．[解]如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有ABeq\s\up7(2)＝ACeq\s\up7(2)＋BCeq\s\up7(2)－2AC·BC·cos120°，可得(10eq\r(3)t)eq\s\up7(2)＝10eq\s\up7(2)＋(10t)eq\s\up7(2)－2×10×10tcos120°.整理得2teq\s\up7(2)－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(BC·sin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).∴∠CAB＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.[易错警示]解决测量角度问题的注意事项1应明确方位角或方向角的含义.2分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.3将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.[跟踪训练]如图3­8­7，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值.【导学号：97190137】图3­8­7[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BCeq\s\up7(2)＝ABeq\s\up7(2)＋ACeq\s\up7(2)－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20eq\r(7).由正