121全等三角形的性质（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)

12.1全等三角形的性质全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.题型1：全等形的识别1.1．下列各组两个图形属于全等图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，B.两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意，C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，D.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，故答案为：B.【分析】根据全等形的定义：能够完全重合的图形叫做全等形，逐项进行判断，即可得出答案.【变式11】下列说法正确的是（）A．两个长方形是全等图形B．形状相同的两个三角形全等C．两个全等图形面积一定相等D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】C【解析】【解答】解：A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；C、两个全等图形面积一定相等，故正确；D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形.故答案为：C.【分析】形状、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答即可.【变式12】下列说法中，正确的有（）①正方形都是全等形；②等边三角形都是全等形；③形状相同的图形是全等形；④大小相同的图形是全等形；⑤能够完全重合的图形是全等形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】【解答】解：正方形不一定都是全等形，故①不符合题意；等边三角形不一定都是全等形，故②不符合题意；形状相同的图形不一定都是全等形，故③不符合题意；大小相同的图形不一定都是全等形，故④不符合题意；能够完全重合的图形是全等形，故⑤符合题意；故答案为：A．【分析】由全等形：能够完全重合的图形是全等形，逐一判断各选项即可得到答案．全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.2.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.题型2：全等三角形的对应元素2.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边是（）A．CD B．CA C．DA D．AB【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，

∴BC=DA

∴BC的对应边是DA.

故答案为：C.

【分析】利用全等三角形的性质，可知点A的对应点为C，点B的对应点为点D，由此可得到BC的对应边。【变式21】已知图中的两个三角形全等，AD与CE是对应边，则A的对应角是（）A．∠BCE B．∠E C．∠ACD D．∠B【答案】A【解析】【解答】观察图形知，AD与CE是对应边∴∠B与∠ACD是对应角又∠D与∠E是对应角∴∠A与∠BCE是对应角．故答案为：A．【分析】观察图形，AD与CE是对应边，根据对应边去找对应角．【变式22】已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．【答案】解：△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，则∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．【解析】【分析】根据全等三角形中，重合的点是对应顶点，重合的角是对应角可求解。全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.注意：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.题型3：全等三角形的性质3.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．所有的直角三角形都是全等三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】B【解析】【解答】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项不符合题意；B、全等三角形的周长和面积分别相等，该选项符合题意；C、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项不符合题意；D、所有的等边三角形不一定都是全等三角形，该选项不符合题意；故答案为：B．

【分析】根据三角形全等的性质及判定判断各选项即可。【变式31】如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列错误的等式是（）A．AD＝DE B．∠BAE＝∠CADC．BE＝DC D．AB＝AC【答案】A【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴AB=AC，AD=AE，BE=CD，∠BAE=∠CAD，∴B、C、D不符合题意，A符合题意，故答案为：A．

【分析】根据全等三角形的性质逐项判断即可。【变式32】如图，△ABC≌△DEC，∠A=∠D，AC=DC，则下列结论：①BC=CE；②AB=DE；③∠ACE=∠DCA；④∠DCA=∠ECB．成立的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC=EC，AB=DE，∵∠DCA=∠DCE−∠ACE，∴∠DCA=∠ECB，故③不符合题意，④符合题意，综上所述：正确的有①②④；故答案为：B．

【分析】根据全等三角形的性质逐项判断即可。题型4：全等三角形的性质的应用求边或角4.如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=75°，则∠ACD的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，∵∠B=75°，∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，故答案为：C．【分析】先求出BC=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，最后计算求解即可。【变式41】已知：如图，△ABC≌△DEF，BC=8cm，EC=5cm，求线段CF的长．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∵BC=8cm，∴EF=BC=8cm，∵EC=5cm，∴CF=EF−EC=8−5=3(cm)．【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得BC=EF，再利用线段的和差计算即可。【变式42】如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．【答案】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAC+∠CAD=105°，

∴2∠BAC=105°∠CAD=70°，

∴∠BAC=35°，

∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=35°+35°=70°，

∴∠BFD=∠B+∠BAF=20°+70°=90°，

∴∠BED=∠BFD∠D=90°20°=70°.【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出∠DAE=∠BAC，然后根据角的和差关系列式求出∠BAC，再根据三角形外角的性质求出∠BFD，则可根据三角形外角的性质求∠BED即可.题型5：全等三角形的性质的应用证明5.如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形对应边相等可得BC=EC，根据等边对等角可得∠B=∠BEC，从而得到∠BEC=∠DEC，再根据角平分线的定义证明即可．【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，

∴∠B=∠DEC，BC=EC，

∴∠B=∠BEC，

∴∠BEC=∠DEC，

∴CE平分∠BED．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．【变式51】如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：BD=CE+DE．【分析】根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可．【解答】解：∵△BAD≌△ACE，

∴BD=AE，AD=CE，

∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，

即BD=DE+CE．【点评】此题考查了全等三角形的性质，关键是通过三角形全等得出正确的结论．【变式52】已知，△ABC≌△EBD，点D与点C是对应点，求证：∠AFE=∠ABE．【分析】根据△ABC≌△EBD得到∠A=∠E，结合对顶角相等即可得出结论．【解答】证明：∵△ABC≌△EBD，

∴∠A=∠E，

在△AFG和△EBG中，

∵∠AGF=∠EGB，

∴∠AFG=∠EBG，

即∠AFE=∠ABE．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，此题难度不大．题型6：全等三角形的性质的应用位置关系6.如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系．【答案】解：AD与BC的位置关系为AD//BC．∵ΔADF≅ΔCBE，∴∠ADF=∠CBE．又∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠CBD=180°，∴∠ADB=∠CBD．∴AD//BC．【解析】【分析】平行.理由：由全等三角形的性质可得∠ADF=∠CBE，利用补角的性质可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定即得结论.【变式61】如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？【答案】解：AD⊥BC．证明：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，∵B，D，C在同一条直线上，∴∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．【解析】【分析】利用全等三角形的性质可知：∠ADB=∠ADC，再利用平角性质可得∠ADB=∠ADC=90°，即可证出结论。【变式62】如图，在△ADC中，∠ADC=90°，△ADC≌BDH，那么BH与AC互相垂直吗？请说明理由．【分析】由△ADC≌BDH可得出∠C=∠BHD、∠ADC=∠BDH=90°，根据三角形内角和定理可得出∠B+∠BHD=∠B+∠C=90°，进而可得出∠BEC=90°，即BH⊥AC．【解答】解：BH⊥AC，理由如下：

∵△ADC≌BDH，

∴∠C=∠BHD，∠ADC=∠BDH=90°．

∵∠B+∠BHD+∠BDH=180°，

∴∠B+∠BHD=∠B+∠C=90°，

∴∠BEC=90°，

∴BH⊥AC．【点评】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理找出∠BEC=90°是解题的关键．一、单选题1．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【答案】B【解析】【解答】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③.故答案为：B.【分析】根据全等图形的概念进行判断.2．已知△ABC≌△DEF，根据图中信息，得x=（）A．15 B．18 C．20 D．25【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，又∵△ABC≌△DEF，∴∠A与∠D为对应角，∴可得BC与EF为对应边，∴BC=EF，∴x=20．故答案为：C．

【分析】根据全等三角形的性质可得：BC=EF即可得到答案。3．如图，已知△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD的长为()A．4 B．5 C．6 D．不确定【答案】B【解析】【解答】已知△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质可得AD=CB=5，故答案为：B【分析】根据全等三角形的性质可得AD=CB=5。4．如图，△ABC≌△ADE，∠C=40°，则∠E的度数为（）A．80° B．75° C．40° D．70°【答案】C【解析】【解答】因为△ABC≌△ADE，所以∠C=∠E，又因为∠C=40°，所以∠E=40°．故答案为：C．【分析】根据全等三角形对应角相等得出∠C=∠E=40°。5．如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2，∴AB＝AC＝5，∴EC=ACAE=52=3，故答案为：B．【分析】先求出AB＝AC＝5，再计算求解即可。6．如图，在△ABC外找一个点A′（与点A不重合），并以BC为一边作△A′BC，使之与△ABC全等，且A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【解答】解：如图：以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A′、A1′故答案为：C.【分析】以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A′、A1′；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点A2′，据此解答.7．如右图，△ABC≌△FDE，∠C=40°，∠F=110°，则∠B等于（）

A．20° B．30° C．40° D．150°【答案】B【解析】【分析】先根据全等三角形的性质可求得∠BAC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求得结果。

【解答】△ABC≌△FDE，∠F=110°

∴∠BAC=∠F=110°

∵∠C=40°

∴∠B=30°

故选B.

【点评】解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等，三角形的内角和为180°.二、填空题8．若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=5，EF=4，AC=.【答案】3【解析】【解答】∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF=4，∵△ABC的周长为12，AB=5，∴AC=1254=3.【分析】根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可求解.9．如图，△ABC≌△DFE，CE＝6，FC＝2，则BC的长为．【答案】8【解析】【解答】解：∵CE=6，FC=2，∴EF=CE+FC=2+6=8，∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF=8，故答案为：8.【分析】首先根据线段的和差算出EF的长，然后根据全等三角形的对应边相等得出BC=EF=8。10．如图所示，已知ΔABC≅ΔADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，若∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，则∠【答案】65°【解析】【解答】解：∵ΔABC≅ΔADE，∠ACB=∠E=105°，

∴∠FCA=180°∠ACB=180°105°=75°，∠AFC=180°∠FCA∠FAC=180°75°15°=90°，

∴∠DFG=∠AFC=90°，∠DGB=90°∠D=9025°=65°.

故答案为：65°.

【分析】先由三角形全等的性质求出∠ACB=∠E=105°，再由补角的性质求出∠FCA，然后由三角形内角和定理求出∠AFC，则∠DFG的角度可知，在△DFG中，用内角和定理即可求出∠DGB的度数.11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4,3），B（4,0），在坐标轴上有一点C，使得△AOB与△COB全等，则C点坐标为.【答案】（0,3）或（0，3）【解析】【解答】解:∵A（4,3），B（4,0），∴AB=3,OB=4,∠ABO=90°∵△AOB与△COB全等，∴OC=AB∵AB=3∴CO=3∴C点坐标为（0,3）或（0，3）.故答案为:（0,3）或（0，3）.

【分析】由点O、点A和点B的坐标可知若使△AOB与△COB全等，则需OC=AB且点C在y轴上，则可得到点C的坐标。三、解答题12．如图，已知△ABD≌△ACE．求证：BE=CD．【答案】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∴BE=ABAE=ACAD=CD．【解析】【分析】利用全等三角形的性质：对应边相等求解即可。13．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC的度数。【答案】解：∵△ABC≌△ADE∴∠BAC