专题11直角三角形的边角关系（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）

专题1.1直角三角形的边角关系（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】锐角三角函数正弦：sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq\f(a,b).【知识点二】特殊三角函数度数三角函数30°45°60°1【知识点三】解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：；(2)锐角之间的关系：；(3)边角之间的关系：，，.【知识点四】解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有.(3)方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4)解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【考点目录】【考点1】锐角三角函数；【考点2】特殊角三角函数值的计算；【考点3】解直角三角形；【考点4】锐角三角函数与相关知识综合【考点5】三角函数与实际问题【考点一】锐角三角函数【例1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴上，连接并延长至点，连接，若满足，求所在直线的函数表达式．

【答案】【分析】此题考查待定系数法求一次函数的解析式，三角函数，相似三角形的判定和性质：根据及公共角证得，得到，根据三角函数值求得，得到，再利用待定系数法求出函数解析式，综合掌握所学知识是解题的关键．解：∵，∴

又∵∠C是公共角，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，设所在的直线方程为，将，代入得，，∴，∴所在的直线为．【举一反三】【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在中，，，则（

）

A． B．3 C． D．【答案】A【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义计算，得到答案．解：在中，，，故选：A．【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可．（1）解：如图，作于，的延长线于，

由题意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案为：；（3）解：由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点二】特殊角三角函数值的计算【例2】（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再按照实数混合运算法则进行计算即可；（2）先根据绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质进行化简，然后再进行计算即可．（1）解：；（2）．【点拨】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质．【举一反三】【变式1】（2023·江苏盐城·校考一模）已知，则锐角的度数等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据特殊角三角函数值，直接判断的度数即可．解：，锐角的度数为，故选：C．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，熟练掌握常见特殊角三角函数值是解题关键．【变式2】（2023上·山东潍坊·九年级高密市立新中学校考阶段练习）．【答案】/【分析】根据负整数指数幂，特殊角的是三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．解：，故答案为：．【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的是三角函数值，零指数幂是解题的关键．【考点三】解直角三角形【例3】（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）如图，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图是晒衣架的侧面示意图，立杆、相交于点，、两点立于地面，经测量：，，．现将晒衣架完全稳固张开，扣链成一条线段，且．（1）求证：；（2）求扣链与立杆的夹角的度数．（精确到）（参考数据：，，）【答案】（1）见分析；（2）扣链与立杆的夹角【分析】（1）证，得，利用相似三角形的性质即可得证；（2）作交于，由等腰三角形的性质得，进而求得，从而即可得解．解：（1）证明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图，作交于，，∵，，，∴，，∵，∴．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案．正确地找到全等三角形的对应边并且用代数式表示线段、、的长是解题的关键．解：设，四边形是矩形，，，，由折叠得，，，，，，，且，，，，解得，（不符合题意，舍去），，，，故选：．【变式2】（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是．

【答案】1或3【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，分两种情况：当时，；当时，，分别进行计算即可，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．解：当时，，

四边形是矩形，，，，，，，；当时，，

；综上所述，的长是1或3，故答案为：1或3．【考点四】锐角三角函数与相关知识综合【例4】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在中，，，，，，交．求：（1）的长；（2）的值．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出的长即可；（2）先利用勾股定理求得，从而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函数值得出答案．（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在矩形中，，点在直线上，若矩形的周长为，点到直线的距离的长为6，则点到直线的距离的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知识．利用矩形性质求出的长，利用锐角三角函数求出的长，再利用勾股定理即可求出最后结果，其中证明是解题关键．解：四边形为矩形，，，，，且矩形的周长为，，解得：，于点，于点，，，，，，，，点到直线的距离的长为，故选:．【变式2】（2023·广东湛江·校考一模）如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于．

【答案】【分析】本题主要考查菱形的性质和解直角三角形，由题意得，，进一步有，由得，，结合菱形面积求得x，可得点F的坐标，代入反比例函数即可求得答案．解：如图，过点D作过点C作，，设，

∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，，∴点C坐标为，∵反比例函数的图象经过点C，∴代入点C得：，故答案为：．【考点五】三角函数与实际问题【例5】（2023上·福建泉州·九年级统考期中）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的点处用测角仪测得楼房顶端点的仰角为，向楼房前行在点处测得楼房顶端点的仰角为，已知测角仪的高度是（点，，在同一条直线上），根据以上数据求楼房的高度．（，结果保留一位小数）

【答案】楼房的高度约为【分析】本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，再在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得．解：由题意得：，，，，，，，，在中，，，答：楼房的高度约为．【举一反三】【变式1】（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，根据题意可得然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长，即可解答.解：如图：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，

由题意得：，在中,海里，，（海里），（海里）,海里，海里，在中,海里，海里，∴小岛A与出发点B之间的距离为海里，故选:A.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.【变式2】（2023上