第08讲正方形的性质和判定（原卷版）

第08讲正方形的性质和判定知识点1：正方形的概念与性质正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）知识点2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：考点剖析考点1：正方形的概念和性质【典例1】（2021秋•萧县期末）矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．每条对角线平分一组对角【变式11】（2022春•双台子区期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等【变式12】（2020秋•罗湖区校级期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角【典例2】（2022春•溆浦县期中）一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【变式21】（2022秋•临淄区期末）如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝1cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式22】（2022春•涿州市期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【变式23】（2022春•乌拉特前旗期末）如图，四边形ABCD是边长为10的正方形，点E在正方形内，且AE⊥BE，又BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．76 B．24 C．48 D．88考点2：正方形的判定【典例3】（2022秋•莱西市期末）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形【变式31】（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式32】（2022秋•济阳区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【变式33】（2022春•卫辉市期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【典例4】（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【变式41】（2022秋•郓城县期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形．【变式42】（2022春•宽城区期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：△ABF≌△DAE．（2）求证：四边形ABCD是正方形．【变式43】（2022秋•二七区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当∠BAC＝°时，四边形ADCE是一个正方形，并说明理由．考点3：正方形的性质与判定综合【典例5】（2022春•临沭县期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．【变式51】（2022春•赣县区校级期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【变式52】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【变式53】（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．过关检测一．．选择题（共10小题）1．（2022秋•浦北县期末）一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形，则矩形面积是（）A． B．9cm2 C． D．27cm22．（2023秋•福田区校级期中）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是（）A．119 B．129 C．139 D．1493．（2023秋•六盘水期中）如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A、C两点坐标分别为（﹣2，2）、（1，﹣1），则点B的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣3，﹣1）4．（2023春•和县校级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等边三角形5．（2023秋•三元区期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BAE为（）A．145° B．150° C．155° D．160°6．（2023•攀枝花）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（）A． B．2 C． D．7．（2023秋•锦江区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°，▱ABCD是矩形 B．当AB＝BC，▱ABCD是菱形 C．当AC⊥BD，▱ABCD是菱形 D．当AC＝BD，▱ABCD是正方形8．（2023秋•锦江区校级期中）如图，边长为的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（）A． B． C． D．9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（）A．5 B．5 C．2.5 D．10．（2023秋•深圳期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④二．填空题（共6小题）11．（2023秋•山亭区期中）如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝cm．12．（2023秋•法库县期中）如图，以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．13．（2023春•秦淮区期末）正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．14．（2023春•嵊州市期末）小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是．（写出一个即可）15．（2023•西湖区校级开学）将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的▱ABCD，其中△ABF≌△CDH，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，则CD的长为．16．（2023春•仙桃月考）如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的是（填序号）．三．解答题（共4小题）17．（2023秋•薛城区期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．（2）线段DF与AB有怎样的关系？请写出并证明你的结论．（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．18．（2023秋•法库县期中）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．（1）求证：四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．19．（2022秋•鄄城县期末）（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图1．求证：四边形AEA'D是正方形；（2）将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠