2019高三数学（人教A版理）一轮教师用书第2章第9节　函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用[考纲](教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(对应学生用书第29页)[基础知识填充]1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝axeq\s\up7(2)＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·beq\s\up7(x)＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝aeq\s\up7(x)(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜aeq\s\up7(x)3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[知识拓展]“对勾”函数形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，当x＜0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2eq\s\up7(x)的函数值比y＝xeq\s\up7(2)的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0＜xeq\o\al(n,0)＜logax0.()(4)f(x)＝xeq\s\up7(2)，g(x)＝2eq\s\up7(x)，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A．100只 B．200只C．300只 D．400只B[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.]3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是()A．减少7.84% B．增加7.84%C．减少9.5% D．不增不减A[设某商品原来价格为a，依题意得：a(1＋0.2)eq\s\up7(2)(1－0.2)eq\s\up7(2)＝a×1.2eq\s\up7(2)×0.8eq\s\up7(2)＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]4．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()B[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B．]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．eq\r(1＋p1＋q)－1[设年平均增长率为x，则(1＋x)eq\s\up7(2)＝(1＋p)·(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.](对应学生用书第30页)用函数图象刻画变化过程(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()(2)如图2­9­1所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()图2­9­1A．1个 B．2个C．3个 D．4个(1)A(2)C[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A．(2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越来越慢的，正确；③中的增长速度是先快后慢再快，正确；④中的增长速度是先慢后快再慢，也正确，故②③④正确．选C．][规律方法]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法1构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.2验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.[跟踪训练]设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()【导学号：97190066】D[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D．]应用所给函数模型解决实际问题(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图2­9­2所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的重量最大为________kg.图2­9­2(2)一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．(1)19(2)16[(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－eq\s\up7(2)4b，则t＝24，所以再经过16min.][规律方法]求解所给函数模型解决实际问题的关注点1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3利用该模型求解实际问题.易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围.[跟踪训练](2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0＜x≤A，,C＋Bx－A，x＞A.))已知某家庭2017年前三个月的煤气费如下表：【导学号：97190067】月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x＞5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)(20－5)＝11.5，故选A．]构建函数模型解决实际问题(2017·山西孝义模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？[解](1)当x≤6时，y＝50x－115.令50x－115＞0，解得x＞2.3.∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3xeq\s\up7(2)－68x＋115＜0.又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈N*.))(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185.对于y＝－3xeq\s\up7(2)＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up7(2)＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈N*)，当x＝11时，ymax＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．[规律方法]构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法1构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.2构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.3构建fx＝x＋eq\f(a,x)a＞0模型，常用基本不等式、导数等知识求解.易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.[跟踪训练](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0