控制工程基础第二章2

第二章系统的数学模型所谓系统的数学模型就是描述系统输入输出关系的数学表达式,它揭示了系统结构及其参数与性能的内在联系。建立起控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、设计、综合，是控制系统的基本研究方法。机械、电气、液压的系统，其输入输出的关系都可以用微分方程式来描述。而要了解系统对输入量的动态响应，按古典的方法就必须解微分方程式，但对高阶系统就是很麻烦的工作。为了解决这一问题，控制工程采用了传递函数的概念，应用拉普拉斯变换与反变换的数学工具，得到系统的动态响应。

建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。微分方程（时间域）代数方程（复数域）传递函数方块图信号流图拉氏变换拉氏反变换物理系统原始数学模型本书中所涉及的数学模型：微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础。系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法来获取，两种方法是相辅相成的。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式。从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模，本章重点研究。

如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程；除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程。当系统的动态特性可由线性微分方程来描述时，该系统称为线性系统。

.线性系统第二节线性微分方程式的建立一．列写系统微分方程的一般步骤： P12将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节列写一个方程；根据物理定律或通过实验得出的物理规律列写各环节的原始方程，并适当简化，线性化；将各环节方程式联立，削去中间变量，最后得到只含有输入（等式右边）、输出变量（等式左边）以及参量的系统方程式。只要保证方程的个数比中间变量个数多1，那么肯定能消除中间变量。机械系统微分方程——基础知识1机械系统微分方程——基础知识2机械系统微分方程——基础知识3电气系统微分方程——基础知识1电气系统微分方程——基础知识2几阶系统？几阶系统？例1质量-弹簧-阻尼系统例2无源电路网络例3电枢控制式直流电动机（自学）将上面四个方程联立，可得单输入、单输出系统微分方程的一般形式：

第四节拉普拉斯变换

—一种解线性微分方程的简便方法是分析工程控制系统的基本数学方法

为什么将其引入？第四节拉普拉斯变换

—一种解线性微分方程的简便方法是分析工程控制系统的基本数学方法

微分方程（时间域）代数方程（复数域）拉氏变换拉氏反变换传递函数一、拉普拉斯变换的定义：对于函数，满足下列条件象函数原函数复变量量纲二、简单函数的拉氏变换单位阶跃函数

0t12.单位斜坡的拉氏变换例2－3求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。单位斜坡函数如图所示，定义为

f(t)t3．求单位脉冲函数的拉氏变换f(t)tδ(t)单位脉冲函数如右图所示解

4. 指数函数

0t1应记住的

一些简单函数的

拉氏变换原函数象函数二、拉氏变换的主要定理1、线性定理微分定理两个重要推论：积分定理两个推论：4初值定理5终值定理6时域位移定理延时定理007复域位移定理记忆：时域位移定理复域位移定理原函数象函数8相似定理9卷积分的象函数

三、拉氏反变换拉氏反变换方法：利用拉氏变换表（附录A）,只需记住其中4个，其他可推出。利用部分分式展开法，然后再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的定理原函数象函数时域位移定理复域位移定理记住以上4个拉氏变换及以上两个定理，其中拉氏变换表P20

。控制系统象函数的一般形式：

将分母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进行拉氏反变换使分子为零的S值称为函数的零点使分母为零的S值称为函数的极点1、只含有不同单极点情况：2、含有共扼复极点情况：使方程两边实部和虚部分别相等，得由此得，为了确定A,用s乘以方程两边，并令s=0,得则F（s)的拉普拉斯反变换为则F（s)的拉普拉斯反变换为3、含有多重极点情况：其中的求法：用拉氏变换解微分方程的步骤：对微分方程进行拉氏变换；作因变量的拉氏反变换，求出微分方程的时间解。四、用拉氏变换解常系数线性微分方程一、传递函数概念：在全部零初始条件下，线性定常系统输出象函数与输入象函数之比。2-4传递函数及典型环节的传递函数

设线性定常系统的微分方程为：见P29例题2-17控制系统传递函数典型形式：传递函数的性质：传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是s的有理真分式，它表达了系统内在的固有特性，与输入量无关；传递函数有无量纲，根据输入、输出量纲而定；传递函数不表明系统物理特性和物理结构。三、传递函数的优点P29下面两行

工程中常见的系统，虽然物理结构及其工作原理不同，但从传递函数角度看，却是有一些典型的传递函数组成。我们把这些典型的传递函数称为环节，它并不代表一个元件，有时可以由多个元件构成，只是代表一种作用。对以下方程进行拉氏变换控制系统传递函数典型形式：二、典型环节的传递函数比例环节时间域方程指出几种常见的比例环节的物理模型？一般来说，此环节是一个元件积分环节时间域方程例题2-19指出几种常见的比例环节的物理模型？例题2-19积分器（自学）-3一阶惯性环节时间域方程时间常数例题2-20指出几种常见的比例环节的物理模型？4微分环节1、理想微分环节2、一阶微分环节（后文讲）时间域方程指出几种常见的比例环节的物理模型？理想微分环节物理模型（自学）2、近似微分环节物理模型，例题2-225二阶振荡环节时间域方程指出几种常见的比例环节的物理模型？P12式2-2或5二阶振荡环节1、试分析该系统有哪些典型环节组成？控制系统传递函数典型形式：2、试写出上式的拉式反变换结果？控制系统传递函数典型形式：做课后题2-3补充：

在控制工程领域，人们习惯于用方块图说明和讨论问题，方块图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，它清楚地表明系统中各个环节间的相互关系，便于对系统进行分析和研究。框图结构框图函数框图

第六节框图及其应用1、方块图单元-2、相加点（比较点）3、分支点（引出点）一框图单元，相加点和分支点1串联二框图基本连接方式2并联3反馈连接

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联立并削去中间变量+4、几个概念前向通路定义：P36,G(S)为前向通道传递函数。G(s)H(s)称为系统的开环传递函数。反馈回路定义：P36,H(s)为反馈回路传递函数，注意：开环传递函数和开环系统传递函数是不一样的当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全反馈系统。反馈系统的闭环传递函数为？？？5、推导四个传递函数P361、推导系统的传递函数

即X(S)输入，Y(S)输出，N(S)=0。2、推导系统的扰动传递函数。

即N(S)输入，Y(S)输出，X(S)=0。

下面介绍，P37方框图绘制方法。

3、推导系统的偏差传递函数。

即X(S)输入，E(S)输出，N(S)=0。

4、推导系统的扰动偏差传递函数。

即N(S)输入，E(S)输出，X(S)=0。

6、绘制实际物理系统的函数方块图例2-23无源滤波网络（P37）利用复阻抗的概念---7、方块图变换法则分支点可以互换；相加点可以互换；分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传递函数；相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；总原则，保证变换后，输出信号不变。

方块图变换法则如表2-3，P38方块图化简------------------------2-6