信号与系统（MATLAB版 微课视频版 第2版） 课件 2-4 卷积积分

2.4.1卷积积分的定义

设和是定义在区间（-∞，+∞）上的两个连续时间信号，将积分

定义为和的卷积，简记为即*号为卷积积分的运算符号，卷积的结果是产生一个新的时间信号。卷积积分简称卷积，是两函数间的一种数学运算。2.4卷积积分

2.4.2卷积的图示当两个信号仅以波形的形式给出时，用图解的方法求解卷积非常方便。根据卷积的定义式，信号和的卷积图形运算步骤如下:（1）画出和的波形，将波形中的自变量t改为τ，分别得到和的波形。（2）把信号的波形反折，得到的波形。此时为了后面计算时确定积分限方便，要标出的边界点的坐标。

⑶把的波形从-∞经的横轴向+∞作移位，移位量是从-∞到+∞的变化量，用参变量t来表示，这样就得到了和在同一个坐标平面上的波形。标出的边界点的坐标，即原边界点的坐标值加移位量t。⑷分段对，即对和的重叠部分的乘积进行积分，不同的积分段配合不同的移位量t的波形图来表示，积分限的确定取决于两个图形交叠部分的范围。特别要注意积分限的确定。⑸完成积分运算，把卷积积分的结果用分段函数表示，得到一个新的时间信号，这个信号所占有的时间宽度等于两个函数各自占有的时间宽度的总和。例

给定信号求解：⑴画出和的波形。⑵画和的波形⑶把的波形从-∞经的横轴向+∞作移位，分三段对和的重叠部分的乘积进行积分

⑷卷积结果用分段函数表示用开关函数表示1.卷积的代数运算

交换律用于系统分析表明：（1）.交换律2.4.3卷积积分的性质

不论和哪一个作为输入信号，另一个作为系统的单位冲激响应，结果相同。①

②当单位冲激信号作为输入信号时，系统级联满足交换律。

（2）.分配律分配律用于系统分析表明：若干个子系统并联的复合系统，其总的单位冲激响应是各个子系统单位冲激响应之和。

（3）.结合律结合律用于系统分析表明：若干个子系统级联的复合系统，其总的单位冲激响应是各个子系统单位冲激响应的卷积2.函数与奇异函数的卷积

（1）.与冲激函数的卷积

函数与冲激函数的卷积是函数本身。如果把冲激函数看作激励，函数作为系统的单位冲激响应，也有此结论。推广函数与延时的冲激函数的卷积相当于把函数本身作相同的延时。（2）.与冲激偶函数的卷积函数与冲激偶函数的卷积相当于求函数本身的一阶微分。（3）.与单位阶跃函数的卷积函数与单位阶跃函数的卷积相当于求函数本身的积分。（4）.推广到一般情况K表示求导或重积分的次数，当k取正整数时表示导数阶次，k取负整数时表示重积分的次数。例

已知求解：图解过程如下

3.卷积的微分与积分

（1）.卷积的微分

两个函数卷积后的导数，等于先对其中一个函数求导数后再与另一个函数求卷积。（2）.卷积的积分两个函数卷积后的积分，等于先对其中一个函数积分以后再与另一个函数求卷积。卷积的微分与积分特性可以推广用于卷积的高阶微分或多重积分的运算，运算规则为

则

其中，当n、k、(n-k)取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。

（3）.推论设例

计算下列卷积积分解：例

计算卷积积分解：2.4.4求系统零状态响应的卷积积分法在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。单位冲激信号是连续时间信号中最基本的信号之一，当系统输入单位冲激信号时，系统的零状态响应定义为系统的单位冲激响应。如果任意的连续时间信号可以分解为许多冲激信号的叠加，将这些冲激信号输入到线性时不变系统，那么它们各自在系统的输出端产生的零状态响应相叠加就是系统在输入任意信号时的零状态响应。一个信号可以近似分解为许多矩形脉冲分量之和，所取脉冲宽度越窄，近似程度越高，误差越小，极限情况是信号可以用许多冲激信号的叠加来精确表示。τt将函数分解为许多等宽的矩形窄脉冲，设在τ时刻被分解的矩形脉冲高度为，宽度为，则此窄脉冲的表达式为取的极限，则约等号变等号

将从-∞到+∞所有的矩形脉冲叠加，得的近似表达式为

与冲激信号的抽样特性完全一致。若将积分式中的变量t和τ互换来表示，并且利用冲激函数的偶函数性质，则

LTI(a)

(b)

(c)(d)

即系统的零状态响应：2.4.5MATLAB实现MATLAB中求解两个连续时间信号的卷积可以用conv()函数实现，其调用格式为:y=conv(f1,f2)例

已知两个信号求解：MATLAB程序如下：t1=0:0.01:3;f1=ones(size(t1)).*(t1>0&t1<3);t2=0:0.01:6;f2=exp(-1*t2).*(t2>0);y=conv(f1,f2);t3=0:0.01:9;subplot(3,1,1),plot(t1,f1);subplot(3,1,2),plot(t2,f2);subplot(3,1,3),plot(t3,y);卷积结果如图所示。解：MATLAB程序如下：例已知某LTI连续时间系统的激励为，单位冲激响应为，求系统的零状态响应。t1=0.5:0.01:2.5;f=ones(size(t1)).*(t1>1&t1<2);t2=1.5:0