专题03 菱形的性质和判定（四大类型）（题型专练）（解析版）-A4

第页专题03菱形的性质和判定（四大类型）【题型1菱形的概念和性质】【题型2菱形的面积】【题型3菱形的判定】【题型4菱形的性质与判定综合】【题型1菱形的概念和性质】1．（2023春•光泽县期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【答案】D【解答】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，故选：D．2．（2023春•中阳县月考）如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A＝50°，则∠BDC的度数为（）A．130° B．50° C．55° D．65°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝50°，BC＝CD，∴∠BDC＝∠CBD＝65°，故选：D．3．（2023春•涵江区期中）如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（）A．12cm B．24cm C．16cm D．20cm【答案】B【解答】解：如图：∵四边形ADHE和四边形BEIF是全等的菱形，∴AD＝AE＝BE，又∵∠1＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝AB＝24cm，故选：B．4．（2023春•抚顺期中）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为10cm，则菱形ABCD的周长为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO，又∵点M是AB的中点，∴AD＝2OM＝20cm，∴菱形ABCD的周长＝4×20＝80（cm），故选：C．5．（2023•郸城县模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，AC的中点，若菱形ABCD的周长为16，则EF的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝AD＝CB＝CD＝4BC＝16，∴BC＝4，∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC＝×4＝2，故选：B．6．（2023春•丰南区期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）【答案】B【解答】解：∵菱形OACB的顶点C的坐标是（6，0），∴点A，点B的横坐标为3，∵点A的纵坐标是1，∴点B的纵坐标为﹣1，∴点B（3，﹣1），故选：B．7．（2023春•濮阳期末）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．则点C的坐标是（）A．（﹣3，﹣4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣4，﹣5）【答案】C【解答】解：∵A（0，4），B（﹣3，0）．∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AB＝5，BC∥AD，∵C点在第三象限，∴C（﹣3，﹣5）．故选：C．8．（2023春•江油市期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，BD＝8，则CD＝（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠ACD，DC＝BC，∴∠BCD＝2∠ACD＝2×30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BD＝8．故选：D．9．（2023春•应城市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）A． B． C．4 D．28【答案】A【解答】解：∵点E，F分别是AB，BC边上的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，故选：A．10．（2023春•南召县期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，则以AC为一边的正方形ACEF的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，∴以AC为一边的正方形ACEF的周长为：4AB＝4×2＝8．故选：B．【题型2菱形的面积】11．（2023春•漳州期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的面积为（）A．48 B．40 C．24 D．20【答案】C【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：C．12．（2023春•樊城区期末）如图，菱形ABCD面积为24，对角线AC＝8，DE⊥AB于点E，则DE＝（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8•BD＝24，∴BD＝6，∴OB＝3，∴AB＝＝＝5，又∵S菱形ABCD＝AB•DE＝24，∴5DE＝24，解得：DE＝，故选：D．13．（2023春•陕西期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H．连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8 B．16 C．24 D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝．故选：B．14．（2023春•重庆期末）如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN，若MN＝2，，则菱形的面积为（）A． B．12 C． D．16【答案】C【解答】解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，∴AC＝2MN＝4，∴菱形的面积＝AC•BD＝4×4＝8，故选：C．15．（2023春•廊坊期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为边AD的中点，OE＝5，OB＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．48 B．96 C．120 D．128【答案】B【解答】解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OB＝8，∴OA＝OC，OD＝OB，AC⊥BD，∴BD＝2OB＝16，∵E为边AD的中点，OE＝5，∴AD＝2OE＝10，∴AO＝＝＝6，∴AC＝2OA＝12，∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝＝96，故选：B．16．（2023•西安三模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（）A．16 B．16 C．32 D．32【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠DAB＝45°，∴∠BCD＝∠BAD＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，CD＝DE，∵PF⊥CD，∴△DPF是等腰直角三角形，∴PF＝DF，PD＝PF，设PF＝DF＝x，则PD＝x，∵△PDF的周长为8，∴x+x+x＝8，解得：x＝8﹣4，∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，∴PE＝PF＝x，∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，∴BC＝CD＝DE＝8，∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，故选：D．17．（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（，0），（0，1），∴OA＝，OB＝1，∵四边形ABCD为菱形，∴AC＝2AO＝2，BD＝2BO＝2，∴菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝×2×2＝2，故选：C．18．（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】C【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝×6×8＝24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×24＝12．故选：C．19．（2023•三亚模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】B【解答】解：连接AC，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC、△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，∴AH＝＝＝2，S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4，故选：B．【题型3菱形的判定】20．（2023秋•垣曲县期中）下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD【答案】B【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．21．（2023春•荔城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB【答案】C【解答】解：∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故A正确；∵AO2+BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故B正确；∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故C错误；∵∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故D正确；故选：C．22．（2023春•铁东区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AO＝CO B．AB⊥BC C．AO＝BO D．AO⊥BO【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，添加AO⊥OB，∴▱ABCD是菱形；故选：D．23．（2023•宛城区二模）一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，∴可设直角三角形的三边为a，a，2a，A．四边形的四条边长都为2a，故四边形为菱形，不符合题意；B．四边形的四条边为2a，故四边形为菱形，不符合题意；C．四边形的四边长为2a，故四边形是菱形，不符合题意；D．四边形的四条边长为a，2a，a，2a，故四边形不是菱形，符合题意．故选：D．24．（2023春•曹县期中）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，增加下列其中一个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③DE＝DF；能使四边形ABCD是菱形的条件个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形；③由AE＝CF，DE＝DF，∠A＝∠C，不能判定△ADE≌△CDF，∴不能得出AD＝CD，∴不能使▱ABCD为菱形；综上所述，能使四边形ABCD是菱形的条件个数为2个，故选：C．25．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．平行四边形的一个角为60°，不能确定边的长度，不一定是菱形，该选项符合题意；∵四边形是平行四边形，B．因为32+42＝52，对角线相互垂直，因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项正确，不符合题意；∴对边相等，故B不一定是菱形；C．平行四边形对边平行，又邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；D．由图可知平行边四形的邻边相等，所以平行四边形的四边相等，一定是菱形，所以该选项正确，不符合题意；故选：A．26．（2023春•阜宁县期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【答案】A【解答】解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．故选：A．27．（2023秋•蓝田县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．请判断四边形AECD的形状，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：四边形AECD是菱形，理由：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝BC＝EC，∴平行四边形AECD是菱形．28．（2023秋•西安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O，求证：四边形ADCE为菱形．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴平行四边形ADCE为菱形．29．（2023秋•高新区期中）如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，E为AD的中点，AD∥BC，ED＝BC．求证：四边形BCDE是菱形．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD∥BC，ED＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，∴，∴四边形BCDE是菱形．30．（2023•湘西州）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．（1）求证：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO，又∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON（ASA），∴BM＝DN，∴四边形BMDN为平行四边形，∴BN∥DM，∴∠DMN＝∠BNM；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．31．（2023•南海区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．【题型4菱形的性质与判定综合】32．（2023秋•长泰县校级期中）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，则四边形ABCD面积为（）A．20 B．24 C．28 D．48【答案】B【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR⋅BC＝AS⋅CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∵A，C之间的距离为6，点B，D之间的距离为8，∴四边形ABCD面积为故选：B．33．（2023•霍林郭勒市二模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝3cm，四边形OACB的面积为12cm2，∴AB•OC＝×3×OC＝12，解得OC＝8cm．故选：B．34．（2023春•库尔勒市校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是AB边上的中点，连接OE，OE＝2.5，AC＝8，BD＝6．有下列结论：①△ABD是等边三角形；②▱ABCD的周长是20；③▱ABCD的BC边上的高是4.8；④▱ABCD是菱形；⑤▱ABCD的面积是48，其中正确的是（）A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤【答案】A【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴OA＝OC，∵E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴BC＝AD＝2OE＝5，∵AC＝8，BD＝6，平行四边形ABCD，∴OA＝4，OD＝3，∵OA2+OD2＝32+42＝52＝AD2，∴△AOD是直角三角形，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，④正确，∴AB＝AD≠BD，∴①错误，∴▱ABCD的周长是4AD＝5×4＝20，②正确，∴▱ABCD的面积＝AC•BD＝×8×6＝24，⑤错误∴▱ABCD的面积＝BC×BC边的高＝24，∴BC边的高＝＝4.8，③正确；故②③④正确，故选：A．35．（2023春•思明区校级期末）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20，则图（1）中菱形的对角线BD长为（）A．20 B．30 C． D．【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°，∴AB2+CB2＝AC2，∵AB＝CB，AC＝20，∴2AB2＝（20）2，∴AB＝20，在菱形ABCD中，AB＝CB＝20，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝20，如图（1），连接BD交AC于点O，∴AC⊥BD，∠ABO＝30°，∴OA＝AB＝10，∴OB＝OA＝10，∴BD＝2OB＝20，故选：C．36．（2023•东城区校级模拟）如图，△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝3，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是6．【答案】6．【解答】解：∵EB∥CD，EC∥AB，∴四边形CEBD是平行四边形，在△ABC中，∵AC＝，BC＝4，AB＝3，∴AC2+BC2＝（）2+42＝18，AB2＝（3）2＝18，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵点D是AB的中点，∴DC＝AD＝DB＝AB＝，∴四边形CEBD是菱形，四边形CEBD的周长＝4DB＝4×＝6．37．（2023•吉林一模）如图，AB＝8cm，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接AM，BM，AN，BN，则四边形AMBN的面积为24cm2．【答案】24．【解答】解：如图：连接MN，∵分别以A和B为圆心，5cm的长为半径画弧，两弧相交于M、N，∴AM＝AN＝BN＝BM＝5cm，∴四边形AMBN是菱形，∴AB⊥MN，AO＝OB＝4cm，MN＝2OM，∴由勾股定理得：，∴MN＝6cm，∴四边形AMBN的面积＝cm2，故答案为：24．38．（2023春•单县期末）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正确的是①②③④．（填所有正确答案的序号）【答案】①②③④．【解答】解：∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确；∵四边形ACED是菱形，∴∠ACD＝∠DCE；故④正确．故答案为：①