等差数列课件

第2讲等差数列（1）

学习目标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：符号表示为：

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列，则A＝________，知识梳理an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝_______________．

(2)前n项和公式：Sn＝____________________＝_____________．3．等差数列的性质(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则___________________．(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列．(3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是________数列．4．等差数列与函数的关系(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝_______________，当d≠0时，它是关于n的____________，它的图象是直线y＝

上横坐标为正整数的均匀分布的一系列________的点．（2）当d>0时；

当d<0时，

当d＝0时，dx＋(a1－d){an}是递增数列{an}是递减数列；{an}是常数列1．数列{an}为等差数列的充要条件是____________2．若数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是_________3．在等差数列{an}中，若____________，则Sn存在最大值；

若_____________则Sn存在最小值．重要结论an＝kn＋b(k，b∈R)．“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”．a1>0，d<0a1<0，d>0，1．思考辨析(在括号内打“

√”或“×”)(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(

)(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(

)(3)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(

)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是∀n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)夯基诊断√

×

√

√

第2讲等差数列（2）

学习目标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(1)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝________．答案：6(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝2，S20＝8，则S30＝______．答案：18(3)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝3(a5＋3)，a4＝－1，则其公差d＝________．答案：－2等差数列基本量的运算考点一考点一1．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．2．确定等差数列通项公式的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.3、等差数列的性质反思感悟(1)(2023全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(

)A．25

B．22

C．20

D．15C

(2)(2024·重庆一诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝(

)A．－2

B．－1C．1

D．2B

课堂练习17．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．5．(2024·济南莱芜一中阶段考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(

)A．－50

B．－60

C．－70

D．－802D训练1

(1)(2024·北京通州区期末)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(

)A．5n－16

B．5n－11C．3n－8

D．3n－5A

(2)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(

)A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸B

课堂小结布置作业：限时训练P3231、2、3第2讲等差数列（3）

学习目标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．考点二等差数列的判定与证明训练2

已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)．(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；(2)求数列{an}的通项公式．判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．反思感悟例2

(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．1010．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；12131411134567892课堂练习11(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．12131413456789102课堂练习第2讲等差数列（4）

学习目标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2．和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．反思感悟3．求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值．(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．例3

(2024·湖北联考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝(

)A．10

B．20

C．25

D．50考点三等差数列性质的应用考向1项的性质D

C

例5

等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？考向3前n项和的最值(3)(2024·河南名校第四次联考)在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(

)A．4或5

B．5或6C．4

D．5A

例4

(2024·广州天河区期末)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(

)A．1125块 B．1134块C．1143块 D．1152块考向2和的性质B

B记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an}是等差数列，且公差d＝9，a1＝9.设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402，{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列，所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)，所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，则S2k－Sk＝1134.C

11(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．12131413456789102课堂练习03限时规范训练(四十一)

A级基础落实练

1．(2024·河南名校联考)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a5＝10，且a4·a6＝96，则公差为(

)A．－2

B．2C．－2或2

D．43456789101213141112B

B设等差数列{an}的公差为d，∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2，∵an＞0，∴d＞0，∴d＝2，故选B．212．(2023·咸阳质量检测)在等差数列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，则a3＋a9＝(

)A．30

B．40

C．60

D．8034567891012131411C

C由等差数列的性质可得a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30，所以a3＋a9＝2a6＝60，故选C．2313．(2024·台州第一次质量评估)已知数列{an}满足对于∀m，n∈N*，am＋n＝am＋an.若a2023＝2023，则a1＝(

)A．1

B．2

C．3

D．20234567891012131411A

A令m＝1，则an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1，∵a1为常数，故数列{an}是等差数列，公差为a1，∴a2023＝a1＋(2023－1)a1＝2023a1＝2023，则a1＝1，故选A．23414．(2024·三明一中期中)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．书中有这样一道题目“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“现有五个人分5钱，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，若每人分得钱数成等差数列，则任意两人分得的最大差值为(

)567891012131411B

2345678910121314111234515．(2024·济南莱芜一中阶段考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(

)A．－50

B．－60

C．－70

D．－8067891012131411D

2345167891012131411D由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.2345616．(2023·合肥期末)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差不为0，若S5＝S10，则(

)A．S5＝0

B．S8＝0C．S15＝0

D．S17＝07891012131411C

234561789101213141177．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．891012131411134562由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.答案：28910121314111345672答案：899．(2024·枣庄期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且S1000＝S1023，则S2022＝________．101213141113456782答案：21010．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；12131411134567892解：(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，1012131411134567892101213141113456789211(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．121314