专题31函数的概念及其表示-原卷版

专题3.1函数的概念及其表示【基本知识梳理】知识点1：函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围A值域与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}注意点：(1)A，B是非空的实数集．(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性．(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．知识点2：函数的三要素函数的三要素：定义域、值域、对应关系(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y.知识点3：区间的概念设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称区间数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)特别地：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．注意点：(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．(4)“∞”是一个符号，而不是一个数．知识点4：函数的定义域与值(1)求函数的定义域应关注三点①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.②不对解析式化简变形，以免定义域变化．③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(2)函数求值的方法①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．知识点5：判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．知识点6：抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．知识点7：函数的表示方法(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．知识点8：作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．(3)函数图象的平移变换①左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象．②上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象．（4）分段函数图象的画法①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．知识点9：求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．知识点10：求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意换元时t的取值范围．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．知识点11：分段函数求值(1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但(3)若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题．【题型1对函数概念的理解】【例1】（20232024∙高一上∙山东青岛∙期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合M=1,2,3，N=1,2,3A.B．C． D．【变式11】（20232024∙高一上∙山东滨州∙期中）（A．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同D．fa表示当x=a时，函数f【变式12】（20232024∙高一上∙山东泰安∙阶段测试）若函数y=fx的定义域M={x|−2≤x≤2}，值域N={y|0≤y≤2}，则函数y=fA．

B．

C．

D．

【变式13】（20232024∙高一上∙山东潍坊∙期中）存在函数fA．fx=1C．fx=2x【题型2求函数的定义域】【例2】（20232024∙高一上∙山东临沂∙期中）A. B.C. D.【变式21】（20232024∙高一上∙山东普高联考∙期中）【变式22】（20232024∙高一上∙山东德州∙期中）已知集合A={x∣−1≤x−1<2}，集合B=A．{x∣0≤x<1} B．x∣0≤x≤1 C．{x∣1<x<3} D．{x∣1≤x<3}【变式23】（20232024∙高一上∙山东潍坊高密∙月考）已知集合A是函数y=120−8x−x2的定义域，集合B是不等式x2−2x+1−(1)求集合A，集合B；(2)若¬p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【题型3求函数值或由函数值求参】【例3】（20232024∙高一上∙山东临沂∙期中）已知【变式31】（20232024∙高一上∙山东青岛∙期中）已知函数fA．−1 B．−3 C．3 D．1【变式32】（20232024∙高三下∙山东菏泽∙月考）已知fx对于任意x,y∈R，都有fx+yA．4 B．8 C．64 D．256【变式33】（20232024∙高一上∙山东济宁∙（1）求f3，f（2）若fa=−4，求【题型4求函数的值域】【例4】（20232024∙高一上∙山东泰安∙期中）（多选）A．y=x B．y=x−2 C．y=【变式41】（20222023∙高一上∙山东淄博∙期中A．{x|x⩾0} B．xx≥0且C．{x|x≠1} D．{x|x>【变式42】（20222023∙高一上∙山东日照∙月考）已知函数y=1−x+x+3的最大值为【变式43】（20232024∙高一上∙山东烟台∙月考）（多选）A．y=4xx≥12C．y=x4+1【题型5由函数的定义域或值域求参数】【例5】（20232024∙高一上∙山东德州∙月考）若函数fx=x2A．2 B．3 C．4 D．5【变式51】（20232024∙高一上∙山东临沂∙月考）若函数y=A．(0,+∞) B．−∞,0 C．【变式52】（20232024∙高一上∙山东济南∙期中）已知函数的定义域与值域均为，则实数的取值为（A.4 B.2 C.1 D.1【变式53】（20232024∙高一上∙山东枣庄∙(1)若fx的定义域为[－2,1]，求实数a(2)若fx的定义域为R，求实数a【题型6判断两个函数是否是同一个函数】【例6】（20232024∙高一上∙山东枣庄∙月考）（A．y=x与y=x2x B．C．y=x2与y=x D．【变式61】（20232024∙高一上∙山东青岛∙A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【变式62】（20232024∙高一上∙山东青岛∙期中）（A．f(x)=x2B．f(x)=x2C．f(x)=xxD．f(x)=x+1⋅【变式63】（20232024∙高一上∙山东泰安∙期中）（A．f(x)=−2x3与C．fx=x0与g(【题型7函数的表示法】【例7】（20232024∙高一上∙山东滨州∙期中）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象是如图所示，则的值为（123431A.1 B.0 C.3 D.4【变式71】（20232024∙高一上∙山东烟台∙月考）若函数y=fx的定义域为A． B．C． D．【变式72】（20232024∙高一上∙山东临沂∙（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A.B.C.D.【变式73】（20232024∙高一上∙山东德州∙阶段测试）在函数y=x,x∈−1,1的图象上有一点Pt,t，此函数与xA．B．C．D．【题型8函数解析式的求解】【例8】（20232024∙高一上∙山东淄博∙期中）已知函数fx−1A．0 B．1 C．2 D．3【变式81】（20232024∙高一上∙山东青岛∙月考）（多选）已知一次函数满足，则A． B．C． D．【变式82】（20232024∙高一上∙山东潍坊∙期中）定义在R上的函数f(x)满足f(x−1)=2f(x)，当0<x≤1时，f(x)=x(x+1)，则当1<x≤2A．x(x−1) B．x(1−x) C．x(x−1)2