初中九年级数学中考专项复习考点综合专题：圆与其他知识的综合

初中九年级数学中考专项复习考点综合专题：圆与其他知识的综合(

考点综合专题：圆与其他知识的综合

◆类型一圆与三角函数的综合

1．(2016·衢州中考)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠A＝30°,则sinE的值为()

1233

A.B.C.D.2223

第1题图第2题图第3题图

2．(湖州中考)如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小1

圆于点D.若OD＝2,tan∠OAB＝,则AB的长是()

2

A．4B．23C．8D．433．(2016·攀枝花中考)如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BD是⊙A的一条弦,则sin∠OBD的值为()

1343A.B.C.D.2455

4．如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作直角△ABC,∠CAB＝90°,斜边BC与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点G.

(1)求证：E是AC的中点；

2

(2)若AE＝3,cos∠ACB＝,求弦DG的长．

3

-1-

◆类型二圆与相似的综合

5．如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是D

A．∠ACD＝∠DABB．AD＝DEC．AD2＝BD·CDD．AD·AB＝AC·BD

第5题图第6题图第7题图

6．如图,边长为2的正方形ABCD中,P是CD的中点,连接AP并延长,交BC的延长线于点F,作△CPF的外接圆⊙O,连接BP并延长交⊙O于点E,连接EF,则EF的长为D

353545A.B.C.D.2355

7．(2016·成都中考)如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于点H,若AC＝24,AH＝18,⊙O的半径OC＝13,则AB＝________．

8．(2016·泰州中考)如图,△ABC中,∠ACB＝90°,D为AB上一点,以CD为直径的⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE＝∠ADF.

(1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2,AF＝5,求PC的长．

-2-

◆类型三圆与四边形的综合9．(2016·重庆模拟)如图,⊙O过正方形ABCD的顶点A,B,与CD相切,切点为点E,若正方形ABCD的边长为2,则⊙O的半径为()

A．1B.

545C.D.234

第9题图第10题图第11题图

10．(2016·哈尔滨中考)如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接OC,BE.若AE＝6,OA＝5,则线段DC的长为________．

11．★(2016·淄博中考)如图,⊙O的半径为2,圆心O到直线l的距离为4,有一内角为60°的菱形,当菱形的一边在直线l上,另有两边所在的直线恰好与⊙O相切,此时菱形的边长为____________．

︵︵

12．(2016·上海中考)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB＝AC,点D在边BC上,AE∥BC,AE＝BD.

(1)求证：AD＝CE；

(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),AG＝AD,求证：四边形AGCE是平行四边形．

-3-

◆类型四坐标系中的圆(代几综合)

13．如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3,0),将⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为()

A．1B．1或5C．3D．5

第13题图第14题图

14．(2016·潍坊中考)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是()

A．10B．82C．413D．241

15．如图,在Rt△OAB中,OA＝4,AB＝5,点C在OA上,AC＝1,⊙P的圆心P在k

线段BC上,⊙P与边AB,AO都相切．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过圆心P,则k

x＝____________.

第15题图第16题图第17题图

16．(2016·信阳模拟)如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y＝x2－2x－3,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为________．

3

17．★(2016·日照中考)如图,直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A,B,点Q是

4以C(0,－1)为圆心、1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小是________．

-4-

参考答案

1．A2.C

3．D解析：连接CD.∵点D的坐标为(0,3),点C的坐标为(4,0),∴OD＝3,OC＝4.∵∠COD＝90°,∴CD＝OD2＋OC2＝32＋42＝5.∵∠OBD＝∠OCD,∴sin∠OBD＝

OD3

sin∠OCD＝＝.故选D.

CD54．(1)证明：连接AD.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB＝90°,∴∠ADC＝90°.∵∠CAB＝90°,∴AC是⊙O的切线．又∵DE与⊙O相切,∴ED＝EA,∴∠EAD＝∠EDA.∵∠C＝90°－∠EAD,∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－∠EAD,∴∠C＝∠CDE,∴ED＝EC,∴EA＝EC,即E为AC的中点；

(2)解：由(1)知E为AC的中点,则AC＝2AE＝6.在Rt△ACD中,cos∠ACD＝cos∠ACB22＝,∴CD＝AC·cos∠ACB＝6×＝4,∴AD＝AC2－CD2＝62－42＝25.∵∠ACB＋∠B33＝90°,∠DAB＋∠B＝90°,∴∠ACB＝∠DAB.在Rt△ADF中,AF＝AD·cos∠DAF＝245AD·cos∠ACB＝25×＝,∴DF＝AD2－AF2＝3320

∴DG＝2DF＝.

3

5．D6.D

39

7.解析：作直径AE,连接CE.∴∠ACE＝90°.∵AH⊥BC,∴∠AHB＝90°,∴∠ACE2

ABAHAH·AE

＝∠AHB.∵∠B＝∠E,∴△ABH∽△AEC,∴＝,∴AB＝.∵AC＝24,AH＝18,

AEACAC18×2639

AE＝2OC＝26,∴AB＝＝.

242

8．解：(1)AB是⊙O的切线．理由如下：连接DE,CF.∵CD是⊙O的直径,∴∠DEC

＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠DEC＋∠ACE＝180°,∴DE∥AC,∴∠CAE＝∠DEA＝∠DCF.∵∠DFC＝90°,∴∠DCF＋∠CDF＝90°.∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF,∴∠ADF＋∠CDF＝90°,∴∠ADC＝90°,∴CD⊥AD,∴AB是⊙O的切线；

PCPF

(2)∵∠CPF＝∠CPA,∠PCF＝∠PAC,∴△PCF∽△PAC,∴＝,∴PC2＝PF·PA.

PAPC510

设PF＝a,则PC＝2a,∴4a2＝a(a＋5),∴a＝,∴PC＝2a＝.

33

9．D解析：连接OE,OB,延长EO交AB于点F,∴OE⊥CD.∵四边形ABCD是正11

方形,∴AB∥CD,∴OF⊥AB.设OB＝OE＝R,则OF＝2－R.在Rt△OBF中,BF＝AB＝

225

×2＝1,OB＝R,OF＝2－R,∴R2＝(2－R)2＋12,解得R＝.故选D.

4

10．4解析：设OC交BE于点F.∵AB为⊙O的直径,∴AB＝2OA＝10,∠AEB＝90°.∵AD⊥l,∴BE∥CD.∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴OC⊥BE,∴四边形CDEF为矩形,∴CD＝EF.在Rt△ABE中,BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.∵OF⊥BE,∴BF＝EF

45?10

（25）－?＝.∵DG⊥AB,

?3?3

2

2

-5-

1

＝BE＝4,∴CD＝4.2

4383

11．43或或解析：第一种情况：如图①,过点O作直线l的垂线,交AD于

33E,交BC于F,过点A作AG⊥直线l于点G,由题意得EF＝2＋4＝6,四边形AGFE为矩形,∴AG＝EF＝6.在Rt△ABG中,AB＝

AG6

＝＝43；sinB3

2

第二种情况：如图②,过点O作OE⊥l于点E,过点D作DF⊥l于点F,则OE＝4,DF2343DF＝2.在Rt△DCF中,DC＝＝DF＝；

33sin∠DCF

第三种情况：如图③,过点O作EF垂直于BA延长线于点E,交CD于点F,过点AAG2383

作AG⊥CD于点G,则AG＝EF＝4.在Rt△AFG中,AF＝＝AG＝.故答案

33sin∠ADG为43或

4383

或.33

︵︵

12．证明：(1)在⊙O中,∵AB＝AC,∴AB＝AC,∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EACAB＝CA,??

＝∠ACB,∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中,?∠B＝∠EAC,∴△ABD≌△CAE(SAS),

??BD＝AE,∴AD＝CE；

︵︵

(2)连接AO并延长,交边BC于点H.∵AB＝AC,OA为半径,∴AH⊥BC,∴BH＝CH.∵AD＝AG,∴DH＝GH,∴BH－DH＝CH－GH,即BD＝CG.∵BD＝AE,∴CG＝AE.∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形．

13．B

14．D解析：连接BM,OM,AM,过点M作MH⊥BC于点H.∵⊙M与x轴相切于点A(8,0),∴AM⊥OA,OA＝8,∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°,∴四边形OAMH是矩形,∴AM＝OH.∵点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(0,16),∴OB＝4,OC＝16,∴BC11

＝12.∵MH⊥BC,∴CH＝BH＝BC＝×12＝6,∴OH＝OB＋BH＝4＋6＝10,∴AM＝10.

22在Rt△AOM中,OM＝AM2＋OA2＝102＋82＝241.故选D.

5

15.解析：在Rt△OAB中,OA＝4,AB＝5,∴OB＝3.设⊙P与边AB,AO分别相切4于点F,E,连接PE,PF,AP,则PF⊥AB,PE⊥OA,PE＝PF.∵OA＝4,OB＝3,AC＝1,∴OC＝OA－AC＝3＝OB.又∵∠AOB＝90°,∴∠OBC＝∠OCB＝45°,∴∠EPC＝45°＝

-6-

1

＝BE＝4,∴CD＝4.2

4383

11．43或或解析：第一种情况：如图①,过点O作直线l的垂线,交AD于

33E,交BC于F,过点A作AG⊥直线l于点G,由题意得EF＝2＋4＝6,四边形AGFE为矩形,∴AG＝EF＝6.在Rt△ABG中,AB＝

AG6

＝＝43；sinB3

2

第二种情况：如图②,过点O作OE⊥l于点E,过点D作DF⊥l于点F,则OE＝4,DF2343DF＝2.在Rt△DCF中,DC＝＝DF＝；

33sin∠DCF

第三种情况：如图③,过点O作EF垂直于BA延长线于点E,交CD于点F,过点AAG2383

作AG⊥CD于点G,则AG＝EF＝4.在Rt△AFG中,AF＝＝AG＝.故答案

33sin∠ADG为43或

4383

或.33

︵︵

12．证明：(1)在⊙O中,∵AB＝AC,∴AB＝AC,∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC,∴∠EACAB＝CA,??

＝∠ACB,∴∠B＝∠EAC.在△ABD和△CAE中,?∠B＝∠EAC,∴△ABD≌△CAE(SAS),

??BD＝AE,∴AD＝CE；

︵︵

(2)连接AO并延长,交边BC于点H.∵AB＝AC,OA为半径,∴AH⊥BC,∴BH＝CH.∵AD＝AG,∴DH＝GH,∴BH－DH＝CH－GH,即BD＝CG.∵BD＝AE,∴CG＝AE.∵CG∥AE,∴四边形AGCE是平行四边形．

13．B

14．D解析：连接BM,OM,AM,过点M作MH⊥BC于点H.∵⊙M与x轴相切于点A(8,0),∴AM⊥OA,OA＝8,∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°,∴四边形OAMH是矩形,∴AM＝OH.∵点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(0,16),∴OB＝4,O