2024高考数学一轮复习课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用文含解析北师大版

课时规范练26平面对量的数量积与平面对量的应用基础巩固组1.(2024河北保定一模,文4)已知a与b均为单位向量,若b⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.120°2.(2024北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.(2024全国2,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b4.(2024湖南郴州二模,文7)已知向量a=(2,-3),b=(3,m),且a⊥b,则向量a在a+b方向上的投影为()A.262 B.-262 C.13 D.5.在△ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x>0),则当BC最小时,C=()A.90° B.60° C.45° D.30°6.(2024河北邢台模拟,理3)设非零向量a,b满意|a|=3|b|,cos<a,b>=13,a·(a-b)=16,则|b|=(A.2 B.3 C.2 D.57.(2024辽宁大连模拟,文9)已知扇形OAB的半径为2,圆心角为2π3,点C是弧AB的中点,OD=-12OB,则CDA.3 B.4 C.-3 D.-48.已知平面对量OA,OB满意|OA|=|OB|=1,OA·OB=0,且OD=12DA,E为△OAB的外心A.-12 B.-16 C.19.(2024全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.

10.(2024湖南长郡中学四模,理13)已知向量a=(1,2),b=(k,1),且2a+b与向量a的夹角为90°,则向量a在向量b方向上的投影为.

11.(2024山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)设α=π4,且a⊥(b+c),求cosβ的值综合提升组12.(2024皖豫名校联考,理10)在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AC=23,BM+12CB=0,DC=λDN,若AM·ANA.18 B.17 C.113.(2024陕西西安中学八模,理7)如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()A.P1B.PC.P1D.P14.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则AE·EC=(A.725 B.14425 C.1215.(2024浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满意|2e1-e2|≤2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是.

16.已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.创新应用组17.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32,A.±1 B.±32 C.±22 D.参考答案课时规范练26平面对量的数量积与平面对量的应用1.D∵b⊥(2a+b),∴b·2a+|b|2=0.又|a|=|b|=1,∴a·b=-12∴cos<a,b>=a·b|a||b|=-12,∴2.C∵A,B,C三点不共线,∴|AB+AC|>|BC|⇔|AB+AC|>|AB-AC|⇔|AB+AC|2>|AB-AC|2⇔AB·AC>0⇔AB与AC的夹角为锐角.故“AB与3.D由题意可知,a·b=|a||b|cos60°=12.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=52≠0,对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-32≠0,不符合题意对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.4.A因为a⊥b,所以a·b=6-3m=0,解得m=2,所以b=(3,2),a=(2,-3),a+b=(5,-1),则a·(a+b)=13,|a+b|=26,所以a在a+b方向上的投影为a·(a+5.A由题意BC=AC-AB=(∴|BC|=(-x令y=5x2-6x+5,x>0,当x=35,ymin=165,此时BC∴CA=35,-65,CB∴CA⊥CB,即C=90°.故选6.A∵|a|=3|b|,cos<a,b>=13,∴a·(a-b)=a2-a·b=9|b|2-|b|2=8|b|2=16,∴|b|=2.故选A7.C如图,连接CO,∵点C是弧AB的中点,∴CO⊥AB,∴OC·AB又OA=OB=2,OD=-12OB,∠AOB=∴CD·AB=(OD-OC)·AB=-12OB·AB=-12OB·(OB-OA)=12OA·OB8.A∵OA·OB=0,又|OA|=|OB|=1,∴△OAB为等腰直角三角形.∵E为△OAB的外心,∴E为AB中点,∴|OE|=12|AB|=22且∠BOE=∴OD=13OA,∴ED·OB=(OD-OE)·OB=13OA9.3∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-12∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.10.-214529因为向量a=(1,2),b=(k,1),则2a+b=又因为2a+b与向量a的夹角为90°,所以(2a+b)·a=0,即2+k+10=0,解得k=-12,即b=(-12,1),所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=a·11.解(1)b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).因为-1≤cosβ≤1,所以0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若α=π4,则a=22,又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得a·(b+c)=22,22·(cosβ-1,sinβ)=22cosβ+22sin因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1,所以sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cosβ=1.经检验cosβ=0或cosβ=1即为所求.12.D作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y).因为AC=23,∠ABC=120°,故BO=1,因为BM+12CB=0,所以BM=12所以A(-3,0),M32,12,D(0,-1),C(3,0),则AM=332,12,DC=(3,1)=λDN=λ(x,故N3λ,1λ-1,AN=3λ+3,1λ-1,所以AM·AN=13.A设边长|P1P2|=a,易知∠P2P1P3=π6,|P1P3|=3a,则P1P2·P1P3=a·3a·cosπ6=3a22;易知∠P2P1P4=π3,|P1P4|=214.B如图,由AB=3,AD=4得BD=9+16=5,AE=AB·又AE·EC=AE·(EO+OC)=AE·EO+AE·又AE·AO=|AE||AO|cos∠EAO=|AE||AO|·∴AE·EC=14415.2829|2e1-e2|≤2⇔(2e1-e2)2≤2,解得e1·e2≥34.又e1·ecosθ=a=4+4e设e1·e2=x,则34≤x≤1cos2θ=16=4(得cos2θ∈2829所以cos2θ的最小值是282916.解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.则tanx=-33又因为x∈[0,π],所以x=5π(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤cosx+π6≤32.于是,当x+π6=π6,即x=0时当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-17.C联立y=x+m