2025届高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理含解析

PAGE第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简洁的实际问题.主要在选择题、填空题中考查两个原理的应用，分值为5分.1.数学建模2.数学运算‖学问梳理‖两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝eq\x(1)m＋n种不同的方法分步乘法计数原理须要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝eq\x(2)m×n种不同的方法‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能干脆完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、走进教材2．(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种 B．30种C．36种 D．48种答案：D3．(选修2－3P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架中任取1本书，则不同取法的种数为________．答案：9三、易错自纠4．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种 B．8种C．6种 D．9种解析：选A要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC电话卡，买2张IC电话卡，买3张IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC电话卡有2种方法，买2张IC电话卡有3种方法，买3张IC电话卡有2种方法．所以不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．5．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________．解析：分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3×2＝6(个)不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4×2＝8(个)不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14(个)不同的点．答案：14eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(分类加法原理))|题组突破|1．(2025届河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后支配去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少去一人．其中甲必需去A社区，乙不去B社区，则不同的支配方法种数为()A．8 B．7C．6 D．5解析：选B依据题意，分2种状况探讨：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人支配到B，C社区即可，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况．②乙不去A社区，则乙必需去C社区，若丙丁都去B社区，有1种状况；若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，支配到B社区，剩下1人支配到A或C社区，有2×2＝4(种)状况，则不同的支配方法有2＋1＋4＝7(种)，故选B．2．(2025届广西桂林、崇左、百色模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现须要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是()A．6 B．10C．12 D．24解析：选B将题图中左边的集装箱从上往下分别记为1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种状况探讨：若先取1，则有12345，12453，12435，14523，14235，14253，共6种取法；若先取4，则有45123，41235，41523，41253，共4种取法，故共有6＋4＝10(种)取法．3．若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，则m<n.当m＝1时，n＝2，3，4，5，6，7，共6个；当m＝2时，n＝3，4，5，6，7，共5个；当m＝3时，n＝4，5，6，7，共4个；当m＝4时，n＝5，6，7，共3个；当m＝5时，n＝6，7，共2个．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(个)满意条件的椭圆．答案：20►名师点津运用分类加法原理时2个留意点(1)依据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，留意完成这件事的任何一种方法必需属于某一类，不能重复．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(分类乘法原理))|题组突破|4．(2025届湖北黄冈第一次调研)现有6名同学去听同时进行的5个课外学问讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是()A．56 B．65C．eq\f(5×6×5×4×3×2,2) D．6×5×4×3×2解析：选A每名同学有5种选法，且相互之间独立，所以共有5×5×5×5×5×5＝56(种)选法，故选A．5．(2025届滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有()A．6种 B．12种C．24种 D．30种解析：选C分步完成：第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；其次步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法；第三步，乙从剩余的2门中选出一门课程有2种方法．∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24(种)．6．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是()A．30 B．42C．36 D．35解析：选C因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，所以a有6种取法．由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数．►名师点津需谨记分步必需满意的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．当正面考虑问题比较困难时，可采纳正难则反的原则解题．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(两个原理的综合应用))【例】(1)在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24 B．48C．72 D．96(2)假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48 B．18C．24 D．36[解析](1)分两种状况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．故共有24＋48＝72(种)涂色方法．(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．[答案](1)C(2)D►名师点津1．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．2．涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以运用同类元素．(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理．|跟踪训练|1．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．解析：按要求涂色至少须要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，共有24×2＝48(种)涂法．所以不同的涂法共有24＋48＝72(种)．答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．其次类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．答案：40eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(两个原理的创新交汇应用问题))【例】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满意条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．60 B．90C．120 D．130[解析]设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，若t＝1，说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为－1或1，其他为0，所以有Ceq\o\al(1,5)×2＝10(个)元素满意t＝1；若t＝2，说明x1，x2，x3，x4，x5中有两个为－1或1，其他为0，所以有Ceq\o\al(2,5)×2×2＝40(个)元素满意t＝2；若t＝3，说明x1，x2，x3，x4，x5中有三个为－1或1，其他为0，所以有Ceq\o\al(3,5)×2×2×2＝80(个)元素满意t＝3，从而，共有10＋40＋80＝130(个)元素满意1≤t≤3.[答案]D►名师点津两个原理综合应用的1个关键点解决综合