2024-2025学年新教材高中数学4指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异课后素养落实含解析新人教A版必修第一册

课后素养落实(三十四)不同函数增长的差异(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有()A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快AD[结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．故选AD.]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[用解除法，当x＝1时，解除B项；当x＝2时，解除D项；当x＝3时，解除A项．]4．在某试验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表．x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00则x，y最合适的函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[依据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以解除A；依据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以解除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满意题意．故选D.]5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如他们始终跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2xD[明显四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]二、填空题6．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________.y＝x2[当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．]7．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.①[结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.]8．若已知16<x<20，利用图象可推断出x和log2x的大小关系为________．x>log2x[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；x＝4或x＝16时，x＝log2x；在(4,16)内，x<log2x；在(16,20)内，x>log2x.]三、解答题9．画出函数f(x)＝eq\r(x)与函数g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．依据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．10．某人对东北一种松树的生进步行了探讨，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预料第8年的松树高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解]据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预料第8年的松树高度为2米．1．函数y＝2x－x2的图象大致是()ABCDA[分别画出y＝2x，y＝x2的图象，由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故解除B，C；当x<－1时，y<0，故解除D，故选A.]2．当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A．(eq\r(2)，2) B．(1，eq\r(2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C[当0＜x≤eq\f(1,2)时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))点时，a＝eq\f(\r(2),2)，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满意eq\f(\r(2),2)＜a＜1，故选C.]3．(多选)下面是一幅统计图，依据此图得到的以下说法中正确的是()A．这几年生活水平逐年得到提高B．生活费收入指数增长最快的一年是2024年C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2024年D．虽然2024年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善ABD[由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2024～2024年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2024～2024年最平缓，故C不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确．]4．某商场2024年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.(1)能较精确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)；(2)若所选函数满意f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________.(1)③(2)x2－8x＋17[(1)①②均单调，③先减后增，故能较精确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③.(2)由f(1)＝10，f(3)＝2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋p＋q＝10，,9＋3p＋q＝2，))解得p＝－8，q＝17，所以，f(x)＝x2－8x＋17.]小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：x/月份23456…y/元1.402.565.311121.30…小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝eq\f(2x,3)更合适．(1)你认为谁选择的模型较好？并简洁说明理由；(2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？(参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解](1)依据表格供应的数据，画出散点图，并结合y＝x及y＝eq\f(2x,3)的图象(如图所示)，视察可知，这些