2024高考数学考点专项突破基本不等式含解析

基本不等式多选题1、（2024·浙江温州中学高三3月月考）若，下列等式不行能成立有（）个.（1）（2）（3）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于：当a，b异号时，，当a，b同号时，，故不行能成立．对于：若，，则，当时，；化为：，看作是点到直线的距离为1，可能成立；对于：，，令，，所以，不行能成立．故选：C．2、（2024年高考浙江卷）若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满意，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.3、（2024·浙江镇海中学高三3月模拟）设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件．答案选C．4、（2025届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（）A．6 B． C．3 D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，当且仅当且即时，等号成立；故选：C．5、（2025届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）若正实数，满意，则取最小值时，（）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵；∴，且，；∴；∴，当且仅当，即时取等号.故选：B.6、（2025届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满意则的最小值是（）A．1 B． C．9 D．18【答案】A【解析】奇函数在R上单调，则故即当即时等号成立故选：7、（2025届浙江省中学发展共同体高三上期末）设实数、满意，且.则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，.当时，，当且仅当且，即，时取等号，当时，，当且仅当且时取等号，综上可得，的最小值.故选：C.8、（2025届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.9、（2025届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，

，所以．

故选：D．多选题10、（2010南京金陵中学期末）下列说法中正确的有（）A．.不等式a+b≥2ab恒成立B．存在a，使得不等式a+1aC．.若a，b∈（0，+∞），则baD．若正实数x，y满意x+2y＝1，则2【答案】BCD．【解析】：不等式a+b≥2ab恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A当a为负数时，不等式a+1a≤2由基本不等式可知C正确；对于2x当且仅当4yx=xy，即x=1故选：BCD．11、（2024秋•莱州市校级月考）若正实数a，b满意a+b＝1，则下列选项中正确的是（）A．ab有最大值14 B．a+bC．1a+1b有最小值4 D．a2+【答案】．AC【解析】：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴1+a+b≥1ab；∴ab≤∴ab有最大值14，∴选项Aa+b≥2ab，2ab≤1，∴a1a+1b=a+baba2+b2≥2ab，2ab≤12，∴a2+b2的最小值不是22，故选：AC．12、（2010薛城区校级期中）设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（）A．a+b有最小值2（2+1） B．a+b有最大值（2+1）C．ab有最大值3+22． D．ab有最小值3+22．【答案】．AD【解析】：∵a＞1，b＞1，∴a+b≥2ab，当a＝b∴1=ab-(a+b)≤ab-2ab，解得ab∴ab≥(2∴ab有最小值3+22∵ab≤(a+b2)2，当∴1=ab-(a+b)≤(a+b∴（a+b）2﹣4（a+b）≥4，∴[（a+b）﹣2]2≥8，解得a+b-2≥22，即a+b≥2(∴a+b有最小值2(2故选：AD．13、（2024秋•崂山区校级期末）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法探讨代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，许多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的全部的无字证明为（）A．a+b2≥ab（a＞0，B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C．ab≥21a+1D．a2+b22【答案】．AC【解析】：依据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：a+b2≥ab（a由于CD2＝AC•CB＝ab，所以DE=所以由于CD≥DE，整理得：ab≥2aba+b=2故选：AC．三、填空题14、（2024年高考天津卷理数）已知，且，则的最小值为.【答案】1【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a因为对于随意x，2x>0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a+2-3b≥2×综上可得2a+115、（江苏省南通市通州区2024-2025学年高三第一次调研抽测）设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为_________.【答案】9【解析】又x＋2y＝4即，当且仅当等号成立，故原式故填916、（2025届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.17、（2024年高考江苏）已知，则的最小值是．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.18、（2024·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即当且仅当时，又即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：919、（2024年高考江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意可知，S△ABC=S△ABD+S因此4a+c=当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.20、（2024年高考天津）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：21、（江苏省南通市2024-2025学年高三上学期期初）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．【答案】8【解析】，22、（2025届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）已知，则的最小值________.【答案】【解析】，，，由基本不等式得.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.23、（江苏省南通市西亭高级中学2024-2025学年高三下学期学情调研）已知，，且，则的最大值为______.【答案】【解析】∵，，且∴∵∴，当且仅当时取等号.令，原不等式转化为，解得.∴故答案为：.四、解答题24、(1)已知x＞1，求f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)的最小值；(2)已知0＜x＜eq\f(2,5)，求y＝2x－5x2的最大值．【解析】.(1)因为x＞1，所以x－1＞0，所以f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立．所以f(x)的最小值为3.(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝eq\f(1,5)·5x·(2－5x)，因为0＜x＜eq\f(2,5)，所以5x＜2，2－5x＞0，所以5x(2－5x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x＋2－5x,2)))eq\s\up12(2)＝1，所以y≤eq\f(1,5)，当且仅当5x＝2－5x，即x＝eq\f(1,5)时，y＝2x－5x2取得最大值eq\f(1,5).25、（2024·深圳试验学校中学部高一期末）已知正实数，满意等式.（1）求的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)因为，，由基本不等式，得.又因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为10.所以.所以当，时，的最大值为1；(2)因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.不等式恒成立，只要，解得.所以的取值范围是.26、（2024年11月北京市清华高校中学生标准学术实力诊断性测试测试数学）已知a，b，c为正实数，且满意a＋b＋c＝3.证明：(1)ab＋bc＋ac≤3；(2).【解析】（1）证明：正实数，，满意，，，当且仅当时等号成立（2），，当且仅当时等号成立27、（2024年1月中学生标准学术实力诊断性测试诊断性测试理科数学试卷）已知正数，，满意.（1）求证：；（2）求的最小值.【解析】（1）因为，，，所以由柯西不等式得.又因为.所以（2）由均值不等式，当且仅当时“=”成立∵.∴当且仅当时取“=”∴，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为6.28、（2025届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为（单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数及边际利润函数；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到）（3）求为何值时利润函数取得最大值，并说明边际利润函数的实际意义．【答案】（1）；；（2）台，万元；（3）或；反映了