中学同余问题解题技巧

中学同余问题解题技巧同余问题解题是中学数学里面比较重要的一个部分，也是涉及到许多领域的基础，如密码学、编码等等，因此，掌握同余问题解题技巧对于中学数学考试和实际应用都非常重要。一、同余基础概念同余是指在模意义下两个数的余数相同，即a≡b(modm)表示a和b除以m所得的余数相同，称a与b在模m下同余，m称为模数。两个数a和b在模m下同余可以写作以下三种形式之一：1.a=b+km2.m|(a-b)3.amodm=bmodm其中，k为整数。同时，同余关系是一种等价关系，即符合如下条件：设a，b，c∈Z，若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则有a≡c(modm)。二、同余解题方法1.同余方程求解同余方程的形式为ax≡b(modm)，其中a，b，m均为整数。当m与a互质时，同余方程才有唯一解。所以扩展欧几里得算法就可以解决同余方程，同时，可以通过扩展欧几里得算法求得a关于m的逆元，使得ax≡1(modm)。例子：解决同余方程3x≡1(mod7)。使用扩展欧几里得算法：7=3x2+13=1x31=3-1x2则，1=3-1x(7-3x2)=4x3-1x7所以，3的逆元为4，所以3x≡1(mod7)的解为x≡4(mod7)。2.同余式的加减乘方在同余式中，加减乘运算与普通数学中的运算法则基本一致，因此使用同余式的加减乘方，也能较容易地解决同余问题。例子：1.求(5×11+6)/7的余数。5×11+6=61，61÷7=8余5，所以5×11+6≡5(mod7)，∴5×11+6÷7≡5×11÷7+6÷7≡5+0≡5(mod7)。2.求11^23的个位及十位数字。11^23≡1^23(mod100)，因为11^20≡1(mod100)，所以11^23≡11^3≡1×11^2×11≡31(mod100)，所以十位为3，个位为1。3.中国剩余定理中国剩余定理（CRT），又称中国剩余定理问题，是解决一类同余方程组（线性同余方程组）的问题的方法，同时也是RSA加密算法的重要理论基础。形式如下：求解同余方程组x≡a1(modb1)x≡a2(modb2)……x≡an(modbn)。其中，b1，b2，……，bn两两互质。解法如下：设m=b1b2……bn，mi=m/bi，xi是mi关于bi的逆元（即mi×xi≡1(modbi)时，xi就是mi关于bi的逆元，使用扩展欧几里得算法就能得到），则同余方程组的通解为x≡a1mixi+a2mixi+……+anmixi(modm)。例子：解同余方程组：x≡3(mod5)x≡1(mod7)x≡2(mod9)解法如下：m=5×7×9=315m1=7×9，m2=5×9，m3=5×75×7y1≡1(mod9)，y1=8；5×9y2≡1(mod7)，y2=4；7×9y3≡1(mod5)，y3=8；x≡3×63×8+1×45×4+2×35×8(mod315)≡233(mod315)。所以x=233，是同余方程组的通解。三、总结同余问题在中学数学中是一个非常重要的部分，掌握其解题方法，能够在数学考试中轻松应对相关题目，同时对于现代密码学与编码应用也有一定的理论指导意义。同