2021届 人教a版 平面向量单元测试 (一)

平面向量

一、单选题

1.在边长为3的等边ZVRC中，点£满足荏=2反，则丽.丽=（）

C15,27

A.9B.—C.6D.—

24

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据平面向量基本定理把屁分解为丽和就，再进行向量的数量积运算即可.

【详解】

由恁=21，

得丽-BA=2（BC-画,

^BE=-BA+-BC,

33

则丽・丽=」丽2+2丽.册=—x3x3+—x3x3xcos60°=6.

3333

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理，向量数量积的运算，属于基础题.

注意在向量分解时，往往要把向量分解到已知夹角的方向上.

2.设点G是4ABC的重心，且(56sinA)就+(40sinB)丽+(35sinC)兹=0,则角B

的大小为()

A.450B.600C.300D.150

【答案】B

【解析】

因为(56sinA)而+(4()sinB)砺+(35sinC)OC=0,由正弦定理可得

56aGA+AObGB+35cGC=00因为6是418。的重心，所以

正干,群竽‘小卡’从而有

56a(BA+C4)+40/?(CB+Afi)+35c(^4C+BC)=0<>而巨=丽+丽，所以

56。(2明+CB)+40/?(CB+AS)+35c(2BC+AB)=0,贝U

(402+35c—2-56a)AB=(56a+40Z?-2-35c)BC。因为向量而和巨亍是非零不共

5c

a=一

40/J+35c-2-56a=08

线向量，所以《，化简可得〈由余弦定理可得

[56a+40/7-2-35c=0,7

b=-c

8

〃242_b21

=则B=6(X，故选B

2ac2

3.已知瓦，可是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）

①己=5瓦'，b=7百;②五=—|e2»b=3e1-2e2；

③G=瓦+与B=3瓦—3孩

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的共线定理，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

①中，五=5瓦3=7宙，所以a与B显然共线；

②中，因为五=：瓦-［筱，3=3瓦一2芭，所以3=6乙故石与3共线；

③中，设3=3匹一3瓦=/£(瓦*+石)，无解，故五与3不共线.

故选A.

【点睛】

本题主要考查向量共线的判定，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型.

4.已知平面向量9=(k,2),b=(Ll),keR,则k=2是9与6同向的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据条件求出9与6同向时k的范围，再根据范围确定充要关系.

【详解】

若M与5同向，则4=m5，(m>0),即(k,2)=m(1,1),

k=m

则4,得m=2,k=2,即k=2是"与5同向的充要条件，

2=m

故选C.

【点睛】

本题考查向量平行以及充要关系，考查基本分析判断与求解能力，属基本题.

+e

5.设q,e2是两个互相垂直的单位向量，且。4=+02,OB-ex~2则。4在。8

上的投影为

VioV?3#>272

A.4B.3C.10D.3

【答案】C

【解析】

A、/1、

—.OBW'l++万，2)3A/5

试题分析：投影为。4•空=

\OB\lo-

考点：向量的投影

6.如图，已知圆M:（x—4））+（丁一4）2=4,四边形A3GD为圆M的内接正方形，

民尸分别为边的中点，当正方形A8CO绕圆心”转动时，夜.砺的取值

A.[-872,872]B.[-8,8]C.[-4&,4及]D.[-4,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

由平面向量基本定理可知OF=OM+MF'结合垂直关系和数量积运算性质可知

MEOF=MEOM>根据数量积的定义，可得砺防=8cos〈丽石•两>，从

而求得范围.

【详解】

由题意可得：OF^OM+MF'

:.1^OF=^（OM+1^）=MEOM+MEMF

ME±MFME-MF=QME-OF=ME-OM

•••0"的半径为2丽耳=J5

又|啊="2+42=40,

ME-OM=\ME\\OM\COS<ME-OM>=Scos<ME-OM>

VCOS<ME-OM>G[-1,1].-.ME-OFG[-8,8]

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查向量数量积取值范围的求解问题，关键是能够通过平面向量基本定理和垂直关

系将所求数量积转化为赤.两，通过数量积的定义，结合三角函数的范围求得对应

的取值范围.

7.给出下列命题：

①两个长度相等的向量一定相等；

②零向量方向不确定；

③若ABCD-A'B'C'D'为平行六面体，则通=灰；

④若ABCD-A'B'C'D'为长方体，则通+前+*=曲+AD1.

其中正确命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

对①，方向不一定相同；对②，根据零向量的定义可知正确；对③，两个向量的方向不

相同：对④，利用向量加法进行运算.

【详解】

对①，方向不一定相同，故①错误；

对②，根据零向量的定义可知正确，故②正确；

对③，两个向量的方向不相同，故③错误；

对④，利用向量加法进行运算得：AB+BC+CC=AC＞衣+正=初，故④

错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的基本概念及向量加法的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.

8.如图，平行四边形ABC。的对角线交于点/，若而=£,AD=5，用Q、B表

示该为（）

1-1

A.-a+-bB.-a--bC.——a——brD.--a+-b

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】

——1—

先利用£、石表示出向量而，再由加。=56。可得出结果.

【详解】

由平面向量减法的三角形法则可得BD=AD-AB=b-a，

••・平行四边形ABC。的对角线交于点M,则点M为8D的中点，

—.1—.1-1_

因止匕，MD=—BD=——a+-h.

222

故选：D.

【点睛】

本题考查利用基底表示平面向量，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属

于基础题.

9.已知命题p:VxwR,3'>2"命题夕：若ZVWC中，a=5/=8,c=7,贝！J

BCCA=-2Q>则下列命题正确的是（）

A.PMB.（-n/?）AqC.pv（-17）D.（「〃）人（「q）

【答案】B

【解析】

【分析】

举出反例证明命题p:VxeR,3X>2'为假命题，再对命题夕中根据余弦定理求解cosC

再判定即可.

【详解】

对命题〃：VxeR,3、>21当x=0时3'=2、故P为假命题.

a2+b2-c225+64-491

对命题q,AABC中，a=5/=8,c=7则cosC=

lab802

因为Ce(O,%),所以C=q.故比.瓦=a2・cos(%—C)=—20.故命题夕为真命题.

故正确.

故选：3

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判断，同时也考查了指数函数与解三角形与平面向量的应用

等.属于基础题.

10.如图，|砺|=|而|=1,砺与砺的夹角为120°,反与砺的夹角为30°，若

反=/而+〃而则&等于().

R2石

X.------o.---------

23

【答案】D

【解析】

【分析】

将反沿次与前方向进行分解，易得丽=4砺，砺=〃而，再在△DOC中,

\OD\i

，代入相关值即可得到答案.

\cb\sin4C0D

【详解】

将06沿砺与前方向进行分解，如图,

由平行四边形法则有无=而+砺=4丽+〃砺，且4〃>0,所以砺=2砺,

OE^/JOB,又ZDOC=30°,NOC£>=90'，在△OOC中,

\0D\119

|CD|sinZCOD1，

2

儡*2,

【点睛】

本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

11.已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为0,且不，+屈=血，|砺H而|，则

CABC的值是（）

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】D

【解析】

试题分析：由己］+正=痂易得AABC是直角三角形，且A为直角，又|耐卜|无理，

故C=30。.由此|4。|=百，忸C|=2,C4,^C=|c,4|-|c5|cosl500=-3.故D

正确.

考点：平面向量数量积公式.

12.设向量M=5=(3,—2),则3a—25=()

A.(—3,7)B.(0,7)C.(3,5)D.(—3,5)

【答案】A

【解析】

【分析】

直接将坐标代入计算即可得到结果.

【详解】

•.•向量年=(,1),^=(3,-2)

35-2^=3(1,1)-2(3,-2)=(3,3)-(6,-4)=(-3,7)

故选：A

【点睛】

本题主要考查平面向量的坐标形式的线性运算，属于基础题.

二、填空题

13.在等边AABC中，。，E分别为边AB,AC的三等分点，且=EC=2AE,

BC=6,^DE-AB=.

【答案】-18

【解析】

【分析】

先求得诙=；而一g而，再由诙.丽=丽卜丽展开求解即可.

【详解】

__12

因为AD=237)，EC=2AE•所以。E=AE—AO=—AC—AB,

33

所以

______(12——、——1——2——2112

DEAB^\-AC——AB♦"=—AC-A5——AB=—x6x6x-------x62=-18

(33133323

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的计算，涉及到利用基底表示向量，属于基础题.

14.如图，正方形A8CQ的边长为2,三角形DPC是等腰直角三角形(P为直角顶

点)，E,尸分别为线段CO,A8上的动点(含端点)，则而.丽的范围为.

【答案】[2,4]

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，转化为E、F两点的横坐标，然后利用不等式知识可求得PE-PF

的范围.

【详解】

以A为原点，AB和AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)、B(2,0)、C

(2,2)、D(0,2)、P(1,3),

设E(a,2)、F(b,0)(0WaW2,0WbW2),则丽=(a-1,-1),~pp=(b-1,

-3),

.•.而・丽=(a-1,-1)•(b-1,-3)=(a-l)(b-1)+3,：0WaW2,0WbW2,

，-IWa-lWl,-IWb-1W1,-1W(a-1)(b-1)Wl,；.2W而•而W4

故而•方的取值范围是[2,4].

故答案为：[2,4]

【点睛】

本题考查了向量数量积、不等式性质、数形结合思想，属于中档题.

15.已知向量〃=（5,机），^=（2,-2）,若仅叫•方=闾可，则实数加=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

利用平面向量数量积的坐标运算和向量模的坐标运算可得出关于实数机的方程，进而

可解得实数加的值.

【详解】

由题意得，a—力=（3,“2+2）,-b）.b=|同，6—2（/〃+2）=4,解得m=-1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

16.已知平面向量a、5满足条件：无5=0，同=cosa,M]=sina,a,

若向d=/lG+历(Z〃eR),且(2/L-l)2cos2a+(2〃—iysin2a=L则同的最

9

小值为_______

【答案】2

3

【解析】

【分析】

由题意可设白=(cosa,0),5=(0,sina),c=(x,y),且设。由

3+求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.

【详解】

由题意可设4=（cosa,0）,5=（0，sina）,c—（x,y）,设反^之,

c=Aa+/db—（Xcosa,psina）,

x=Acosan

，（0,—

y=/Lisina2

（24-1）2COS2C^+（2/Z-1）2sin26z=,

则（2x-cosa）“+（2y—sina）2

9

n即nz-c三osa、）2（亍sindf卜Y方1

cosotsinn1rr

...C在以。(二土,为圆心，以一为半径的圆上，ae(0,-),

2262

I，1111

故答案为；.

3

【点睛】

本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几

何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.

三、解答题

17.已知△ABC的面积为S,且福.而=S.

（1）求sirr--cos'----V^sin2A的值；

22

（2）若角A,8,C成等差数列，|行一刀|=4求AABC的面积S.

【答案】⑴-75;（2）3273-48

【解析】

【分析】

（1）根据三角形面积公式、平面向量数量积定义，可以得到tanA的值，再根据同角

的三角函数关系求出sinA,cosA的值，最后运用二倍角的余弦公式和正弦公式计算求

值即可；

（2）根据等差中项的定义，结合三角形内角和定理可以求出3的值，结合（1）,利用

两角和的正弦公式可以求出sinC的值，根据平面向量减法的运算法则和正弦定理可以

求出〃，最后利用三角形面积公式求解即可.

【详解】

解：（1）设AABC中4、B、C的对边分别为4、氏C,

]sinA

ABAC=SRS=—bcsinA：.tanA=2=>----=2-：sin2A+cos2A=l,

2cosA

..275A亚

sinA=----,cosA=——•

55

sin2--cos2--V5sin2A=-cosA-25/5sinAcosA=-75

22

(2)V2B=A+C,A+B+C=7r,

5=y,从而有sinC-sin(A+B)-sinAcosB+cosAsinB=2唾;

,：\CB-CA\=c=4

由正弦定理，7；=-^；得力=8厉—12不

sinCsinB

所以S=-/?csinA=32>/3-48

2

【点睛】

本题考查了三角形面积公式、正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了

两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.

18.已知|£|=2,用办表示出与［方向相同的单位向量，以及与［方向相反的单位向量.

【答案】与加方向相间的单位向量为与［方向相反的单位向量为一

【解析】

【分析】

由数乘向量的定义可得：±二为与£共线的单位向量，将|=2代入即可得答案.

\a\

【详解】

由数乘向量的定义可得：±3为与［共线的单位向量,

\a\

所以巴与［方向相同的单位向量;

2

-应与公方向相反的单位向量.

2

【点睛】

本题考查数乘向量的几何意义，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

19.已知向量用=(2sin-,cos—),n—(cos—,Q),且/(x)-m*n.

424

(I)求函数/(x)的最小正周期；

(D)若OWxW兀，求函数/(x)的最大值和最小值.

【答案】(I)4%(II)最大值2,最小值1

【解析】

【分析】

(1)利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再求函数/(X)的最小正周

期;

(II)利用三角函数的图象与性质，整体思维求函数/(x)在区间［0,II］上的最大值和

最小值.

【详解】

解：(I)f(x]=a-h=2sin—cos—+y/3cos—

V7442

=sin—+yf3cos—

22

1,xV3x、

2-sin—I---cos-

2222)

1.X乃X.乃)(X

=2sin—cos—+cos—sin—=2sin\一+一,

(2323JU3J

_2乃.

T=—=47r

：.f(x)的最小正周期1

2

X71715万

(II)VxG[0,n],一,---

2336

当：+!=¥，即x=n时，/(x““=2si〃警=1；

236\oJ

.X7171n1.""rt_x£/、c.乃c

当一+—=—，即工=—时，fMfnaK=2sm—=2

23232

TT

.•.当X=7T时，函数/(X)取得最小值1；当X=§时，函数/(X)取得最大值2.

【点睛】

本题考查向量的数量积公式，辅助角公式，考查三角函数的性质，正确化简是关键.

20.(9分)已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b.

18.解.♦:h与也方向相反,b=Xa=4(5,—12)皿<0

【答案】X\b\=26,.-.V(5^)2+(12A)2=2613|A|=26

EPX=-2,b=(-10,24)

【解析】

由于向量益与向量B方向相反，所以3=<0),再根据的=26,

求出4值，确定出向量族的坐标.

21.已知椭圆C:1+工=1(。>人〉0)的离心率为Y2,且以原点为圆心，以短轴长

a-h-2

为直径的圆G过点。，0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点M(2,0)的直线/与椭圆C交于不同的两点A,8,且与圆G没有公共点，

设G为椭圆C上一点，满足(砺+砺)=z砺(。为坐标原点)，求实数t的取值范围.

2

【答案】(1)y+/=l.(2)ze(-2,-,2).

【解析】

【分析】

(1)利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出。的值，利用椭圆的离心率公式得到。，

C的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a,C的值，将。，方的值代入椭圆的

方程即可；

（2）设A3的方程代入椭圆方程，利用西+丽=f9确定A，B,尸三点之间的关

系，利用点P在椭圆上，建立方程，从而可求实数r取值范围.

【详解】

（1）•••以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+0=O相切

/./?=1