2025届海东市重点中学高二上数学期末质量检测试题含解析

2025届海东市重点中学高二上数学期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题为“甲核酸检测结果为阴性”，命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（）A. B.C. D.2．设函数，则（）A.4 B.5C.6 D.73．已知，，，则，，的大小关系是A. B.C. D.4．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A.120 B.84C.56 D.285．已知数列满足，，则（）A. B.C. D.6．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）A.1 B.2C.3 D.47．已知点，分别在双曲线的左右两支上，且关于原点对称，的左焦点为，直线与的左支相交于另一点，若，且，则的离心率为（）A B.C. D.8．已知等比数列满足，，则（）A. B.C. D.9．已知全集，，（）A. B.C. D.10．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）A. B.C. D.11．曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.12．已知空间向量，且与垂直，则等于（）A.－2 B.－1C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.14．动点M在圆上移动，则M与定点连线的中点P的轨迹方程为___________.15．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____.16．已知球的表面积是，则该球的体积为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.（1）若直线的斜率为1，求；（2）若，求直线的方程.18．（12分）已知函数，，其中为自然对数的底数.（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值；（2）是否存在实数，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．（12分）如图①，等腰梯形中，，分别为的中点，，现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中：（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.20．（12分）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由21．（12分）已知函数.（1）设函数，讨论在区间上的单调性；（2）若存在两个极值点，（）（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），且，证明：.22．（10分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，且，讨论函数的零点个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】表示出和，直接判断即可.【详解】命题为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题为“甲核酸检测结果不是阴性”；命题为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题为“乙核酸检测结果不是阴性”.故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为.故选D.2、D【解析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.【详解】,故，故选：D.3、B【解析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小【详解】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目4、B【解析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.【详解】第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，，第四次循环：，，第五次循环：，，第六次循环：，，第七次循环：，，退出循环，输出.故选：B5、A【解析】根据递推关系依次求出即可.【详解】，，，，，.故选：A.6、B【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.④，若为空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在不全为零的，使得，故，因为为空间的一个基底，，故，矛盾，故不共面，所以构成空间的另一基底，④正确.所以正确的判断是个.故选：B7、D【解析】根据双曲线的定义及，，应用勾股定理，可得关系，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，连接,,,如图：根据双曲线的对称性及可知，四边形为矩形.设因为，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化简可得，③把③代入①可得：，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，勾股定理，属于难题.8、D【解析】由已知条件求出公比的平方，然后利用即可求解.【详解】解：设等比数列的公比为，因为等比数列满足，，所以，所以，故选：D.9、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C10、C【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，则点，所以圆心为，半径，所以方程为，故选：C11、D【解析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.【详解】由求导得：，则有，因此，曲线在处的切线的斜率为，所以曲线在处切线的倾斜角是.故选：D12、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算即可解决.【详解】∵∴∴，解得，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.14、##【解析】设，中点，根据中点坐标公式求出，代入圆的标准方程即可得出结果.【详解】设，中点，则，即，因为在圆上，代入得故答案为：.15、【解析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.设平面D1EF的法向量为，则，令x=1，则y=0，z=2，所以平面D1EF的一个法向量.点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.故答案为：.16、【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）8（2）【解析】（1）设，由，进而结合抛物线的定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离，最后求得答案；（2）由，所以，设出直线方程并代入抛物线方程，进而结合根与系数的关系求得答案.【小问1详解】设，抛物线的准线方程为：，因为，由抛物线定义可知，.直线，代入抛物线方程化简得：，则，所以.【小问2详解】设，代入抛物线方程化简得：，所以，因为，所以，于是则直线的方程为：.18、（1）单调增区间是，单调减区间是；最大值为；（2）存在，.【解析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值；（2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值.【详解】解：.（1）∵，，∴，由，得.∴，∴，，，，∴的单调增区间是，单调减区间是；的极大值为；也即的最大值为.（2）解：∵，∴，①当时，单调递增，得的最大值是，解得，舍去；②时，由，即，当，即时，∴时，；时，；∴的单调增区间是，单调减区间是，又在上的最大值为，∴，∴；当，即时，在单调递增，∴的最大值是，解得，舍去；综上：存在符合题意，此时.【点睛】本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性及求解函数的最值中的应用，还考查了函数的最值求解与分类讨论的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件.19、（1）证明见解析.（2）2【解析】（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明；（2）将所求四棱锥的体积转化为求即可.【小问1详解】证明：因为，面，面，所以面，同理面，又因为面,所以面面.【小问2详解】解：因为在图①等腰梯形中，分别为的中点，所以，在图②多面体中，因为，面，，所以面.因为，面面，面，面面,所以面，又因为面，所以，在直角三角形中，因为,所以，同理，，所以，则，有，所以.所以四棱锥的体积为2.20、（1）；（2）存在；.【解析】(1)根据给定条件求出a，c，b即可作答.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.【小问1详解】依题意，，，，由椭圆定义知：椭圆长轴长，即，而半焦距，即有短半轴长，所以椭圆C的标准方程为：【小问2详解】依题意，设直线l方程为，由消去x并整理得，设，，则，，假定存在点，直线TM与TN的斜率分别为，，，要使为定值，必有，即，当时，，，当时，，，所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）由题意得，然后对其求导，再分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，（2）由（1）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，且是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，从而将要证的结论转化为证，令，再次转化为利用导数求的最小值大于零即可【小问1详解】由，得，则，当时，在上单调递增；当时，令.当时，单调递增；当时，单调递减.综上，当时，的增区间为，无减区间当时，的增区间为，减区间为小问2详解】由（1）知若存在两个极值点，则，且，且注意到，所以在和上各有一个零点，且时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减.所以是的两个极值点.，因为，所以，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要证，即要证即要证：因为，所以所以，即要证：即要证：令，即要证：即要证：令当时，，所以在上单调增所以结论得证.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将两个极值点代入导函数中化简后，将问题转化为证明成立，换元后构造函数，再利用导数证明，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22、（1）.（2）答案见解析.【