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文档简介

2025届永州市重点中学高三数学第一学期期末质量检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是()A. B. C. D.2.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.3.已知函数,则()A.2 B.3 C.4 D.54.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()A.9 B.27 C.81 D.5.如图是国家统计局公布的年入境游客(单位:万人次)的变化情况,则下列结论错误的是()A.2014年我国入境游客万人次最少B.后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C.这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D.前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差6.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为()A.7 B.6 C.5 D.47.已知椭圆的焦点分别为,,其中焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.设复数满足,在复平面内对应的点为,则()A. B. C. D.9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. B. C.2 D.10.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为()尺.A. B. C. D.11.已知复数在复平面内对应的点的坐标为,则下列结论正确的是()A. B.复数的共轭复数是C. D.12.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,满足约束条件则的最大值为__________.14.已知平面向量与的夹角为,,,则________.15.已知向量,,则______.16.已知全集为R,集合,则___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和交点的交点为,求的面积.18.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数(I)若讨论的单调性;(Ⅱ)若,且对于函数的图象上两点,存在,使得函数的图象在处的切线.求证:.20.(12分)已知数列满足,且,,成等比数列.(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,,求数列的前n项和.21.(12分)已知等差数列满足,.(l)求等差数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.22.(10分)已知,函数.(1)若,求的单调递增区间;(2)若,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.2、B【解析】

观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:【点睛】本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.3、A【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为所以.故选:.【点睛】本题考查了分段函数计算,意在考查学生的计算能力.4、A【解析】

根据两个已知条件求出数列的公比和首项,即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由,得,解得或.因为.且数列递增,所以.又,解得,故.故选:A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、D【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论,C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A.由统计图可知:2014年入境游客万人次最少,故正确;B.由统计图可知:后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势,故正确;C.入境游客万人次的中位数应为与的平均数,大于万次,故正确;D.由统计图可知:前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大,所以对应的方差更大,故错误.故选:D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解,难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图,分析出对应的信息,对学生分析问题的能力有一定要求.6、C【解析】

由二项式系数性质,的展开式中所有二项式系数和为计算.【详解】的二项展开式中二项式系数和为,.故选:C.【点睛】本题考查二项式系数的性质,掌握二项式系数性质是解题关键.7、B【解析】

根据题意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【详解】易知,且故有,则故选:B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题8、B【解析】

设,根据复数的几何意义得到、的关系式,即可得解;【详解】解:设∵,∴,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用,属于基础题.9、A【解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为和,所以底面面积为高为的三棱锥,所以三棱锥的体积为,故选A.10、B【解析】如图,已知,,

∴,解得

,∴,解得

.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.11、D【解析】

首先求得,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】由题意知复数,则,所以A选项不正确;复数的共轭复数是,所以B选项不正确;,所以C选项不正确;,所以D选项正确.故选:D【点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想.12、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

先画出约束条件的可行域,根据平移法判断出最优点,代入目标函数的解析式,易可得到目标函数的最大值.【详解】解:由约束条件得如图所示的三角形区域,由于,则,要求的最大值,则求的截距的最小值,显然当平行直线过点时,取得最大值为:.故答案为:1.【点睛】本题考查线性规划求最值问题,我们常用几何法求最值.14、【解析】

根据已知求出,利用向量的运算律,求出即可.【详解】由可得,则,所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算,考查计算求解能力,属于基础题.15、【解析】

求出,然后由模的平方转化为向量的平方,利用数量积的运算计算.【详解】由题意得,.,.,,.故答案为:.【点睛】本题考查求向量的模,掌握数量积的定义与运算律是解题基础.本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算.16、【解析】

先化简集合A,再求A∪B得解.【详解】由题得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案为{-1,0,1}【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程即可.(2)将和的极坐标方程联立,求得两个曲线交点的极坐标,即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】(1)曲线的参数方程为(α为参数),消去参数的的直角坐标方程为.所以的极坐标方程为(2)解方程组,得到.所以,则或().当()时,,当()时,.所以和的交点极坐标为:,.所以.故的面积为.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直角坐标方程与极坐标的转化,利用极坐标求三角形面积,属于中档题.18、(1);(2).【解析】

(1)求出函数的定义域,即可求出结论;(2)化简集合,根据确定集合的端点位置,建立的不等量关系,即可求解.【详解】(1)由,即得或,所以集合或.(2)集合,由得或,解得或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查集合的运算,集合间的关系求参数,考查函数的定义域,属于基础题.19、(1)见解析(2)见证明【解析】

(1)对函数求导,分别讨论,以及,即可得出结果;(2)根据题意,由导数几何意义得到,将证明转化为证明即可,再令,设,用导数方法判断出的单调性,进而可得出结论成立.【详解】(1)解:易得,函数的定义域为,,令,得或.①当时,时,,函数单调递减;时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为.②当时,时,,函数单调递减;或时,,函数单调递增.此时,的减区间为,增区间为,.③当时,时,,函数单调递增;此时,的减区间为.综上,当时,的减区间为,增区间为:当时,的减区间为,增区间为.;当时,增区间为.(2)证明:由题意及导数的几何意义,得由(1)中得.易知,导函数在上为增函数,所以,要证,只要证,即,即证.因为,不妨令,则.所以,所以在上为增函数,所以,即,所以,即,即.故有(得证).【点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可,属于常考题型.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)因为,所以,所以,所以数列是等差数列,设数列的公差为,由可得,因为成等比数列,所以,所以,所以,因为,所以,解得(舍去)或,所以,所以.(2)由(1)知,,所以,所以.21、(1);(2).【解析】试题分析:(1)设等差数列满的首项为,公差为,代入两等式可解。(2)由(1)

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