人教A版必修一课后作业第三章函数应用321

3.2.1几类不同增长的函数模型学习目标1.尝试将实际问题转化为函数模型.2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.3.会根据函数的增长差异选择函数模型.知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.梳理一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表.函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同增长速度ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长增长后果总会存在一个x0，当x>x0时，就有ax>xn>logax类型一几类函数模型的增长差异例1(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A.y＝50x B.y＝x50C.y＝50x D.y＝log50x(x∈N*)答案C解析四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.(2)函数y＝2x－x2的大致图象为()答案A解析在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略).易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0；当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件.反思与感悟在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.跟踪训练1函数f(x)＝eq\f(lg|x|,x2)的大致图象为()答案D解析f(x)为偶函数，排除A、B.当x＞1时，y＝lg|x|＝lgx＞0，且增长速度小于y＝x2，所以当x→＋∞时，eq\f(lg|x|,x2)→0且函数值为正数，故选D.类型二函数模型应用命题角度1选择函数模型例2某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用()A.一次函数 B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数答案D解析四个函数中，A的增长速度不变，B、C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系.反思与感悟根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型.跟踪训练2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是()答案A命题角度2用函数模型决策例3某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元).故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利.反思与感悟建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度.而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据.跟踪训练3一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价eq\f(2,3)优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.解设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.甲旅行社收费：y＝a＋eq\f(a,2)(x＋1)＝eq\f(a,2)(x＋3)；乙旅行社收费：y＝eq\f(2a,3)(x＋2).∵eq\f(2a,3)(x＋2)－eq\f(a,2)(x＋3)＝eq\f(a,6)(x－1)，∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.当x＞1时，甲旅行社更优惠.1.下列函数中随x的增长而增长最快的是()A.y＝ex B.y＝lnxC.y＝x100 D.y＝2x答案A2.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值区间是()A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，2) D.(4，＋∞)答案D3.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为()A.8℃ B.78℃C.112℃ D.18℃答案B4.下面选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是()A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5C.y＝30＋lg(x－1) D.y＝50答案A5.我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB).对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍 B.10倍C.倍 D.lneq\f(7,6)倍答案B解析由题意，令70＝10lgeq\f(I1,I0)，则有I1＝I0×107.同理得I2＝I0×106，所以eq\f(I1,I2)＝10.1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.课时作业一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x答案B解析D增长速度不变，A、C增长速度越来越快，只有D符合题意．2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，xa＞logaxC．对任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax答案D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2答案A解析由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系式为：P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为()A.eq\f(1,2)小时 B.eq\f(5,9)小时C．5小时 D．10小时答案C解析由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P＝P0e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e－5k，∴0.1＝e－5k，即－5k＝ln0.1，∴k＝－eq\f(1,5)ln0.1.由1%P0＝P0e－kt，即0.01＝e－kt，∴－kt＝ln0.01，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)ln0.1))t＝ln0.01，∴t＝10.∴至少还需要过滤5小时才可以排放．6．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()答案B解析水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢．7．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因为yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以y1＞y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．二、填空题8．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双．答案800解析要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.答案e6－1解析由题意2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000.∴lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，从而eq\f(M,m)＝e6－1.10．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．答案300解析把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得a＝100，故