一章推理与证明数学归纳法

数学归纳法问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学.问题2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得a1＝1,a2＝1,a3

＝1,于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1.问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内角和为3•180°，于是有凸n边形的内角和为(n-2)•180°.

引入请问：

以上四个结论正确吗？为什么?

得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点？问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N).

1、错；2、错，a5=25≠1；3、对；4、对.

共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全归纳法，问题4是用的完全归纳法.一、概念1、归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法.❋用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2.归纳法

完全归纳法不完全归纳法

新课2、数学归纳法：

我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？----用数学归纳法

步骤：①验证n=n0时命题成立.（n0为n取的第一个值）②假设n=k(k∈N，k≥n0)时命题成立,证明n=k+1

时命题也成立.③根据①②得出结论.

数学归纳法用框图标表示就是验证n=n0时命题成立

若n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立命题对从n0开始所有的正整数n都成立例1用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N）.证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即

1+3+5+…+(2k-1)=k2，

当n=k+1时,

1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k时等式也成立.

由①和②可知，对n∈N，原等式都成立.

应用一：证明恒等式

应用请问：A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？B、假设n=k(k∈N)时，等式成立，那么当n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N，等式都成立？

1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立).如果没有第一步，第二步就没有意义；如果没有第二步，便成为不完全归纳，结论就没有可靠性；第三步是总体结论，也不可少.由以上可知，用数学归纳法需注意：

注意

2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法.3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题.例2求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时，左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立.②假设当n=k((k∈N）时有

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2k-1),

当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•

=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立.

由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立.

例3设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+…+22+12.用数学归纳法证明：证明:（1）n=1时，左边=S1=12=1，右边==1=S1，等式成立.当n=k+1时，Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12=[12+22+…+k2+(k-1)2…+22+12]+(k+1)2+k2=Sk+2k2+2k+1=(2k3+k+6k2+6k+3)=[(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]=(k+1)(2k2+4k+2+1)=(k+1)[2(k+1)2+1],∴

当n=k+1时公式仍成立.(2)假设当n=k(k∈N)时，有

Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+…+22+12

，

=+2k2+2k+1由(1)、(2)可知，对一切n∈N，均有.

1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中n=k+1时应增加的式子；3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”n=k时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式.小结数学归纳法的概念及应用

小结1、用数学归纳法证明（a≠1），在验证n=1等式成立时，左边应取的项是__________.2、某个命题当n=k(k∈N)