变形体系的虚功原理

6.2变形体系的虚功原理6.2.1功、实功与虚功1、功功包含了力和位移两个因素。2、静力荷载所做的功静力荷载，是指荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加到最终值，结构在静力加载过程中，荷载与内力始终保持平衡。所谓实功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3、常力所做的虚功所谓虚功，是指力在另外的原因（诸如另外的荷载、温度变化、支座移动等）引起的位移上所做的功。FPFP1FP1DD11D11q21o12实功6.2.1功、实功与虚功AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®FP1在Δ12上做的功W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故为虚功。所谓“虚”，就是表示位移与做功的力无关。在作虚功时，力不随位移而变化，是常力，故在计算式中没有系数“1/2”。FP1(先)FP1D11D12D12q21q22111222M2(后)M26.2.1功、实功与虚功AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对于各种形式常力所做的虚功，用力和位移这两个彼此独立无关的因子的乘积来表示，即式中，FP是做功的与力有关的因素，称为广义力，可以是单个力、单个力偶、一组力、一组力偶等。Δ是做功的与位移有关的因素，称为与广义力相应的广义位移，可以是绝对线位移、绝对角位移、相对线位移、相对角位移等。6.2.2广义力和广义位移AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®6.2.3刚体体系虚功原理刚体体系处于平衡的必要和充分条件是,对于符合约束条件的任意微小虚位移,刚体体系上所有外力所做的虚功总和等于零.6.2.4变形体的虚功原理

1、关于原理的表述变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约束条件的任意微小虚位移，变形体系上所有外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功总和。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®6.2.4变形体的虚功原理

或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚变形能）。2、关于原理的证明AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(1)按外力虚功与内力虚功计算（从变形的连续条件考虑）dW总=dW外+dW内将微段ds上的作用力区分为外力与内力,微段总的虚功FPFR1FR2FR3Mqdsdsdsdsdsdsdsg0g0dudvdθqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力状态位移状态AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®整个结构的总虚功为或简写为W总=W外+W内由于任何两相邻微段的相邻截面上的内力是成对出现的，它们大小相等，方向相反；又由于虚位移是光滑的、连续的，两微段相邻的截面总是紧密贴在一起的，而且有相同的位移，因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相互抵消的。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®W内=0因此W总=W外（a）由此可见，必有(2)按刚体虚功与变形虚功计算（从力系的平衡条件考虑）对微段的虚位移则区分为刚体虚位移和变形虚位移两类AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®微段总的虚功dW总=dW刚+dW变FPFR1FR2FR3Mqdsdsdsdsdsdsdsg0g0dudvdθqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力状态位移状态AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®dW总=dW刚+dW变由刚体虚功原理，可知dW刚=0于是，微段上总的虚功dW总=dW变

对于全结构，有因此，有W总=W变

(b)由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布荷载q在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为dW变=Mdθ+FNdu+FQdvAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功，只有截面上的内力做功。对于平面杆系有dW变=Mdθ+FNdu+FQdv(c)W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和，称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®须注意的是：这里（2）中的W变与（1）中的W内是有区别的。（1）中的W内是指所有微段上内力在截面的总位移（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，如前所述，它恒等于零；而这里（2）中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功的总和。比较（a）、（b）两式，可得W外=W变就是我们需要证明的结论。它不仅适用于杆件结构，也适用于板、壳等非杆件结构。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式（6-5）W=FPΔ计算，故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功的总和为W外=SFPD

将有关W外和W变的计算式（e）和（c）代入式（6-6），则平面杆件结构的虚功方程可表示为（e）（6-7）

平衡力系位移状态AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3、关于原理的说明1）在上面的推证过程中,只考虑了力系的平衡条件和变形的连续条件.所以,虚功方程既可以用来代替平衡方程,也可以用来代替几何方程（即协调方程）.2）虚功方程是个“两用方程”,具体应用时可有两种形式.鉴于力系与变形彼此是独立无关的,因此,如果力系是给定的,则可虚设位移,式（6-7）便称为变形体系的虚位移方程,它代表力系的平衡方程,常可用于求力系中的某未知力；如果位移是实有的,则可虚设力系,式（6-7）便称为变形体系的虚力方程,它代表几何协调方程,常可用于求实际位移状态中某个未知位移.本章即主要介绍虚力方程及其应用.AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®3）在推证式（6-6）时,没有涉及到材料的性质.因此,变形体系的虚功方程是个普遍方程,既适用于弹性问题,也适用于非