九年级数学教案17 中考热点专题（二）

第十七讲中考热点专题（二）

［教学内容］

《佳一动态数学思维》春季版，九年级第十七讲“中考热点专题（二）”.

［教学目标］

知识技能

1.能够综合运用所学知识解决新概念型、阅读理解型等问题；

2.掌握解决开放与探究型问题、归纳、猜想型问题、方案设计与决策型问题的基本方法.

数学思考

1.在解决综合应用问题的过程中，体会数学的基本思想和基本思维方式.

2.通过研究阅读理解型问题，培养学生收集处理信息的能力，让学生感悟数学的思想方法.

3.通过研究运动型问题，培养学生综合运用各种相关知识的能力，及数形结合、分类讨论、转化等

数学思想.

问题解决

1.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析

问题和解决问题的一些基本方法.

2.在与他人合作和交流的过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论.

情感态度

1.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学

的信心；

2.敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，

形成严谨求实的科学态度.

［教学重点、难点］

重点：综合运用所学知识解决中考中的热点问题

难点：动手操作型问题、运动型问题

［教学准备］

动画多媒体语言课件

第一课时

教学路径

导入

师：上一讲中我们学习了很多综合性问题，那么这一讲我们学习一些特殊形式的问题.

启动性问题

阅读下面的情境对话，然后解答问题.

（I）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇

异三角形”是真命题还是假命题？

（2）RtAABC中，ZACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,Rb>a,RtAABC

是奇异三角形，求a：人：c；

小萍：（1）真命题.

11222

小亮：（2）在RtZSABC中/+〃=。2,vc>b>a>o）2c>a+lr,2a<c+b,

.•.若RtZ\A8C是奇异三角形，一定有2b2=/+",.・.2k=/+（/+〃2）,，02=为2,

得。=\[2a.'/c2=b2+a2=3a2,/.c=#>a,.".abc=1:41:百.

师：在这道题目中，老师先定义了一种新概念，再根据以往学过的相关知识进行计算

和证明，这种类型的题目我们称它为新概念型问题，让我们一起学习几道例题.

考点95新概念型问题

师：大家先来一起认识一下新概念型问题.

回顾：

师：下面我们就一起来看几道例题.

新概念型问题是新课标所引来的一种新题型，它的特点是给出新定义，再提出新问题，

通过实验、探究、猜想，让学生在新概念下解决新问题.

常见类型：（1）定义一种新数；

（2）定义一种新运算；

（3）定义一种新法则；

（4）定义一种新图形.

解题策略：正确理解新定义的内涵与外延.

师：让我们先来完成几道例题.

初步性问题

探究类型之一定义一种新运算

例1定义运算。（1一分），下面给出了关于这种运算的几个结论：

①2<8>（—2）=6,b=b®a,a+b=Q,贝U（a®a）+（.b®b）=2",④若

a®h=O,贝Ua=0,其中正确结论的序号是—①③1.（在横线上填上你所有认为

正确结论的序号)

师：对于这类定义新运算的题目，我们需要弄清定义中的运算关系，将其转化为代数

式或者方程.

解析：

①2③(-2)=2X[1-(-2)]=6；(下一步)

@a®b=a(1—/?),a=O(l-a),不正确；(下一步)

③(a®a)+Cb®b)=a(l-a)+b(l-b)=(«+/>)-(«2+b2),Xa+b=Q,得“=-/?,

代入原式；(下一步)

④不正确，a®b=a(1—/?)=0,所以a=0或0=1.

答案：①③

师：让我们一起完成一道练习题.

类似性问题

1.对于非零的两个实数a、b,规定a区方△-L若1(8)(尤+1)=1,则x的值为()

ba

A3D1

A.一D.—c.-D.

2322

解析：

（九+i）=i得_L._1

1®--1=1,・------.

x+l2

初步性问题

探究类型之二定义一种新函数

例2通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比

值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角

形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对

(sad).如图①在△A3C中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=

誉底=边上上B.C容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上

腰

A

述角的正对定义，解下列问题：A

师：对于这类几何问题，在理解定义的含义之后，通过画图能够帮助我们更好的完成

题目.

（1）sad60°=11—；

（2）对于0°<A<180°,NA的正对侑sadA的取侑范围是0<sadA<21；

解析:

（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（2）注意三角形三边的基本关系.

答案:

（1）内角包含60°角的等腰三角形是等边三角形，三角形三边相等.

（2）根据三角形三边的基本关系可知，三角形两边之和大于第三边，两边之差

小于第三边，所以有0〈底边〈腰的2倍，因此0<整<2,即0<sadA<2.

腰

（3）如图②，已知sinA=二，其中NA为锐角，试求sadA的值.

5

解析:

在图形中构造等腰三角形，通过勾股定理求解.

答案：

设A8=5a,BC=^a,则AC=4tz.

如图，在A3上取AO=AC=4a,作DELAC于点E.

则DE=AD•sirt4=4a,-=—a,AE=AD,cosA=4a,—=—a,

CE=4a~^-a=^a,CD=[CE?+DE?=Jg4、+导）=1V10d.

60=叵.

AC5

师：完成类似定义新图形的题目，弄清新概念的定义，把新概念图形分解转化，化为

熟悉的图形或条件，运用熟悉的知识加以解决.

类似性问题

2.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a23）的正方形内任意移动，则在该正

方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）

A.a2-7rB.（4一乃）/

C.itD.4-乃

解析：

这张圆形纸片“不能接触到的部分”即四个“角”的面积：（下一步）

是4（『一,））=4一］，故选择D.

4

类似性问题

3.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与

面积相等，则这个点叫做和谐点.例如I,图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，若与

坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点.

（1）判断点M（1,2）,N（4,4）是否为和谐点，并说明理由；

（2）若和谐点P（a,3）在直线y=-x+。彷为常数）上，求点a"的值.

解析：

（1）根据和谐点的定义判断.

（2）由题意，得当心0时，（"+3）X2=3a,

，a=6,点P（a,3）在直线y=-x+b上，代入得0=9；

当a<0时，（-a+3）X2=-3a,

，a=-6,点P（a,3）在直线y=-x+8上，代入得b=-3.

.,.a=6,Z?=9或a=-6,h=-3.

总结：新概念型试题考察我们阅读能力和独立完成解决新问题的能力，面对一个新概

念重点是要用我们自己的语言理解它，并与我们熟悉相关的数学知识相联系，从而完

成它们，是一类综合型试题.

考点96阅读理解型问题

师：让我们一起了解下阅读理解型问题.

回顾：

阅读理解题以内容丰富、构思新颖别致、形式多样为特点，该类试题一般首先提供一

定的阅读材料，材料既可选用与教材知识相关的内容，也可广泛选用课外知识，或介

绍一个概念,或给出一种解法，或研究一个问题等,然后在理解材料的基础上,获得探

索解决问题的方法，从而加以运用，解决实际问题.试题呈现形式有纯文型（全部用文

字展示条件和问题）、图文型（用文字和图形结合展示条件和问题）、表文型（用文字

和表格结合展示条件和问题）、改错型（条件、问题、解题过程都已展示，但解题过

程可能要改正）.（卜一步）

解决阅读理解题的关键是把握实质并在其基础上作出回答，首先仔细阅读信息，收集

处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法；然后运用新知识解决新问题，或运

用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出合情判断和推理，进而解

决问题.因此，不仅要掌握初中数学的基础知识，更要注重提高阅读理解、知识迁移、

分析转化、探索归纳等多方面的素质.

师：接下来我们来看几道相关例题.

初步性问题

探究类型之一阅读解题过程，模仿解题策略

例1阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图（1），在梯形ABC。中，AD〃BC,

对角线AC,8。相交于点。若梯形A3C0的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC

的长度为三边长的三角形的面积.

(1)

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一

个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平

移可以解决这个问题.他的方法是过点。作AC的平行线交的延长线于点E,得

到的ABOE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形（如图（2））.请你回

答：图（2）中△BOE的面积等于—1.

AD

BCE

（2）

师：这道问题文字量较大，需要我们通过阅读自学，掌握知识要点与方法实质，然后

在此基础上解决相关的问题.

解析：

作图后，△OCE和△A3。等底等高，因此梯形A8CD和面积相等.

答案：1.

师：根据这道问题的解决方法，让我们来解决同类型的问题.

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图（3）,AABC的三条中线分

别为AO,BE,CF.

（1）在图（3）中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CE的长度为三边长的一个

三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△A8C的面积为1,则以A。，BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于

■B上DC下上------75-------（；

（3）

师：利用上一题给出的解答方法或解题过程，要求模仿这一方法来解决同类型或者类

似的问题.类比、模拟是解答这类问题的关键.

解析：

利用平行线把线段平移，把分散的线段集中.

答案:

(1)过点A作且使AP=ER连接PE,PF,PC,由平行四边形的性

质，△CFP即为所求.(下一步)

(2)如图，延长FE交PC于N.

•••△ABC面积为1,AQ是中线，所以△AZJC面积为又四边形AOCP是平

2

行四边形，AC是对角线，.•.△APC和△A0C面积相等为故梯形A8CP面积

2

为3.

2

113

=2・54即=由才弟形的高=](AP+BC讨弟形的高=QS梯形ABCP=；-

师：让我们一起完成一道练习题.

类似性问题

2.数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图(1)所示，在正三角形ABC中，M是

BC边(不含端点8,C)上任意一点，P是8c延长线上一点，N是NACP的平分线

上一点，若NAMN=60°,求证：AM=MN.

(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整.

在A8上截取EA=MC,连接EM,得

VZ1=/8O°-ZAMB-ZAMN,Z2=180°-ZAMB-ZB,ZAMN=ZB=&0°,

/.Z1=Z2.

又平分NACP,：.Z4=-ZACP=60°,

2

AZMC^=Z3+Z4=120°.①

又,/BA=BC,EA=MC,：.BA~EA=BCMC,即BE=BM.

.'.△BEM为等边三角形，.•.N6=60°,

Z5=180°-Z6=120°.(2)

由①②得/MCN=/5.

在△AEM和△MCN中，

,:»=NMCN,AE=1^_,

.•.△AEA修△MCN(ASA),

:.AM=MN.

⑵若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形（如图⑵），M是/£>。出

的平分线上一点，则当/4知1乂=90°时，结论=是否还成立？（直接给

出答案，不需要证明）

（3）若将题中的“正三角形A3C”改为“正多边形ANBVCNDV…XN”，请你猜想：当

/ANMNNN=°时，结论ANMN二MNNN仍然成立.（直接写出答案，不需要证

明）

解析：

（2）在44上截取4E=MC，证明aAEM-△MGM；（下一步）

（3）由NAMN=60°，NAMM=90°，可以猜想/4"“乂=2'><180°.

n

初步性问题

探究类型之二阅读新知识，研究新问题

例2阅读：在平面直角坐标系中，以任意两点尸（和y）,。（乙,外）为端点的线

段中点坐标为（±12,&土以）.

22

运用：（1）如图，矩形ONE/的对角线交于点M,ON,分别在x轴和y轴上，O

为坐标原点，点E的坐标为（4,3）,则点M的坐标为_________；

（2）在直角坐标系中，有A（-1,2）,B（3,1）,C（1,4）三点，另有一点。与

点A,B,。构成平行四边形，求点。的坐标.

解析：

（1）把。（0,0）,E（4,3）代入到中点坐标公式（百乜

22

（下一步）

（2）设点D的坐标为（尤，y）,利用中点公式求解，由于没有给出图形，需要

分类讨论.

答案：

解：（1）•..四边形ONM是矩形，.•.点M是OE的中点.

,：0（0,0）,E（4,3）,.,.点M的坐标为（2,-）.

2

（2）设点。的坐标为（x,y）.

若以A3为对角线，AC,为邻边构成平行四边形，则A8,CD的中点重合,

1+x-1+3

2-2，r=]

•••'4+y2+1解得一'

——-=----,x=-l.

[221

若以BC为对角线，AB,AC为邻边构成平行四边形，贝HAD,BC的中点重合,

—1+犬1+3

2二万'屋=，

2+y4+1解得，’

-----=-----,x=3.

I22I

若以AC为对角线，AB,8c为邻边构成平行四边形，则8D,AC的中点重合,

-3+x-1+1

了二rx=_3

•••l+y2+4解得二

-----=------,x=5.

I221

综上可知，点。的坐标为（1,-1）或（5,3）或（-3,5）.

师：对于给定一个全新的定义、公式或法则，运用它去解决新问题，这类考题考查我

们自学能力和阅读理解能力，需要我们对知识点有整体地把握.

类似性问题

1.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密文（加密），接收方由密文

f明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a,b,c,…，z依次对应0,

1,2,…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为4时，将4+10

除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c.

字母abcde/ghiikzm

序号0123456789101112

字母noPqr5tuVwXyz

序号13141516171819202122232425

按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）

A.wkdrcB.wkhtcC.eQdjcD.eQhjc

小结：阅读理解型问题，虽然文字叙述较多，信息量较大，只要大家理解材料中隐含

的数学知识、结论，或揭示了什么新的方法，将获得的新信息、新知识、新方法迁移,

是能够很好的解决问题的.

考点97动手操作型问题

师：让我们一起了解一下动手操作型问题.

回顾：

操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验、猜想获得数学结论

的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动

手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实

验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习要

求.（下一步）

常见类型：（1）操作设计问题；（2）图形剪拼；（3）操作探究；（4）数学建模.（下

一步）|

解题策略：运用观察，操作，联想，推理，概括等多种方法.

初步性问题

探究类型之一折叠型操作问题

例1如图，矩形纸片A8C。中，已知4。=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,

点8落在点尸处，折痕为AE,且E/=3,则AB的长为（D）

A.3B.4C.5D.6

师：折叠型操作问题是动手操作型问题的一种，完成此类问题的关键在于，从对称变

换角度认识折叠：（1）折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形，

折痕是它们的对称轴；（2）折叠前后的两个图形是全等形，图形在变换前后的形状、

大小都不发生改变，如线段的长度、角的大小保持不变.

解析：

由折叠性质知AB=AF,BE=EF=3,所以EC=8~3=5,在△£；/＜中，由勾股定理得

CF=4,由△£：;（相似于△ABCW—,从而求出AB的长.

ABBC

答案：I

类似性问题

1.取一张矩形纸片按照图（1）、图（2）中的方法对折，并沿图⑶中过矩形顶点的斜线

（虚线）剪开，将剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边

形，则这张矩形纸片的宽和长之比为.

(1)(2)(3)

解析：

如图所示，设矩形的长为外宽为4则NM84=30°---

・•»ABR-_-也--byhA仆M4—_\AB—\XY—6b「——也卜b,.1N\/ip

32236c0

正六边形的边长相等，所以@。义2+且。=①巫b=a,0=正.

633b2

初步性问题

探究类型之二平移和旋转型操作问题

例2如图，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD

的顶点A重合，三角板的一边交CO于点凡另一边交C8的延长线于点G.

师：此类问题融合平移、旋转等动态问题创建了一个探究问题的情境，一个思维空间.

解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理，关键是掌握好平移前后、旋转前后

的图形是全等形，旋转后图形上每一点的旋转角度都相同.

解析：

证明RtAFED^RtAGEB.

答案：

证明：•:/GEB+/BEFK。。,NDEF+NBEF=90°,:.NDEF=NGEB,

又,：ED=BE,NE8G=N£>=90°,ARtAFED^RtAGEB,：.EF=EG.

（2）如图，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABC。的对角线AC上，其他条件

不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

解析：

过点E分别作BC,CD的垂线，垂足分别为H,I,则EH=EI,证明RtAFE/

^RtAGEH.

答案：

成立.

证明：如图，过点E分别作BC、CO的垂线，垂足分别为“、I,

则£：”=£：/,ZHEI=90°.

又•：/GEH+NHEF=90°,ZIEF+ZHEF=90°,

二/1EF=NGEH,

：.RtAFE哙RtAGEH,EF=EG.

类似性问题

2.根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两

个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：NA与

N8有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论.

（1）如图△ABC中，ZC=90°,NA=24°.c

①作图：

②猜想：BL.....-

③验证：

（2）如图△ABC中，NC=88°,NA=24°.人

①作图：/X.

②猜想：

③验证：-

A

⑴解析：

解：①作图：作线段AC（或BC）的垂直平分线，或作/ACO=/A（或N8CO=N

8）两类方法均可，在边A8上找出所需要的点。，则直线C。即为所求；（下一步）

②猜想：ZA+ZB=90°；（下一步）

③验证：如在△A8C中，乙4=24°,ZB=66°时，有乙4+/8=90°,此时就能

找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线.

⑵解析：

解：①作图：作线段A3的垂直平分线，或作N45O=NA,在边AC上找出所需

要的点。，则直线BD即为所求；（下一步）

②猜想：N8=3NA；（下一步）

③验证：如在△ABC中，NA=24°,ZB=72°时，有N8=3NA,此时就能找到

一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线.

师：完成动手操作型问题，要求我们具有一定的几何作图能力及空间想象能力，并能

够综合利用代数几何知识，注意完成这类问题时，常常会用到数形结合，分类讨论，

类比猜想等方法，是一类中考热点考题.

第二课时

教学路径

考点98图表信息型问题

师：让我们一起了解一下图表信息型问题.

回顾：

所谓信息型试题就是利用图片文字、人物对话、几何图形、函数图象、统计图表等

载体提供相关信息来创设问题情境的一类应用性试题.常见类型：（1）图片信息题;

（2）对话信息题；（3）图象信息题；（4）图表信息题.（F一步）

解题策略：对于这类问题，要认真观察，挖掘隐含的各种条件和关系，将“图表语

言”转换成“符号语言”，从而将其转化为基本的数学模型，灵活地运用几何、统计、

函数、方程、不等式等知识加以解决.

初步性问题

探究类型之一图形信息题

例1有足够多的长方形和正方形的卡片，如图.

«54

如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重

叠无缝隙）.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长

方形的代数意义.I------------1------------

这个上万用的代数意义姑a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）

（1）小明想用类似的方法解释多项式乘法（。+3匕）（20+。）=2/+7"+3必，那么需

用2号卡片I张，3号卡片—1——张.

师：探索规律是解决这类图形信息题目的重要手段，在观察图形时候应从图形的个

数、形状以及图形的简单性质入手，那我我们一起来看看这道题目.

解析：

（1）根据6张卡片的面积总和，我们可以进行因式分解，根据代数意义画出图

形；（拼图答案不唯一〉

（2）得到所给矩形的面积,看有几个V,几个舞即可.

答案：（1）出示动画

（2）3,7

师：数形结合是我们完成这类题目的关键，需要我们先要进行敏锐的观察，再进行

合情推理.

类似性问题

1.如图，△ABC的面积为1,分别取AC、BC两边的中点4、%则四边形AAB4

的面积为:，再分别取4。、8。的中点4、B2,AC＞与c的中点4、鸟，依次

取下去….利用这一图形，能直观地计算出士+=+=+…+上=.

442434”

如卜I,3梯形A4%4一不，3梯形&冬鸟心_不，…'

3333

]+1+^不"一S梯形454A+S梯形A4用4+S梯形4绮为ATS梯形4_1向“纥4

=SAABC-S=B.4=1_/•

初步性问题

师：时钟问题是我们一直以来学习的内容，让我们看看由时钟的时针分针在函数中

的应用.

探究类型之二图表信息题

例2小华观察钟面（图（1）），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时

旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟

面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与分针原始位置OP（图（2））的

夹角记为,度，时针与原始位置0P的夹角记为%度（夹角是指不大于平角的角），

旋转时间记为f分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图（3））,并求出

_6t(0<t<30),

了％与/的函数关系式:

--6t+360(30<t<60).

师：时钟问题是我们一直以来学习的内容,让我们看看由时钟的时针分针在函数中

的应用.

4—

请你完成：（1）求出题图（3）中必与t的函数关系式；

（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；

（3）若小华继续观察一小时，请你在图中补全图象.

（1）

解析：

为的图象经过点（0,60）和（60,90）,设为="+4代入求解即可.

答案:

解：由题图（3）可知:力的图象经过点<0>60）和（60,90）,设%=S+b，则

比六。解得

2

b=60.

,题图（3）中”与，的函数关系式为%=；什60.

(2)

解析:

A点的坐标即为直线ji=6r和%=；什60的交点坐标，B点的坐标即为直线

yi=-6什360和y2=i/+60的交点坐标.

答案:

初..120720、6001080

解：A(—,——),BD

1111

ion

点A表示的实际意义：在2时4分时，时针和分针重合；

11

点8表示的实际意义：在2时眄分时，时针和分针成平角.

13

(3)补全图象如下:

(3)

答案:

师：图象信息题利用函数图象描述变量关系来提供条件的问题.这类问题往往需要从

图象的形状特征、位置特点、变化趋势、已知点的坐标的含义等方面来分析解答.

类似性问题

2.随着“十一五”期间中央系列强农惠农政策的出台，农民的收入和生活质量及消

费走势发生了巨大的变化，农民的生活消费结构趋于理性化，并呈现出多层次的消

费结构.为了解我市农民消费结构状况，随机调查了部分农民，并根据调查数据，将

2008年和2010年我市农民生活消费支出情况绘成了如下统计图表：

图17-17

2010年我市农民生活消费支出构成去

消费支出项目支出费用(元)占生活消费总额的比例

食品26300.43

衣看5210.09

居住0.23

交通通讯4300.07

文教娱乐ab

医保及其他605C

支出总额60501

请解答如下问题：

(1)2008年的生活消费支出总额是多少元？支出费用中支出最多的项目是哪一项？

(2)2010年我市农民生活消费支出构成表中a、b、c的值分别是多少？

(3)2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是多少？

解析：

(1)(2)阅读图表信息回答问题.

(3)设平均增长率为X,列方程完成问题.

答案：

解：(1)2370+360+1060+390+420+400=5000(元)，

所以2008年的生活消费支出总额是5000元；支出费用中支出最多的项目是食

品.

(2)a=6050-(2630+521+1380+430+605)=484,

b=4844-6050=0.08,

c=6054-6050=0.1.

(3)设2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是x,根据题意

有5000(1+%)2=6050,

解得石=0.1=10%,%=一2.1（舍去）.

所以2008年到2010年的生活消费支出总额的年平均增长率是10%.

师：图表信息题形式多样，取材广阔，经常和我们的日常生活联系到一起，我们在

平时可以多观察周围的生活，寻找生活中的实际问题.

考点99运动型问题（一）

师：让我们先来了解一下运动性问题.

回顾：

探究几何图形（点、直线、三角形、四边形）在运动变化过程中与图形相关的某些

量（如角度、线段、周长、面积及相关的关系）的变化或其中存在的函数关系，这

类题目叫做图形运动型试题.（下一步）

类型：（1）点的运动；（2）三角形的运动；（3）四边形的运动.

师：接下来我们来看一道例题.

初步性问题

探究类型点运动型问题

例如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y

轴上.直线CB的表达式为y=-±x+3,点A、D的坐标分别为（一4,0）,（0,4）.

33

动点P自A点出发在AB上匀速运行，动点Q自点B出发在折线BCD上匀速运行，速

度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t

（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成AORQ的动点除外）.

（1）求出点B、C的坐标；

（2）求S随t变化的函数关系式;

解析：

（1）把y=4,y=0分别代入y=--x+—，得x=1,x=4,即可求出C、B坐标.（下

33

一步）

（2）分三种情况讨论：①当0VtV4时，②当4VtW5时，③当5VtW6时,

求S随t变化的函数关系式.

师：我们来思考这道题目该怎样分类，分类的依据是什么？

生：找关键点.

师：这道题的关键点是哪个？

生：C、D

师：很好，那么我们根据关键点分类，可以利用书上的备用图帮助大家解决问题.

答案：

416

（1）把y=4代入y=——x+—，得x=l,

33

.••C点的坐标为（I,4）.

416

当y=0时，——x+——=0,

33

；.x=4,.,.点B坐标为（4,0）.

（2）作于M,则CM=4,BM=3,

BC—，CM。+BM，=4+4?=5,

①当0V/V4时，作。N_L08于N,

4

则QN=BQ•sinZABC=-t,

11A28

：.S=-OP-QN=-(4-r)X-t=--t2+-t(0<t<4).

22555

②当4<r<5时，如图(2),作。NL03于M同理可得QV=(t,

11428

:.S=-OP・QN=-X(r-4)x-t=-t2--t(4<t<5).

22555

S=-XOPXOD=-(r-4)X4=2r-8(5VfW6).

师：动点问题常见类型有两种：一是研究不同的运动状态或探求出现不同运动结果

的条件；二是研究运动状态下的几何量之间的函数关系.前者的解题策略是以静制

动，后者的解题策略是以动制动.

类似性问题

1.如图，已知A、B是反比例函数y=((k>O,x〉O)图象上的两点，BC〃x轴，交y

X

轴于点C.动点P从坐标原点0出发，沿O-A-BfC(图中“f”所示路线)

匀速运动，终点为C.过P作PM_Lx轴，PNLy轴，垂足分别为M、N.设四边

S关于t的变化为增加、不变、减少.

类似性问题

2.已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P

由原点0向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线ABT

点C,设运动时间为t秒.当k=T时，线段OA上另有一动点Q由点A向点0运动，

它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动.

(1)直接写出t=l秒时C、Q两点的坐标；

(2)若以Q、C、A为顶点的三角形与AAOB相似，求t的值.

(2)分两种情形讨论：△AQCS/^AOB时或△ACQs^AOB

答案：

(1)C(1,2),Q(2,0).(下一步)

(2)由题意得:P(t,0),C(t,-t+3),Q(3-t,0),

分两种情形讨论：

情形一：当△AQCs/^AOB时，ZAQC=ZA0B=90°,ACQIOA,

VCP±OA,.,.点P与点Q重合,OQ=OP,即3—t=t,

t=l.5.(下一步)

情形二：当△ACQsaAOB时，ZACQ=ZA0B=90°,V0A=0B=3,.,.△AOB是等

腰直角三角形，.••△ACQ是等腰直角三角形，•••CQLCA....AQ=2AP,即t=2(一

t+3),：.t=2.

二满足条件的t的值是1.5秒或2秒.

考点100运动型问题（二）

师：上节课我们学习的是由点的运动引起的运动型问题，那么让我们来学习图形运

动型问题.

回顾：

运动型问题解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和

研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特

别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形（特殊

点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知

识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决.当一个问题是确定有关图形的

变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当问题是确定图形之间

的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解.

师：下面我们就一起来完成一道例题.

初步性问题

探究类型图形运动型问题

例如图（1）,已知抛物线经过坐标原点0和x轴上另一点E,顶点M的坐标为⑵4）；

矩形ABCD的顶点A与点0重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，旦AD=2,AB=3.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图（1）所示的位置沿x轴的正方向

匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运

动的时间为t秒（0WtW3）,直线AB与该抛物线的交点为N（如图（2）所示）.

①当t=2时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

2

②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值？若存在，求

出这个最大值；若不存在，请说明理由.

师：解决图形运动问题时要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形

运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量、

不变的关系或特殊关系，由特殊情形过渡到一般情形.

解析：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+4,把（0,0）代入求解.（下一步）

（2）①易求出E（4,0）,把M（2,4）,E（4,0）代入一次函数的解析式求出ME的解

析式为y=-2x+8,显然当t=*时，P点的坐标为（2,°）;（下一步）

222

②用含t的式子表示四边形PNCD的面积，然后根据函数的性质讨论其面积最

大值存在情况.

答案：

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（k2）2+4,将（0,0）代入，得。=T.则

抛物线解析式为y=-x2+4x.（下一步）

（2）①点P不在直线ME上.

已知M(2,4),易知E(4,0),则可求得直线ME的解析式为y=-2x+8.

当t=2时，P点坐标为(2,3),-2X-+8^-,

22222

则点P不在直线ME上.(下一步)

②依题意可知：P(t,t),N(t,-t2+4t)

当0<t<3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得：

S=S+S„=-CD»AD+-PN*BC=-X3X2+-(-t2+4t-t)-2=-t2+3t+3=-

PCDPc2222

(t-2)2+”

24

•••抛物线的开口方向向下，...当t=：时3，S最大21=亍.

当t=3或0时，点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形,

依题意可得,S=；S矩形ABCD=；X2X3=3.

综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值

4

师：完成这类问题，常常综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化

等数学思想加以解决，根据需要建立函数、不等式或方程，对于我们综合应用能力

要求较高.

类似性问题

1.如图所示,P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD

的边于M、N两点，设AC=2,BD=1,AP=x,Z\AMN的面积为y,则y关于x的函数图

象的大致形状是()

"%殊外

ABCD

解析：

MNAP1

当OWxWl时,MN〃BD,—=---,/.MN=x,y=-x2,当l〈xW2时，同理可

BDLAC2

2

得MN=CP=2-x,所以y=，(2-x)x=-—(x-1)2+—,故选择C.

222

2.如图，AABC为等边三角形，AB=6,动点。在aABC的边上从点A出发沿A-C

**BfA的路线匀速运动一周，速度为每秒1个单位长度，以0为圆心、百为

半径的圆在运动过程中与4ABC的边第二次相切时是出发后第秒.

解析：

O0第一次与AABC的边AB相切，第二次与AABC的边BC相切,如图，作O'D

_LBC于D,贝U0'D=V3.在直角三角形O'CD中，ZC=60°,O'D=G，.*.0z

C=2,.\0,A=6-2=4,.•.以0为圆心、G为半径的圆在运动过程中与AABC的边

第二次相切时是出发后第4秒.

师：通过两节课的学习，我们研究了点运动型问题和图形运动型问题，无论是那种

都是以运动为载体，背景新颖、题材丰富，常常作为考试的压轴题

答案：

【类似性问题】

考点95：

1.D解析：1<3)(x+l)=l得^——1=1,.*.x=--.

x+12

2.D解析：这张圆形纸片“不能接触到的部分”即四个“角”的面积:

是4(1?一,%)=4-%,故选择D.

4

3.解：(1)*/1X2#2X(1+2),4X4=2X(4+4),

.,.点M不是和谐点，点N是和谐点.

(2)由题意，得

当A>0时，(A+3)X2=3A,

A=6,点P(A,3)在直线y=-x+b上，代入得b=9；

当A<0时,(-A+3)X2=-3A,

，A=-6,点P(A,3)在直线y=-x+b上，代入得b=-3.

A=6,b=9或A=-6,b=-3.

考点96：

LA【解析】m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数仍然是22,因此对应的字母是w；A

对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k；t对应的数字是19,

19+10=29,除以26的余数是3,因此对应的字母是d；…，所以本题中明文译成密文后是wkdrc.

2.【解析】(1)在AB上截取EA=MC,连结EM,得△AEM,利用ASA证明AAEM之aMCN；(2)在

A1B1上截取A1E=M1C1,证明△A1EM1丝△M1C1N1;(3)由NAMN=60°,ZA1M1N1=9O°,可以猜

72—2

想NANMNNN=----X1800.

n

解：⑴Z5=ZMC