2018-2019学年湘教版八年级数学下册全册教案(含教学反思)

直角三角形1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于()A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形．解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝eq\f(1,2)(180°－∠BCD)，∠F＝eq\f(1,2)(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即问题得证．证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝eq\f(1,2)(180°－∠ABF)．同理，∠E＝eq\f(1,2)(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－eq\f(1,2)(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠F＝180°－eq\f(1,2)×180°＝90°，∴△EOF是直角三角形．方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD.解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝eq\f(1,2)AB，DF＝AF＝eq\f(1,2)AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5，DF＝AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．探究点四：直角三角形性质的综合运用【类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于F，交AB于点E.求证：FC＝2BF.解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明．证明：如图，取CF的中点M，连接AF、AM.∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.在Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点，∴∠AFM＝60°，AM＝eq\f(1,2)FC＝FM.∴△AFM为等边三角形．∴AF＝AM＝eq\f(1,2)FC.又∵BF＝AF，∴BF＝eq\f(1,2)FC，即FC＝2BF.方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．【类型二】利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、B、C、D处，球放在EF的中点O处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戏是否公平就是判断点A、B、C、D到点O的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中点．连接OA、OB、OC、OD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA＝OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)EF，即点A、B、C、D到O的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．【类型三】利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系；(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM.请判断△OMN的形状，并证明你的结论．解析：(1)由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝eq\f(1,2)BC；(2)由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝∠B＝∠45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形．解：(1)连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，∴OA＝eq\f(1,2)BC＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC；(2)△OMN是等腰直角三角形．理由如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，∴OA＝OB，∠NAO＝eq\f(1,2)∠CAB＝∠B＝45°，AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．三、板书设计1．直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)一、情境导入用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．二、合作探究探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这个三角形的面积是________cm2.解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×2＝4(cm2)．故答案为2，4.方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝eq\f(1,2)BC，求∠DAC的度数．解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论．解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝eq\f(1,2)BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．又∵BD＝eq\f(1,2)AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为eq\f(20,10)＝2(h)，从A处到D处的时间为eq\f(40,10)＝4(h)．∴轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．三、板书设计1．含30°锐角的直角三角形的性质(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.1．2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12(cm)；(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)CB·AC＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(60,13)(cm)．方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9，在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、F点，BD＝6eq\r(2)，AE⊥BC于E，求AE的长．解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6eq\r(2)，∴∠BAD＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(6eq\r(2))2，∴AE＝eq\f(6\r(2),\r(2))＝6.方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．探究点二：勾股定理与图形的面积探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的应用3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.第2课时勾股定理的实际应用“1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．勾股定理的正确使用．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝eq\r(BC2－AC2)＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝eq\r(BC2－AC2)＝5eq\r(3)米，则船向岸边移动距离为(12－5eq\r(3))米．方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．【类型二】含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以10eq\r(7)km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝eq\f(1,2)AB，从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD＝eq\r(AD2－AC2)＝eq\r(2002－1502)＝50eq\r(7)(km)，∴受影响的距离为2CD＝100eq\r(7)km，受影响的时间位100eq\r(7)÷10eq\r(7)＝10(h)．方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．探究点二：勾股定理在几何图形中的应用【类型一】利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点解：分三种情况比较最短距离：如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝eq\r(102＋（20＋5）2)＝5eq\r(29)，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝eq\r(202＋（10＋5）2)＝25(cm)．∵5eq\r(29)＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝eq\r(（20＋10）2＋52)＝5eq\r(37)(cm).5eq\r(37)＞25，∴最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5B．2C．2.25D．2.5解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.eq\r(5)＋1B．－eq\r(5)＋1C.eq\r(5)－1D.eq\r(5)解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴－1到A的距离是eq\r(5)，那么点A所表示的数为eq\r(5)－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．三、板书设计1．勾股定理在实际生活中的应用2．勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.第3课时勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是()A．1，eq\r(2)，eq\r(3)B．8，15，17C．7，14，15D.eq\f(3,5)，eq\f(4,5)，1解析：选项A不是，因为eq\r(2)和eq\r(3)不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为eq\f(3,5)与eq\f(4,5)不是正整数．故选B.方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．【类型二】判断三角形的形状已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC的形状．解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．【类型三】利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×6×8＋eq\f(1,2)×10×24＝144.方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．探究点二：勾股定理逆定理的实际应用如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BE，得BE＝eq\f(60,13)(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋(eq\f(60,13))2＝122，得CE＝eq\f(144,13)(海里)，∴eq\f(144,13)÷13＝eq\f(144,169)≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．三、板书设计1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.1．3直角三角形全等的判定1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)一、情境导入前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？二、合作探究探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：FA＝FC.解析：要利用“等角对等边”证明FA＝FC，需先证∠FAC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝AD，,CA＝AC，))∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC.方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用【类型一】解决线段相等问题已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.解析：根据已知条件证明现有的Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而解决问题．证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BA，,BC＝AD，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，在△CAE和△DBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEA＝∠DFB＝90°，,∠CAE＝∠DBF，,AC＝BD，))∴△CAE≌△DBF(AAS)，∴CE＝DF.方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．【类型二】灵活选用判定方法解决线段和差问题已知，如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE＋CE.解析：先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD，∴∠ABD＝∠CAE，又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．探究点三：利用尺规作直角三角形已知：线段a，如图．求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝eq\f(3,2)a，∠C＝90°.解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；(2)在l1上截取CB＝a；(3)以点B为圆心，以eq\f(3,2)a的长为半径画弧，交l2于点A；(4)连接AB，Rt△ABC即为所求．方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．三、板书设计1．斜边、直角边定理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)直角三角形判定方法的灵活应用使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力.1．4角平分线的性质1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．【类型二】利用角平分线的性质求面积如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝eq\f(1,2)BC·DF＋eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)(BC＋AB)·DE＝eq\f(1,2)×30×2.4＝36(cm2)．方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．【类型三】利用角平分线的性质进行证明如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.解析：过点P作PE⊥BA，根据已知条件得Rt△BPE≌RtBPD，再根据AB＋BC＝2BD得AE＝CD，可证Rt△APE和RtPDC，可得∠PCD＝∠PAE，根据邻补角互补可得∠BAP＋∠BCP＝180°.证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD，在Rt△BPE和Rt△BPD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,BP＝BP，))∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,∠PEB＝∠PDC，,AE＝CD，))∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PCD＝∠PAE.∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上如图所示，在△ABC中，PD垂直平分BC，PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，且BM＝CN.求证：∠1＝∠2.解析：先根据中垂线性质得出PB＝PC，再根据HL证Rt△PBM≌Rt△PCN，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．证明：连接PB、PC.∵PD垂直平分BC，∴PB＝PC.∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠PMB＝∠PNC＝90°.在Rt△PBM与Rt△PCN中，∵PB＝PC，BM＝CN，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．∴PM＝PN.∴点P在∠BAC的平分线上，即∠1＝∠2.方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用如图所示，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的顶角∠DAB＝∠EAC，连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明．解析：首先猜想∠BPF＝∠CPF，即∠DPA＝∠EPA，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：过A点作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△BAE和△DAC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAE＝∠DAC，,AE＝AC，))∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC，S△BAE＝S△DAC.∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴eq\f(1,2)BE·AN＝eq\f(1,2)DC·AM，∴AN＝AM，∴PA平分∠DPE，∴∠DPA＝∠APE.又∵∠DPA＝∠CPF，∠EPA＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPF.方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．探究点四：利用角平分线的性质作图如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP，OP＝300×eq\f(1,20000)＝0.015(m)＝1.5(cm)．因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．三、板书设计角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.四边形2．1多边形第1课时多边形的内角1．了解多边形及其相关概念；2．熟练运用多边形内角和公式进行简单计算．(重点)一、情境导入小学时我们学习过多边形，对它有了初步的了解．什么是多边形的内角，外角，对角线，如何计算对角线的条数，如何用字母表示它；三角形的内角和是180°，你想知道任意一个多边形的内角和是多少度吗？今天，我们就来探究一下多边形的内角和如何计算．二、合作探究探究点一：多边形及其有关概念【类型一】多边形的定义及概念下列说法中，正确的有()(1)三角形是边数最少的多边形；(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角；(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形的边数和顶点数、内角的个数都是一样的，即有n条边(或n个顶点或n个内角)就叫n边形．故(2)和(3)的说法不正确．因此，只有(1)、(4)的说法正确，故选B.方法总结：理解多边形的概念需注意：(1)线段必须“不在同一直线上”且首尾顺次相连；(2)必须是“平面图形”；(3)n为边数，为不小于3的正整数．【类型二】多边形的对角线若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为________．解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n－3)条对角线．故n＝2(n－3)，即n＝6.故答案为6.方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n－3)条对角线；②一个n边形总共有eq\f(n（n－3）,2)条对角线．探究点二：多边形的内角和【类型一】已知边数或对角线条数求内角和一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？解析：先求出多边形的边数，再根据边数来求内角和．解：设这个多边形的边数为n，由题意得eq\f(n（n－3）,2)＝3n，所以n－3＝2×3，所以n＝9，所以(n－2)·180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以这个多边形的内角和为1260°.方法总结：n边形的对角线条数为eq\f(n（n－3）,2)，利用对角线条数的计算方法，知道多边形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数．【类型二】已知内角和求边数已知两个多边形的内角和为1080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．解析：利用内角和公式，根据已知条件建立等量关系即可求解．解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1080°.解得x＝2.故这两个多边形的边数分别是4和6.方法总结：运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是比较常用的方法．【类型三】少加的内角如图所示，回答下列问题：(1)小华是在求几边形的内角和？(2)少加的那个内角为多少度？解析：由多边形内角和公式(n－2)·180°知，多边形的内角和是180°的整数倍，而1125÷180的余数为45，这说明小华少加了一个135°的角．解：(1)因为1125÷180＝6eq\f(1,4)，∴n－2≥6eq\f(1,4)，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，故小华求的是九边形的内角和；(2)因为1125÷180的余数为45，故小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°.【类型四】求不规则多边形的内角和如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题．解：如图所示，连接BF，则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法．三、板书设计1．多边形的定义及相关概念2．多边形的对角线总条数的计算公式eq\f(n（n－3）,2)(n为边数)3．多边形的内角和公式：(n－2)·180°教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/面的能力.第2课时多边形的外角1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；(重点)2．了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊；3．多边形内角和、外角和定理的综合运用．(难点)一、情境导入清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步．(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？二、合作探究探究点一：多边形的外角和定理【类型一】利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为()A．90°B．180°C．270°D．360°解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及多边形的外角和即可求解．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.故选D.方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键．【类型二】利用四边形的外角和定理解决实际问题如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，A．60mB．100mC．90mD．120m解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90(m)．故选C.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用正多边形的外角和定理解题．【类型三】多边形内角和与外角和定理的综合运用下列多边形中，内角和与外角和相等的是()A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形解析：根据多边形的内角和为(n－2)·180°，多边形外角和为360°，∴(n－2)·180°＝360°，n＝4.故选A.方法总结：内角和为(n－2)×180°，而外角和为定值360°，根据两者等量关系求出n值．探究点二：四边形的不稳定性如图，有一个四边形钢架，由4条钢管连接而成．为了使这一钢架稳固，应怎么做？解析：钢架为四边形形状，因为四边形具有不稳定性，因此不能稳固．若用1条或2条钢管连接对角线，则把这个四边形完全转化为三角形了．而三角形具有稳定性，故钢架可以稳固，因此可以用1条或2条钢管连接对角线，从而使之保持稳固．解：可以用1条钢管连接AC或BD，或者用2条钢管将AC、BD均连接．方法总结：利用转化思想，把四边形转化为了三角形，随之四边形的不稳定性也转化成了三角形的稳定性．这种方法在生活、生产中经常使用．三、板书设计1．任意多边形的外角和是360°2．多边形具有不稳定性通过学生反馈的情况，知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而在求解多边形的角的计算题，有时直接应用外角和计算会比较简单.2．2平行四边形2．2.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的性质1．理解平行四边形的概念；(重点)2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)一、情境导入平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？二、合作探究探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，从而可以推出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义即可推出结论．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角的性质【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB＝∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为7.方法总结：平行四边形对边平行且相等，根据该性质可解决和边有关的问题．【类型二】利用平行四边形的性质求角度如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为()A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝125°.又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，对边平行，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明线段相等如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，再由等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，即可推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB，∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP，在△PCF和△PCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CF，,∠FCP＝∠ECP，,CP＝CP，))∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.方法总结：利用平行四边形的性质可得出相应的等量关系，进而通过证明三角形的全等得出结论．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．解：DM与MC互相垂直，∵M是AB的中点，∴AB＝2AM，又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝eq\f(1,2)∠ADC，同理∠MCD＝eq\f(1,2)∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝eq\f(1,2)∠BCD＋eq\f(1,2)∠ADC＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．方法总结：根据平行四边形对边平行、对角相等，邻角互补等性质再结合三角形全等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平行等问题．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝eq\f(1,2)GH·h，S△FGH＝eq\f(1,2)GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．方法总结：解题的关键是明确两平行线间的距离相等；同底等高的两个三角形的面积相等．三、板书设计1．平行四边形的定义2．平行四边形的边、角的性质3．两平行线间的距离从现实生活中抽象出图形，理解和掌握平行四边形边、角的性质，学生能很好的运用，只是在推理过程中不是很完美，在以后的数学中要根据不同的情况加强这方面的训练.第2课时平行四边形的对角线的性质1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．(难点)一、情境导入如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？二、合作探究探究点一：平行四边形的对角线的性质【类型一】利用平行四边形对角线的性质求线段长已知：▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，解析：平行四边形的周长为60cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵▱ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝eq\f(35,2)cm，AD＝BC＝eq\f(25,2)cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线的性质证明线段或角相等如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF.解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FDO＝∠EBO，,OD＝OB，,∠FOD＝∠EOB，))∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，再证△BOE≌△DOF，从而得出BE＝DF，∠OEB＝∠OFD，∴BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，在△OFD和△OEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OE＝OF，,OD＝OB，,∠DOF＝∠BOE，))∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果条件中有对角线时，可利用三角形全等解决．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD中：(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，再根据等底同高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底同高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝eq\f(1,2)AO·h，S△CBO＝eq\f(1,2)CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；(2)解：S△ABP＝S△CBP.在▱ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝eq\f(1,2)BP·h，S△CBP＝eq\f(1,2)BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．三、板书设计1．平行四边形对角线互相平分2．平行四边形的面积通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长.2．2.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1、21．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)2．掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)3．平行四边形判定定理的综合应用．(难点)一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等；2．两组对角分别相等；3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．探究点二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．解析：在Rt△MON中，由勾股定理建立方程，求出x的值，进而得出四边形PONM各边的长，然后再根据平行四边形的判定定理即可得证．证明：Rt△MON中，由勾股定理，得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN.∴四边形PONM是平行四边形．方法总结：要依据图形的特点及已知条件选择适当的方法来证明一个四边形是平行四边形．探究点三：平行四边形的判定定理与性质的综合应用【类型一】利用性质与判定证明如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFC＝∠BEA，,∠FCD＝∠EAB，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝FC，))∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．【类型二】利用性质与判定计算如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，则必为等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交于点N，则△DCN为等边三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题思路．解：延长ED、BC交于点N，延长 EF、BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．三、板书设计1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.第2课时平行四边形的判定定理31．掌握平行四边形的判定定理3；(重点)2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)一、情境导入我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？是否是真命题．是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF就可以了．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠D,∠COA＝∠DOB,AO＝BO)).∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝eq\f(1,2)OD，OE＝eq\f(1,2)OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO.∴四边形AFBE是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：根据已知条件判定角相等，从而判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．探究点三：平行四边形性质和判定的综合应用如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O.求证：(1)EG∥FH；(2)EF与GH互相平分．解析：(1)欲证EG∥FH，需证∠OEG＝∠OFH.欲证∠OEG＝∠OFH，需证∠AEG＝∠CFH，故可先证△AGE≌△CFH；(2)要证EF与GH互相平分，只需证四边形GFHE是平行四边形即可由其性质得证．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF.又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AGE≌△CHF.∴∠AEG＝∠CFH.∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠OEG＝∠OFH.∴EG∥FH；(2)连接FG、EH.∵△AGE≌△CHF，∴EG＝FH.又∵EG∥FH，∴四边形GFHE是平行四边形．∴EF与GH互相平分．方法总结：综合运用平行四边形的性质和判定定理时，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的性质解决有关角相等或互补、线段的相等或倍分、两直线平行等问题．如图所示，AD、BC垂直且相交于点O，AB∥CD，BC＝8，AD＝6，求AB＋CD的长．解析：过点C作CE∥AD交B