人教版 九年级 数学 下册 第二十七章《章末核心要点分类整合》教学课件

章末核心要点分类整合第二十七章相似1.一组平行线截两条直线或三角形两边(或两边的延长

线)，所得的对应线段成比例.2.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.3.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比；相似三角形的对应线段的比、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.专题平行线分线段成比例1链接中考>>平行线分线段成比例是三角形相似的基础，也是求线段长的一种方法.在中考命题时，常以选择题和填空题的形式出现.例1

分析：先证得四边形DEFC是平行四边形，得到DE＝FC，再利用平行线分线段成比例列式求出FC即可.

答案：A专题相似三角形的判定2链接中考>>图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常见的考点.三角形相似的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法.[中考·上海]如图27－2，在矩形ABCD

中，E

为边CD上一点，且AE⊥BD.例2(1)求证：AD2＝DE·DC；解题秘方：将等积式转化为比例式，找出相似三角形是解题的关键；

解题秘方：由矩形性质，结合题中条件得到OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到.

专题相似三角形的性质3链接中考>>相似三角形的性质归纳起来有三点：(1)相似三角形的对应边成比例，对应角相等；(2)相似三角形对应线段(对应边上的中线、高线，对应角的平分线)的比等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似三角形的性质既可以进行线段相等、平行、垂直的证明，也可以进行线段和面积的计算.例3

专题相似三角形的应用4链接中考>>相似三角形的知识在实际生活中有广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想基础上的，把实际问题转化为数学问题，通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.在中考中以选择题、填空题和解答题的形式考查.[中考·南京]如图27－4，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是(

)A.36cm B.40cmC.42cm D.45cm例4解题秘方：根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键.

答案：A专题位似变换5链接中考>>位似图形是特殊的相似图形，此内容常与平移、旋转进行综合命题，主要考查学生的动手操作能力，一般都以解答题的形式出现.例5[中考·齐齐哈尔]如图27－7，在边长为1个单位长度的小正方形网格中.解题秘方：首先确定变换规则，然后根据规则进行作图，作图时，首先确定图形的关键点，依次作出图形关键点的对应点，再顺次连接各关键点的对应点即可.解：如图27－7，△A1B1C1为所求作的图形.(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；(2)以点B为位似中心，将△ABC放大得到△A2BC2，使△A2BC2

与△ABC的相似比为2∶1，请在网格中画出△A2BC2；解：如图27－7，△A2BC2为所求作的图形.

(3)求△CC1C2的面积.专题相似三角形与圆的综合6链接中考>>圆中存在角相等，所以中考命题时，常与三角形相似进行综合命题，主要考查综合运用知识的能力，以解答题为主.[中考·威海]如图27－8，已知AB是⊙O的直径，点

C，D在⊙O上，且BC＝CD.点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC

于点H，∠H＝45°.例6(1)求证：EF

是⊙O

的切线；

︵︵∵

∠GEH＝∠H＋∠BAC，∠FEG＝∠F＋∠BAF，∴

2∠H＋2∠BAC＝∠F＋∠BAF.∴∠

F＝2∠H＝90°.∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF.∵

OC是半径，∴

EF是⊙O的切线.(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长.

专题相似与函数7链接中考>>利用三角形相似的性质建立函数关系，主要就是将两个变量放在相似三角形的对应边中，利用对应边的比相等列出等量关系，建立函数关系式.这种解决问题的方法在中考中很常见.例7[中考·安徽]如图27－9，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD

是边AC上的高.点E，F

分别在边AB，BC

上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF

的面积为y，则y

关于x

的函数图象为(

)

答案：A专题相似三角形探究题8链接中考>>相似三角形的探究型问题是中考几何压轴题常考题型，综合性强，难度大，需要学生掌握好基础知识.这种问题环环相扣，当找不到解题思路时，不妨回顾前面的解题过程，也许能找到突破口.[中考·武汉]问题背景：(1)如图27－10①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD

∽

△FBE.例8

问题探究：(2)如图27－10②，在四边形ABCD中，AD∥

BC，∠BCD＝90°，点E

是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF

与BD交于点G，求证：BG＝FG.证明：方法一：如图27－11，延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD

于点H，则四边形CDHF是矩形.∴

DH＝CF，FH＝CD.∵

E

是AB

的中点，∴

AE＝BE.∵

AM∥BC，∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE.∴△AME≌△BFE(AAS).

∴

AM＝BF.∵

AD＝2CF，DH＝CF，∴

AH＝CF＝DH.∴

AM＋AH＝BF＋CF，即MH＝BC.又∵∠MHF＝

∠BCD＝90°，FH＝CD，∴△

MFH

≌△

BDC(SAS).

∴∠AMF＝∠CBD.又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG.∴

BG＝FG.

专题分类讨论思想9专题解读>>在解答有关相似形的某些问题时，往往需要按某一标准把问题分成若干个部分或情况分别加以研究，逐一解决，从而得到完整的结果.这种分类讨论思想要求对这类问题审题要仔细，分类要注意两点：一是正确选择分类标准；二是分类科学，既不重复也不遗漏.在动点问题中出现两个三角形有时存在相似的情况，有时存在不相似的情况，需要我们进行判定.例9[模拟·周口]如图27－14，等边三角形ABC的边长为3，D为BC上一点，CD＝2BD，P是线段AD上的动

点，若点P和△ABC中的一个顶点的连线与PD的夹角为60°，则PD的长为________.

解题秘方：本题主要考查了相似三角形的性质与判定、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理.过点D作DM⊥AB于点M，利用勾股定理和等边三角形的性质求出AD＝7.根据题意，分两种情况讨论，即∠BPD＝60°或∠CPD＝60°，进而证明△BPD∽△ABD或△CPD

∽△ACD，利用相似三角形的性质列出比例式即可求出PD

的长.

专题方程思想10专题解读>>当两个图形相似时，周长及面积具有一定的关系，在求图形的周长或面积时，有时利用图形的相似列方程或方程组会给解题带来很大的方便.[中考·成都]如图27－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD的中点，连接BE.若BE＝BC，CD＝2，则BD＝_______.例10解题秘方：紧扣相似三角形的判定和性质，利用对应边的比相等列方程是解题的关键.

类型巧用“三点定形法”证两三角形相似1方法1：等线段代换法2.如图，E为□ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE

交AC

于点O，交AD

于点F.类型巧用平行线构造两三角形相似2

(2)求证：OB2＝OE•OF.

方法3：等比代换法4.[期末•合肥庐阳区]在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC

上，ED，CB的延长线相交于点F.(1)如图①，若∠FBD＝∠FEC，BF＝4，FD＝5，FE＝8，求FC的长；解：∵∠FBD＝∠FEC，∠BFD＝∠EFC，∴△FBD∽△FEC.∴FB∶FE＝FD∶FC，即4∶8＝5∶FC，解得FC＝10，即FC的长为10.

5.[模拟•苏州]如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AB，BC

于点D，E.连接CD，交AE

于点F，且AC＝AE.类型巧用相似三角形的性质求面积3(1)求证：△ABC∽△FCE；证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD.∴∠DBC＝∠DCB.∵AE＝AC，∴∠ACB＝∠AEC.∴△ABC∽△FCE.(2)若BC＝6，DE＝2，求△FCE的面积.

D类型巧用相似三角形解与函数的综合问题47.如图，在矩形ABCD

中，AB＝m，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与点B，C重合).连接DE，过点E作EF⊥

DE，EF

与线段BA

交于点F，设CE＝x，BF＝y．(1)写出y

关于x

的函数解析式.(2)若m＝8，当x为何值时，y的值最大？最大值是多少？8.[中考·陕西]如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A

两侧，连接BC，BD，分别与⊙O

交于点E，F，连接EF，AF.类型巧用相似三角形解与圆的综合问题5(1)求证：∠BAF＝∠CDB；证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∴∠BAF＋∠ABD＝90°.∵直线l与⊙O相切于点A，∴AB⊥CD.∴∠BAD＝90°.∴∠CDB＋∠ABD＝90°.∴∠BAF＝∠CDB.(2)若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长.9.如图是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度AB，有以下两个方案：类型巧用相似三角形解实际问题6方案一：如图①，在距离旗杆底B点30m远的D处竖立一根高2m的标杆CD，小丽在F

处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C

和旗杆顶点A

三点在一条直线上.已知小丽的眼睛到地面的距离EF＝1.5m，DF＝1.5m，AB⊥BF，CD⊥

BF，EF

⊥

BF，点F，D，B

在同一直线上.方案二：如图②，小颖拿着一根长为16cm的木棒CD站在离旗杆30m的地方(即点E到AB

的距离为30m).她把手臂向前伸，木棒竖直，CD∥AB，当木棒两端恰好遮住旗杆(即E，C，A

在一条直线上，E，D，B

在一条直线上)时，已知点E

到木棒CD

的距离为40cm.请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度AB.解：若选择方案一：如图①，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G.由题意得EH⊥CD，EF＝DG＝BH＝1.5m，FD＝EG＝1.5m，EH＝BF＝FD＋DB＝1.5＋30＝31.5(m)．若选择方案二：如图②，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G，则∠AHE＝90°.∵CD∥AB，∴∠CGE＝∠AHE＝90°，∴EH⊥CD.10.[中考·贵州]综合与探究：∠AOB＝90°，点P在∠AOB

的平分线上，PA

⊥OA于点A.(1)【操作判断】如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为______度；解：如图①，PC即为所求．类型巧用相似三角形解探究问题790(2)【问题探究】如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P

作PN⊥PM

交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；证明：如图②，过P作PC⊥OB于点C.易知四边形OAPC是矩