张学奇 《微积分（第4版）学习指导与习题解答（下册）》补充习题解答

微积分（微积分（4版）（下册：补充习题解答PAGEPAGE18微积分（第4版）学习指导与习题解答（下册）补充习题解答目 录TOC\o"1-2"\h\z\u第七章 元数积分 2习题7.3 2习题7.4 3习题7.5 3第八章 穷数 5习题8.1 5习题8.2 5习题8.3 7习题8.4 8习题8.5 9第九章 微方程 习题9.1 习题9.2 习题9.3 15习题9.4 16第十章 分程 20习题10.1 20习题10.2 20习题10.3 21第七章 多元函数微积分习题7.31.（偶数号题解答）z（2）x

y1(xy)x1(xy)2

y2；(xy)2x1(xy)yy (xy)2

x2；(xy)2（4）zxzy

1sin(x2y)1sin(x2y)

cos(x2y)1cot(x2y)；cos(x2y)(2)2cot(x2y).（6）两边取对数，得lnzyln(1xy)，两边分别对x求偏导数，得1z

y 1 y

y2，则

2z y 2zz y 2

(1xy)

y1.zx

1xy

1xy

1xy两边分别对y求偏导数，得1zln(1xy)y 1

xln(1xy) xy .zy

1xy

1xy y

xy则y

xy)

ln(1xy)1xy. （8）uez)cos(xyez)；ux2cos(xyez)x y微积分（微积分（4版）（下册：补充习题解答uxezcos(xyez).z习题7.41.（偶数号题解答）1 1 1x（2）zx 2x 2 2，1 1 1x1x2y22

1x2y2

1xy1 1 1yzy 2y 2 2，1 1 1y1x2y22

1x2y2

1xydz

xdxydy.1x2y2x y z（4）uexy2zxyexy2z，ux2exy2z，u2xexy2x y zduexy2zxy)dxx2dy2xdz].习题7.51.（偶数号题解答）dz du dv1v)21v)2

1 3

12x2dx dx dx1(uv)21(1(uv)21(uv)21(3x4x3)22x2y2

312x2zeuvv 1

2x

euvu 1

(

y)xvyueuv（4）x2x2y2

y 2 x2y2 1()2 xxz 1z x2y2 ex2y2

2y

euvu 1

1xuyveuvx5.（偶数号题解答）

2x2y2y1(2x2y2y

x2y2（2）对y1yx两边取对数，得ln(y1)xlny方程边别对x求，1 dylnyxdyy1dx ydx化简得

dy yxlny.dx 1xyx1（4）方程两边分别对x求偏导，得cosyy(sinz)xxcosxz(sinx)0，化简得zzsinxcosy；x cosxysinz方程两边分别对y求偏导，得xsinycoszy(sinz)zzcosx0，y y化简得zxsinycosz.y cosxysinz微积分（微积分（4版）（下册：补充习题解答第八章 无穷级数习题8.14.（偶数号题解答） n8n 8 8数是公为q 的等比数因为q 以数nn1 9 9 9n

8nn收敛.nnn1 9

1 3

1 3（4）因为等比级数2n与5n收敛，由级数的性质知2n5n收敛.n（6）因为limunn习题8.2

n1lim2nsinn

n12n

limn

sin2n2n

n1 0，所以级数发散.1.（偶数号题解答）

1n（级数

1n2

1n2

n2n2

11n11n

n

1n1n

nn1

n1n发散，由比较判别法的极限形式可知级数nnnn11nnnn

发散.2（4）级数

nn3

un1 1nnn1

时，n

而数 发n3散，故级数n3

nnn

发散，由性质3可以得到增加级数的有限项，级数的敛散性不变，故级数n1

nnn

发散.2.（偶数号题解答）n 2n（2）级数为n

正项级数，因为n13(n(n1)23n1n23n

1n12 1

n2limn1lim

lim 1，故级数

发散.nun n

nn1

n3n 3

n13nn1（4）级数(n1)!n1(n1)n2nn(n1)n2nn1(n(n1)!

lim1

1n

n1e1nun

n

n

n n24.（偶数号题解答）

n1（2）级数

n1

为正项级数，因为

n(n

n2n2

1，而级n1n(n2)

n1n

nnn1 n1数发散n，由比较判别法知，级数n(n2)发散.n1

nn1

n1 1（4）将正项级数(n1)n2与n1比较，因为nn1

n11

nn1

n1

nn1

n1 1limn(n n1

n21

n1

limn(n1)

limnn1nn1

1n

n1

.e而级数n1发散，所以级数(n1)n2发散.n1 n16.（偶数号题解答）（2）

(1)n1

1 ,因为 1 1,而级数

1收敛，所n1n(n1)

n1n(n

n(nn

n1n2 1 (1)n1以n(n1)收敛，故级数n(n1)绝对收敛.n1

ncosn

n1(1)nn

(1)nn（4）

limunlim

不存在，所以，级n1

2n1

n1

2n1

n

n

2n1数n1

ncosn2n1

发散.((1)nnp

1 1np1时，nn1

pn1

数 p收敛故原数对nn1n当0p1时

(1)np

为交错级数，因为un1un且lim

10，所以pp(1)n

n1nnnnp

nnnn级数 pnnn1

收敛，而n1

pn1

发散，故原级数条件收敛.p0时，因为limunlim

p

不存在，所以级数

np

发散.n

nn

n1n习题8.31.（偶数号题解答）a n2（2）因为limn1lim

1，所以，幂级数的收敛半径R1，nan1

n(n1)2

(1)nx1n2x1n2

收敛，所以收敛域为[1,1].n1tn a nn令tx5则级变为 为limn1lim 以ntn

n1

nan

n

n1n R1t1，即nn1

x51，故4x6；当x4时，级数n1

(1)n

x61nnn1nn

发散，故收敛域为[4,6).习题8.42.（偶数号题解答）

n1xn（2）利用公式ln(1x)(1)n1ln(2x)21x

, (1x，得n 2 (1)n1xn

(1)n1xn2n1

2n 2

ln2n1

n2n

, (2x 2n 2n2（）f(x)x2ex2x2(x)x

(x)' x

n0 n!n

n0 n!x2n（6）f

(x)

(1)xn0x

，所以(2n1)!xsinx

x

(1)nx2nf(x)0

xx0(2n)!xn0 x2n1n0(2n1)(2n1)!(x)n0习题8.51.（偶数号题解答）由e

1xx22!2

xnn!n

(xx

1时的函数值，21n!21n!2ne即e

2n1 2n1e1n!2e1n!2n

2 2!21取1

1 ,2 2!22则误差rn

n!2n1

1 1nk1nk!2nk 1 1 1 n1! (n1)!(n(n1)!(n1)k1 1 1 1 2 2

[1n1! n

1 (n

n1

k ]

1 1(n1)!1 1

1.n!nn1要求精确到103，则只需

1

103，即n!n103，由于6!6103，所以取n6，即

11 1

1 1

1 1

1.6484e2 2!22e

3!23 4!24

5!25 6!262（4）由cosx1x22!

x(1)n44!4

x2n(2n)!

n0

n

x2n(2n)!

，得 12 14

1

2n2cos

1

.90 90 90

(2n)!901

2n2

1

2n4则误差r (1)n2

104，n (2n2)!90 (2n4)!9014 因为ru ，取n2. 2 3 4!

12故21 2!第九章 常微分方程习题9.11.（偶数号题解答）（2）ye2xy2e2x,

y''4e2x,代入方程左端得4e2x2e2x2e2x0，所以ye2x是y''y'2y0的解.（4）对yxex求一、二阶导数，得y'xexex,y''xex2ex，代入方程左端得

exex0

，所以

yxex不是y''y'2y0的解.习题9.21.（偶数号题解答）（2）方程变形为

xydy(1y2)dx.分离变量，得

ydy(1y2)

dx.x两边积分，得

ydy(1y2)

−dx.x求积分，得

ln(1y2)lnxlnC.所以微分方程的通解为

x(1y2)C.（4）y

1x2dyx

1y2dx.分离变量，得

x . .1y2 1x2两边积分，得

x

dx.1y1y21x21y2

C .1y1y21x21x2

C.（6）方程变形为

cos2xcotydytanxsin2ydx.分离变量，得

cotysin2y

dytanxcos2x

dx.两边积分，得

coty

dy

tanxdx.sin2y cos2x求积分，得

1cot2y1tan2xC.2 2 1所以微分方程的通解为

tan2xcot2yC(C).12.（偶数号题解答）1（2）方变为 y.分离变量，得

dycosxdx.y sinx两边积分，得

dycosxdx.y sinx求积，得 yxC.所以微分方程的通解为yCsinx.y x由 1代上得C1，因所特解为yxy x2（4）方程变形为

xdyylnydx.分离变量，得

dy dx.两边积分，得

ylny x dydx ylny x求积，得 ylnxlnC.所以微分方程的通解为yeCx.x1由y 1代上得C0，因所特解为y1x13.（偶数号题解答）（2）原方程变形为

dyy

(y)2.dx x xy dy du令u ，即y，则x

xdx

uxduuuu2dx

即 xduu2.dxdu dx分离变量取积分，得1

u2

x .1求积分得y

xCu

，即xCeu.x将u 回，到微方的通为xCey.xdy y y（4）原方程变形为

.dx x xy 令u ，即y，得x

uuu.dx分离变量取积分，得

du dx.u(lnu1) x求积得 uxC即u.微积分（微积分（4版）（下册：补充习题解答y将uyx

回代，得到原微分方程的通解为yxeCx1.4.（偶数号题解答）2（2）令P(x)2x,Q(x)2xex，将其代入一阶线性微分方程通解公式，得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)e2dx(2ex2e2dxdxC)ex2(2dxC)ex2(x2C).yex2(x2C).（4）y'

2x yx21

cosxx21

.P(x)

2x,x21

Q(x)

cosx，x21将其代入一阶线性微分方程通解公式，得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)2xdx

x

2xdx

1 sinxCex21

(x2

ex211

C)

x21

(cosC)

.x21y

sinxC.x211 2x（6）令P(x) ,Q(x) ，将其入阶线性分程通公，x x得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)1dxex

(

2lnxex

1dxx

dxC)x(

2lnxx2

dxC)2lnx2Cx.将初始条件

1y2lnx2得C1，xx1

y2lnxx2.5.（偶数号题解答）（2）将原方程变形为

y'1x

y1.P(x)1,x

Q(x)1，将其代入一阶线性微分方程通解公式，得1yeP(x)dx(1

Q(x)eP(x)dxdxC)11dx1ex

(

1dxex

dx)x(

xdx)xlnCx

Ce1).即原方程的通解为yxlnCx.（4）令P(x)cosxQ(x)sinxcosx，将其代入一阶线性微分方程通解公式，得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)

ecosxdx(sinxcosxecosdxdxC)esinx(sinxesinxdsinxC)Cesinx(sinx1).xx0

y 1yCesinxsinx1，得C2.原方程的特解为

y2esinxsinx1.（6）该方程为伯努利方程，方程两边同除y2，得y2dyy1cosxsinx.dxzy1dzy2dy，代入原方程，有dx dx线性微分方程，由通解公式，得

zsinxx，这是一阶dxz((sinxcosx)edxC)Cexsinx.将zy1代入上式，得原方程的通解为y1Cexsinx.习题9.31.（偶数号题解答）（2）对微分方程两边积分，得1y'1

1x2

dxarctanxC1.再积分一次得通解yxC)dxxx1x2)CxC 1 2 1 24令y'(，则yp()xp'(x)p(x)x20，即p'(x)p(x)x.x根据一阶线性微分方程通解公式，得p(x)e

1dxx(xe

1dxx

dx)

1x23

C1.x即 y'1x2.3 x再将其积分得方程的通解为y1x2dx1x3C|x|C.3 x 9 1 2习题9.41.（偶数号题解答）（2）特征方程r210r250对应的微分方程为y''10y'25y0，其特征根为rr5y''10y25y0yCCx)e5CC为1 2 1 2 1 2任意常数）.（4）特征根r0，r1对应的微分方程为y''y'0，通解为yCCex1 2 1 2（C2）.3.（偶数号题解答）（2）

y5y0r20微积分（微积分（4版）（下册：补充习题解答r,r5，所以该方程的通解为yCCe5x（CC）.1 2 1 2 1 2（4）微分方程yay0的特征方程为r2a0.a0

0

yC2x

（C2为；a0，其特征根为

aai,r2aa

i，方程的通解为y

ax

ax（1,C2；aa0，其特征根为a,a

，方程的通解为1 2yCeaxCeax1 2

（C2）.5.（偶数号题解答）（2）所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，方程的非齐次项为f(x)ex(x1)，属于f(x)P(x)ex类型（其中P(x)x1,1）.m m

y2yy0的特征方程为r22r10，其特征根为r1r21，因为1为特征方程的重根，故可令所求方程的待定特解为pyx2(axb)ex.p（4）所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，方程的非齐次项为f(x)2e2x，属于f(x)P(x)ex类型（其中P(x)2,2）.m mp因为方程y4y4y0的特征方程为r240，其特征根为2为特征方程的重根，故可令所求方程的待定特解为yax2e2xp（6）所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，方程的非齐次项为f(x)e2x(cos2xsin2x)，属于f(x)ex(AcosxBsinx)类型（其中2,2,AB1）.1 2因为方程yy0的特征方程为r210，其特征根为ri,ri，因为1 2pii非特征根，所求方程的待定特解可设为ye2x(acos2xbsin2x).p6.（偶数号题解答）（2）二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为f(x)xexf(x)P(x)ex类型（其中P(x)x,1）.m m1 2方程yy0的特征方程为r2r0，其特征根为r1,r0，因为1 2p1是特征方程的单根，故可令所求方程的待定特解为将Q(x)x(axb)代入下式p

yx(axb)ex.mQ''(x)(2p)Q'(x)(x2pxq)Q(x)P(x)m得2a(21)(2axb)x比较上式同次项得系数，可解得a

1,b1.2yp

1(x22x)ex.2（4）二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为f(x)exsin2x，属于f(x)ex(AcosxBsinx)类型（其中1,2,A0,B1）.1方程y2y'5y0的特征方程为r22r50，其特征根为r12i,1r212i，这样i12i是特征根，故可令所求方程的待定特解为ypxex(acos2xbsin2x)，将其代入微分方程,并消去ex,得4bcos2x4asin2xsin2x比较上式两端的系数,可解得a

1,b0.4yp7.（偶数号题解答）

1xexcos2x48y8xy''8y0.r28r0,特征根为rr8y''8y0yCCe8x.1 2 c 1 2f(x8x中的0是特征根,ypx(axb为原微分1 1方程的一个特解,将其代入原方程得a ,b .即y1 12 8

1x21x为所求方2 8程的一个特解.所以原方程的通解为yCCe8x1x21x.1 2 2 8（4）微分方程yy4xex所对应的齐次微分方程为y''y0.其特征方程为r210,特征根为

1.所以,

yy0yc

CexCex.1 2pp因为非齐次项f(x)4xex中的1是特征根,故可令yx(axb)ex为原微分方程的一个特解,将其代入原方程,得a1,b1.即y(x2x)ex为所求方程的一个特解.1 2pp1 2因此，yy4xex的通解为y(x2xC)exCex.1 2将初始条件C21.

yx0

0，y

x0

1代入式得C20 ,即C1C211所求微分方程满足初始条件的特解为

y(x2x1)exex.第十章 差分方程习题10.11.（偶数号题解答）t t2 tt