人教版八年级数学上册 第十一章 三角形易错训练与压轴训练（3易错+7压轴）

第十一章三角形易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一正确画三角形的高线 1易错题型二多边形截角后的边数问题 3易错题型三多边形截角后的内角和问题 5压轴题型一利用三角形三边关系化简 8压轴题型二与三角形高有关的计算问题 9压轴题型三与三角形中线有关的计算问题 14压轴题型四与三角形角平分线有关的计算问题 22压轴题型五三角形折叠中的角度问题 28压轴题型六与三角形的外角有关的问题 36压轴题型七多边形的内角和与外角和综合问题 46002易错题型易错题型一正确画三角形的高线例题：（22-23八年级上·北京·期中）下列各图中，作边边上的高，正确的是（）A．B．C．D．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（

）A． B． C． D．2．（22-23七年级下·四川成都·期中）画边上的高，下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．3．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④易错题型二多边形截角后的边数问题例题:（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（

）A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5巩固训练1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（

）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或83．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为．4．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是．易错题型三多边形截角后的内角和问题例题：（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（

）A． B． C．或 D．或或巩固训练1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（

）A．14 B．23 C．或 D．或或2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（

）A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或123．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（

）A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12或13003压轴题型压轴题型一利用三角形三边关系化简例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简：．巩固训练1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简.2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c．(1)若为整数，求的周长．(2)化简：．压轴题型二与三角形高有关的计算问题例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，．(1)求高的长；(2)求的面积．巩固训练1．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】如图（1），用分别表示和的面积．则，∵∴．【性质应用】(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：证明：∵__________，∴__________．∵，∴__________．【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．压轴题型三与三角形中线有关的计算问题例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是．巩固训练1．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是的中点，点在边上，，，若的面积是3，则图中阴影部分的面积是．2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．(1)【深入探究】如图2，点D在的边上，点P在上．①若是的中线，______．②若，则______．(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．①：直接写出，与之间的等量关系；_______②：若，则_______．3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答：在图中过A作于点．是的中线，．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．【深入探究】（1）如图，点在的边上，点在上．①若是的中点，求证：；②若，则．【拓展延伸】（2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系．压轴题型四与三角形角平分线有关的计算问题例题：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)当，，时，求点到直线的距离．巩固训练1．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分交于点，点为直线上一点，连接，，连接交于点，作平分交于点．(1)求证：；(2)若．①试判断，，之间的数量关系，并说明理由；②若，求的度数．3．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，与交于点F，设，．(1)当，时，判断与的位置关系并说明理由．(2)求的度数（用含，的式子表示）．(3)要使得（1）中的结论始终成立，与之间应满足什么关系．压轴题型五三角形折叠中的角度问题例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．巩固训练1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．①若，则______；②若，求证：；(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究

(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则______；（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，①的度数是多少？请说明理由；②如果，求的度数．压轴题型六与三角形的外角有关的问题例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点．(1)如图，__________；(2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由；(3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知：，点在直线上，连接．(1)如图1，若．求证：；(2)若，的平分线与分别交于点．①如图2，当点在边上（不与重合）时，求证：；②当点在的延长线上时，“”是否依然成立？画出图形，并说明理由．2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，与的平分线相交于点P．

(1)如图1，，，求的度数．(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．①试探究，之间的数量关系．②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．压轴题型七多边形的内角和与外角和综合问题例题：（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系；（2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系；（3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．巩固训练1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．

(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空：（1），；（2）______；【应用】（3）如图②．求的度数；【拓展】（4）如图③，若，则的大小为度．

3．（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）【感知】如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则___________；【探究】如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为___________．

第十一章三角形易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一正确画三角形的高线 1易错题型二多边形截角后的边数问题 3易错题型三多边形截角后的内角和问题 5压轴题型一利用三角形三边关系化简 8压轴题型二与三角形高有关的计算问题 9压轴题型三与三角形中线有关的计算问题 14压轴题型四与三角形角平分线有关的计算问题 22压轴题型五三角形折叠中的角度问题 28压轴题型六与三角形的外角有关的问题 36压轴题型七多边形的内角和与外角和综合问题 46002易错题型易错题型一正确画三角形的高线例题：（22-23八年级上·北京·期中）下列各图中，作边边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查的是三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握高的定义是解题的关键；过顶点B向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高．【详解】A、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；B、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；C、图中不是边边上的高，本选项不符合题意；D、图中是边边上的高，本选项符合题意；故选：D．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可．【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段，据此，符合题意的是选项B；故选B．2．（22-23七年级下·四川成都·期中）画边上的高，下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义进行判断．【详解】解：边上的高为，如图：故选：D．3．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D易错题型二多边形截角后的边数问题例题:（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（

）A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5【答案】D【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，

∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；故选D．【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．巩固训练1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（

）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8【答案】C【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．故选C【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．3．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为．【答案】5或6或7【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．【详解】解：如图所示：六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．故答案为：5或6或7．【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．4．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是．【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案．【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式：下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十七边形如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十八边形如按下图所示沿虚线截下三角形：∴原多边形纸片的边数是：十九边形∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形．【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解．易错题型三多边形截角后的内角和问题例题：（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题．【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或，其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为，得到的多边形的内角和是或或，故选：D．巩固训练1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（

）A．14 B．23 C．或 D．或或【答案】D【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．【详解】如图所示：多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形；另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形；新的多边形的内角和可能是，或，或．故选：D．2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（

）A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12【答案】D【分析】本题考查了多边形的内角和；先求出截去一个角后得到的是11边形，再根据不同的裁切方式求出原来多边形的边数即可．【详解】解：设截去一个角后的多边形边数为n，则有：，解得：，如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10；如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11；如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12；综上，原来多边形的边数可能是10或11或12；故选：D．3．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（

）A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12或13【答案】D【分析】本题考查了多边形的内角和公式，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1可得答案，理解截取一个角后多边形的边数的变化情况是解本题的关键．【详解】解：设多边形截去一个角后的边数为n，则，解得，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是11或12或13．故选D．003压轴题型压轴题型一利用三角形三边关系化简例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简：．【答案】【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边．【详解】解：∵，，是的三边，∴，，∴，，∴．故答案为：．巩固训练1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简.【答案】【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可.【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，∴，∴，∴2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c．(1)若为整数，求的周长．(2)化简：．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；（2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答．【详解】（1）解：∵，，即，∵c为整数，∴，的周长为．（2）解：的三边长为a，b，c，，．压轴题型二与三角形高有关的计算问题例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，．(1)求高的长；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了三角形的高，中线：（1）根据，即可求解；（2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可．【详解】（1）解：∵是的高，．∴，∵，，，∴，解得：；（2）解：∵是的中线，，∴，∴的面积．巩固训练1．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】如图（1），用分别表示和的面积．则，∵∴．【性质应用】(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．【答案】(1)(2)，【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，【详解】（1）解：如图，过点A作，则．

（2）和是等高三角形，，；和是等高三角形，，．2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：证明：∵__________，∴__________．∵，∴__________．【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．（1）过点B作交于一点E，即可作答．（2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．（3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答．（4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答．【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示：（2）；证明：∵，∴，∵，∴；（3）过点B作交于一点G，∵，∴，∵点D为中点，∴，∵，∴；∵，，∴，∴，（4）过点B作交于一点，∵，∴，∵，∴，则，压轴题型三与三角形中线有关的计算问题例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是．【答案】35【分析】连接，由题意得：，由三角形的中线性质即可得出的面积．【详解】解：连接，如图所示：由题意得，∴，∴，同理，∴，故答案为：35．【点睛】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．巩固训练1．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是的中点，点在边上，，，若的面积是3，则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系得出面积之间的关系是解题的关键．根据三角形中线的性质得出，即可得出的面积，从而求出的面积，，设，由得出，然后列出方程求解即可．【详解】解：∵，∴，∵的面积是3，∴，∴，∵点E是的中点，，设，∵，∴，解得，即阴影部分的面积是1，故答案为：1．2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．(1)【深入探究】如图2，点D在的边上，点P在上．①若是的中线，______．②若，则______．(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．①：直接写出，与之间的等量关系；_______②：若，则_______．【答案】(1)①②(2)①②30【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键．（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明；（2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明，②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解．【详解】（1）解：①证明：∵是的中线，∴，点为的中点，∴是的中线，∴，∴，即，∴②，解：设边上的高为，则，，∵，∴，同理，则，即，∴．（2）①证明：连接，，，如图：∵点、、、分别为、、、的中点，∴，，，分别为，，，的中线，∴，，，，∴，∵，即；②由①可得，同理可证得，，即，∵，∴．3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答：在图中过A作于点．是的中线，．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．【深入探究】（1）如图，点在的边上，点在上．①若是的中点，求证：；②若，则．【拓展延伸】（2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系．【答案】（1）①见解析，②2（2）【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键．（1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论；②根据，则，，即，得出，即可求

解．（2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出．【详解】解：（1）①∵是的中点，∴，，∴，∴；②∵，∴，，∴，∴，∴．（2）连接，∵，∴，，∵，∴，，设，，则，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．压轴题型四与三角形角平分线有关的计算问题例题：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)当，，时，求点到直线的距离．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（3）过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：平分，，，，；（2）解：，，，平分，，，，；（3）解：过作于，，，，，故点到直线的距离为．巩固训练1．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．【答案】(1)的度数为；(2)；(3)【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高．（1）利用垂直的性质求得，，再利用三角形内角和定理即可求解；（2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解；（3）同（2）计算即可求解．【详解】（1）解：∵锐角中，两条高线相交于点O，∴，，∴，答：的度数为；（2）解：∵，，∴，，∵与的角平分线交于点M，∴，，∴；∴；（3）解：∵锐角中，两条高线相交于点O，∴，，∵与的角平分线交于点M，∴，，∴；∴．2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分交于点，点为直线上一点，连接，，连接交于点，作平分交于点．(1)求证：；(2)若．①试判断，，之间的数量关系，并说明理由；②若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．（1）根据平分，得出，结合，得出，根据“同位角相等，两直线平行”，即可证明；（2）①根据平分，结合平行线的性质、三角形的内角和定理、，得出，根据平分，得出，即可得出；②根据，结合平行线的性质，推出，根据三角形的内角和定理，推出，由①得，推出，即可得出的度数．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：①∵平分，由（1）得，∴，又∵，∴，又∵平分，∴，∴；②∵，由（1）得，由①得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．3．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，与交于点F，设，．(1)当，时，判断与的位置关系并说明理由．(2)求的度数（用含，的式子表示）．(3)要使得（1）中的结论始终成立，与之间应满足什么关系．【答案】(1)，见解析(2)(3)【分析】本题考查了平行线的判定及性质、三角形内角和定理、角平分线的性质：（1）利用角平分线的性质可得，进而可求解；（2）根据角平分线的性质及三角形内角和可得，进而可求解；（3）要使始终成立，即，进而可求解；熟练掌握平行线的判定及性质及角平分线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：位置关系为：，原因如下：∵．，∴在中，，∵平分，∴，∵，∴，平分，∴，又∵，∴在中，，∵，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，平分，∴．（3）要使始终成立，即，∴，∴，∵，∴，即，，即；法二：∵，∴，，即．压轴题型五三角形折叠中的角度问题例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．（1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果；（2）根据，，得出，即可得出结论．【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕，∴，∵将对折，得到折痕，∴，∵，∴，∴．（2）解：不变．理由如下：∵，，，∴，即．∴的大小不随点的运动而变化．巩固训练1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．①若，则______；②若，求证：；(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)①；②见解析(4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧．【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；（2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可；（3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明；（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，即，∴，故答案为：；（2）解：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴；故答案为：；（3）解：①∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由折叠的性质可得，∴，∵，∴，故答案为：；②∵，∴，由折叠的性质可得，∴，∵，∴；（4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，

∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴；当F在D、E之间时，如图4-2所示：

同理可得，，∴；当点F在D点右侧时，如图4-3所示：

同理可得；综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究

(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．【答案】(1)，理由见解析；(2)(3)【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案；（2）由（1）可知，，求出，则可得出答案；（3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案．【详解】（1）．理由：由折叠得：，，，，；（2）由（1）可知，，，，，，，；（3）由（2）可知，，，，，，又，．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则______；（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，①的度数是多少？请说明理由；②如果，求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解；（2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；；（3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可；②，代入计算即可．【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线，∴，故答案为：．（2）在中，，，∴，根据折叠的性质得，，∴，∵，，故答案为：．（3）①由折叠的性质可知：，，且，，②根据折叠的性质及上述知识可知，．【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键．压轴题型六与三角形的外角有关的问题例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点．(1)如图，__________；(2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由；(3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值．【答案】(1)；(2)，见解析；(3)秒或秒或秒．【分析】（1）先根据角平分线定义得到，再由三角形外角的性质推出，则；（2）过点P作，则，由平行线的性质推出，再由角平分线的定义得到，进而可得，则；（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：，理由如下：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∴，∵分别平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如图3所示，没有旋转时，∵，，∴，∴；如图3-1所示，当时，延长分别交于T、F，设交于S，∴，∵，∴，由题意得，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得；如图3-2所示，当时，延长交于S，设交于T，由题意得，，，∴，∵，，∴，∴，解得；当时，延长交于T，延长交于S，由题意得，，，∴，又∵，∴，，∴，∴∴此时；综上所述，秒或秒或秒时，在旋转过程中边与的边平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知：，点在直线上，连接．(1)如图1，若．求证：；(2)若，的平分线与分别交于点．①如图2，当点在边上（不与重合）时，求证：；②当点在的延长线上时，“”是否依然成立？画出图形，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②成立，作图见解析，理由见解析【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角：（1）根据同角的余角相等，即可得证；（2）①根据角平分线的性质结合三角形的外角，即可得证；②根据题意，补全图形，根据三角形的内角和定理结合对顶角相等，即可得证．【详解】（1）解：．．

．（2）①平分．．．．②成立．如图．平分．．且．又．2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案（2）先推导出，再推导出，进而可以求解（3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解【详解】解：（1）如图，∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点∴，，∵，，，∴，∴；（2）如图，∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴，∴；∴；（3）延长，交于点M，延长、交于点N，如图所示，∵、平分，∵，，∴，∴，∵，∴【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键．3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，与的平分线相交于点P．

(1)如图1，，，求的度数．(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．①试探究，之间的数量关系．②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．【答案】(1)(2)(3)①；②或或或【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键．（1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解；（2）同（1）中