新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理学习目标素养要求1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义数学抽象2．会用基底表示平面向量数学运算|自学导引|平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个____________，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________.2．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做这一平面内__________的一个________．不共线向量λ1e1＋λ2e2

所有向量基底(1)平面向量基本定理中基底的特征是什么？(2)在平面向量基本定理中为何要求向量e1，e2不共线？【提示】(1)不共线性和不唯一性．(2)若向量e1，e2共线，则λ1e1＋λ2e2与向量e1，e2共线，即向量λ1e1＋λ2e2只能表示与向量e1，e2共线的向量，无法表示平面内其他的向量．平面向量基本定理的唯一性设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则__________．【预习自测】设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，求实数x，y的值．|课堂互动|题型1对平面向量基本定理的理解

(1)(多选)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的有 (

)(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是__________(填序号)．①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．【答案】(1)AC

(2)②③【解析】(1)如图所示，A，C中的向量不共线，可以作为基底，B，D中的向量共线，不能作基底．(2)由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．1．(1)如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是

(

)(2)若a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，则l＝__________，m＝__________．【答案】(1)B

(2)0

0【答案】(1)ABC用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：题型3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．(2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时恒有λ1＝λ2＝0若a＝λ1e1＋λ2e2当λ2＝0时，a与e1共线当λ1＝0时，a与e2共线λ1＝λ2＝0时，a＝0易错警示对基底的定义理解不准确致误已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是 (

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2错解：A，B，C易错防范：一定要注意“不共线”这个条件，做题时容易忽略此条件而致错，同时还要注意零向量不能作为基底．正解：若e1，e2共线，即e1∥e2时，易得a与b共线；若e1，e2不共线，要使a与b共线，则存在m，使a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，得λ＝0．当λ＝0或e1∥e2时，a与b共线．故选D．|素养达成|1．任意一向量基底表示的唯一性的理解2．任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2．在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．(体现数学抽象的核心素养)3．平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．(体现直观想象和逻辑推理核心素养)1．(题型1)(多选)下列关于基底的说法正确的有 (

)A．平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底B．基底中的向量可以是零向量C．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的D．对于确定的向量，表示该向量的基底是唯一的【答案】AC【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故B错；平面内两不共线的向量都可以作为一组基底，故D错．A，C正确．【答