2021年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案和评分标准

2021年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准说明：70.第一试（2分，每小题7分）1．已知实数abc满足2ac，则

ca

＝ （ ）A.2． B.1． C.0． 【答】B.

1．已知等式可变形为2(a2b)3(3bc)90，3(a2b)(3bc)72，解得a2b18，3bcc18

a

1.已实数a,b,c满足abc1，1 a1

1 b3

1c

0，则(a1)2(b3)2(c5)2＝（ ）A.125． B．120． C．100． D．81．【答】C.令a1x，b3y，c5z，则xyz(a1)(b3)(c5)10，且1 1 1 1 由 0得 0，所以01 1 1 1 a1

b

c

x y z所以(a1)2(b3)2(c5)2x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)100.若整数a,b,c满足abc且2(abc)则称(a,b,c)为好组.那么好组个数为 （ ）A.4． B．3． C．2． D．1．【答】B.若(a,b,c)为好数组，则abc2(abc)6c，所以ab6.显然，a只能为1或2.若a，由b6可得b2或，b2时可得c4，b3时可得c5（；2a，则bc，于是可得6，可求得(a,bc5）.3（，241，38和，，5.2017年国中学竞赛初年）题考答及分准 第1页共5页）4．已正数a,b,c满足a290，b2c0，则a2b2c2＝ （ ）A.424． B.430． C.441． D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得(a9)23(b1)275，所以3(b1)275，又b为正整数，解得1b6.若b＝1，则(a9)275，无正整数解；若b＝2，则(a9)272，无正整数解；若b＝3，则(a9)263，无正整数解；若b＝4，则(a9)248，无正整数解；若b＝5，则(a9)227，无正整数解；若b＝6，则(a9)20，解得a9，此时c18.因此，a9，b＝6，c18，故a2b2c2＝441.梯形中，//，3，4，2，1，梯形面为（ ）102A. ． 1023

． C.32． D.33．1033103

D【答】A.//是平行四边形，所以1，24132B2

H E C323212

2 .2所以△的积S12 1，故得AH42.2所以梯形的面积为

2 24210214) .42102

3 A D F2 3 3E//E，28，，，则＝ （ ） B CA.56． B.58． C.60． D.62．【答】B.作交的延线点F将△绕点C逆时方旋转90至 G为正方形，且≌△ECD，所以EGED.设DEx，则DFBGx28，AD70DF98x.在Rt△EAD中，有422(98x)2x2，解得x58.2017年国中学竞赛题初年）考答及分准 第2页共5页）11a3a（811a3a1a1a

成的数a的值为 ．由所给等式可得(1

1a)3a2x

x0

ax211x)3(x2)2，x(x)(x)20，解得x0，x3，x1（，所以a1或a8.1 2 3验证可知：a1是原方程的增根，a8是原方程的根.所以，a8.ABC100表示100C,CBA的最值．【答】20.因为表示C,CBBA中的最小者，所以100CCB，BA，所以63(100C)2(CB)(BA)300(ABC)120，所以20.又当100CCBBA20，即C80,B60,C40时，满足题设条件，故可取到20.因此，的最大值为20.设abp【答】7.

8ab3a

为质，则p ．8ab3

ab3

ab3p,因为ab互质，所以ab与a和bpab为质数，所以8p或81.ab3由

可得ab1，p4，不合题意；

ab

ab8 p,abab3p,由

可得a7，b1，p7，符合题意；8 1.ab所以p7.4．20个不于7的整数列一若任意续干数和不于7，这20个之和的小为 ．【答】34.2017年国中学竞赛初年）题考答及分准 第3页共5页）7,,b7（之7我们来考虑如下7个正整数7777726这6以，其中一定有两个正整数除以7所得的余数相同，不妨设为b1b2bi和b1b2bj（1ij

，于是i1bj是7.207的正整数,77714.又因为20＝2×7＋6，所以2146②另外，当8，a1,134．第二试（20ABBAB2A解A10abab1a9，1b9abB10ba，B2b)2a)299(a2b211(ab)(ab) 5分因为A2B2是完全平方数，所以ab，且11|(ab)(ab).又1ab8，1ab18，所以ab10分于是A2B232112(ab)，故ab也是完全平方数，所以ab＝1或4.……15分如果ab＝1，结合ab11可求得a6，b5.如果ab＝4，结合ab11可知没有正整数解.因此，a6，b5，A＝65 20分（25分DBC平分平分，BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：EF2PD.2017年国中学竞赛题初年）考答及分准 第4页共5页）EP EP F证明设ADB2，则ADC1802，ADEBDE， 5分由于△BDE是直角三角形，所以EBD90BDE90，所以10分又因为D为BC的中，以，所以Rt△≌Rt△，B D C所以15分又由EBDFDC可知EB//FD，因此，四边形BDFE是平行四边形，故EF//BD，于是可得20分又因为BDEPDE，CDFPDF，所以PEDPDE，PFDPDF，所以，所以25分5abc（5abc小值.解因为b,c是正整数，5是无理数，故5bc0.

为有理数，求

a2b2c2的最abc5ab5abc(5ab)(5bc)5b2c2

(5abbc)5(b(5abbc)5(b2ac)

为有理数，所以b20，故b2a，又a,b,c不全等不设abc 10分又a2b2c2a2c2b2ac)2b2

(acb)(ac

，所以

a2b2c＝