《指数函数与对数函数的关系》

4.3指数函数与对数函数的关系第四章

指数函数、对数函数与幂函数学习目标1.了解反函数的定义．2.了解指数函数与对数函数互为反函数.学习目标教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向对数函数的概念数学抽象水平1水平11.本节的重点是对数函数的图像和性质，难点是对数函数的综合运用。2.在掌握对数函数的图像和性质的基础上，学会解决与对数函数有关的复合函数问题。3.比较对数函数、指数函数的图像和性质，总结反函数的性质。【考查内容】同指数函数一样，对数函数的图像和性质是高考的考查热点和重点。常考题型如下：（1）与对数函数有关的分段函数求值；（2）与对数函数相关的复合函数问题，如求值、求定义域、值域、单调区间，判断奇偶性或已知单调性、奇偶性求参数等，其中比较对数式的大小的题目有一定的综合性，出现频率较高；（3）对数函数的图像判断和平移变换。【考查题型】选择题、填空题、解答题【分值情况】5分对数函数的图像直观想象水平1水平2对数函数的性质直观想象水平2水平2指数函数与对数函数的关系逻辑推理水平1水平1知识点一指数函数与对数函数的性质(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础1.指数函数y＝ax定义域：R值域：________单调性：0<a<1时，为________；a>1时，为________2.对数函数y＝logax定义域：________值域：R单调性：0<a<1时，为________；a>1时，为________(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础知识点一指数函数与对数函数的性质状元随笔指数函数y＝ax与对数函数y＝logax，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．知识点二

反函数(一)教材梳理填空一、自学教材·注重基础一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同．状元随笔1．y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．2．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数．一、自学教材·注重基础基本知能小试1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图像(

)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．D2．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．解析：函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋∞)，∴log2x＋2>3，即log2x>1，∴x>2.则此函数的定义域为(2，＋∞)．(2，＋∞)题型一求函数的反函数解析二、提升新知·注重综合例1、判断f(x)＝2x＋2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f－1(x)的解析式，并在同一直角坐标系中作出f(x)与f－1(x)的函数图像．

1．判断函数是否单调．2．求出x.3．推导出f

－1(x)的解析式．方法总结二、提升新知·注重综合题型一求函数的反函数求给定解析式的函数的反函数的步骤(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；(2)从y＝f(x)中解出x；(3)x，y互换并注明反函数的定义域．变式训练二、提升新知·注重综合题型一求函数的反函数

变式训练二、提升新知·注重综合题型一求函数的反函数

解析：(4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即y＝log0.2(x－1)，因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)．1.函数在定义域内的值域．2.求x.3.解出f

－1(x)解析二、提升新知·注重综合题型二

反函数性质的应用例2、已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．

解析二、提升新知·注重综合题型二

反函数性质的应用例2、已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．

二、提升新知·注重综合方法总结题型二

反函数性质的应用利用反函数的性质解题互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上.二、提升新知·注重综合变式训练题型二

反函数性质的应用1.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，求f(x)的表达式．解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(4,0)，∴y＝f(x)的图像过点(0,4)，∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.两点关于y＝x对称.题型三

指数函数与对数函数图像间的关系二、提升新知·注重综合解析例3、已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是(

)

1.由lga＋lgb＝0得ab＝1.2.f(x)与y(x)互为反函数.B二、提升新知·注重综合方法总结题型三

指数函数与对数函数图像间的关系利用反函数的性质识图指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y＝x对称，在有关指数函数与对数函数的图像知识问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题．变式训练二、提升新知·注重综合题型三

指数函数与对数函数图像间的关系1.y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的(

)

C状元随笔1.先求出f－1(x)．2．再求f－1(－x)．3．最后求出f－1(1－x)．题型四

指数函数与对数函数的综合应用二、提升新知·注重综合解析例4、(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求函数f(x)的定义域、值域；②判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．

题型四

指数函数与对数函数的综合应用二、提升新知·注重综合解析例4、(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求函数f(x)的定义域、值域；②判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．(2)将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，n是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标，由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，题型四

指数函数与对数函数的综合应用二、提升新知·注重综合解析例4、(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求函数f(x)的定义域、值域；②判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)，而A、B都在直线y＝－x＋3上，∴n＝－m＋3(A点坐标代入)，或m＝－n＋3(B点坐标代入)，故m＋n＝3.1.先求定义域值域.2.判断函数单调性.3.利用反函数求m、n.二、提升新知·注重综合方法总结题型四

指数函数与对数函数的综合应用指数函数与对数函数综合问题的解决方法(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．(2)利用数形结合，等价转化的思想可较为简便地解决函数零点(方程的根)问题．

变式训练二、提升新知·注重综合题型四

指数函数与对数函数的综合应用1.已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为(

)A．1

B．2

C．3D．4解析：函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，