山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试（10月）数学试卷

新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试高二年级数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)1．(5分)已知空间向量,,且,则向量与的夹角为()A. B. C. D.2．(5分)在三棱锥中,已知,G是线段的中点,则()A. B.C. D.3．(5分)已知，，，点M在直线上运动.当取最小值时，点M的坐标为()A. B. C. D.4．(5分)如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足的是()A. B. C. D.5．(5分)菱形的边长为4，，E为的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线的距离为()A. B. C. D.6．(5分)已知,,,,则点D到平面ABC的距离为()A. B. C. D.7．(5分)在四面体中,记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则()A. B.C. D.8．(5分)如图，在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有()①二面角的大小为常数②二面角的大小为常数③二面角的大小为常数A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、多项选择题(共18分)9．(6分)已知直线，的方向向量分别是，，若且，则的值可以是()A. B. C.1 D.310．(6分)已知直线,,下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则或C.当时,是直线的方向向量D.原点到直线的最大距离为11．(6分)如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是()A. B.C.向量与的夹角是 D.与所成角的余弦值为三、填空题(共10分)12．(5分)已知空间向量,,则在上的投影向量的坐标是________.13．(5分)四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,则PG与平面PAD所成角的正弦值为________.四、双空题(共5分)14．(5分)已知直线l的方向向量为a，平面的一个法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为_________；若，则直线l与平面的位置关系为_________.五、解答题(共77分)15．(13分)已知,.（1）若,求实数k的值;（2）若,求实数k的值.16．(15分)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.（1）求；（2）求二面角的正弦值.17．(15分)如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知，，，.（1）求证：.（2）若点M是线段AP上一点，且，试证明平面平面BMC.18．(17分)如图,在正三棱柱中,,,D是中点,E在棱上,且.（1）求证:平面平面;（2）求平面与平面ABC的夹角的余弦值.19．(17分)如图,三棱锥中,平面,,,,M是棱上一点,且.(1)证明：平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值.

参考答案1．答案：A解析：,解得,则,,,设向量与的夹角为,则,,,即与的夹角为.故选:A.2．答案：D解析：连接,因为G是线段的中点,所以因为,所以所以故选：D.3．答案：D解析：设，即，故，，当时，向量数量积有最小值，此时.故选：D.4．答案：C解析：在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，，对于A，，，，，直线l的方向向量，，显然，直线与l不垂直，A不是；对于B，由选项A知，直线l的方向向量，，，则，显然，直线与l不垂直，B不是；对于C，由选项A知，直线l的方向向量，，，则，显然，，C是；对于D，由选项A知，直线l的方向向量，，，则，显然，直线与l不垂直，D不是.故选：C5．答案：A解析：连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为E为的中点，所以，所以,，因为，平面，所以平面，因为菱形的边长为4，所以,,，所以直角梯形的面积为，设四棱锥的高为h，则，得，所以，所以平面，所以以E为原点，,,所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则,,，所以，所以,所以，，所以F到直线的距离为，故选：A6．答案：C解析：易知,,,设平面ABC的法向量,则即令,则,,所以平面ABC的一个法向量为,所以点D到平面ABC的距离.故选:C.7．答案：B解析：由题意得：,故选：B.8．答案：B解析：设正方体的棱长为a，以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，又F是侧面上的动点，设，，，则，设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，又平面，则，即，则，解得，因此可得，，设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，又因此可得二面角的大小为常数，故①正确；设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，因为中含参数，故的值不定，因此二面角的大小不是常数，故②不正确；设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，因为中含参数，故的值不定，因此二面角的大小不是常数，故③不正确；故选：B.9．答案：AC解析：直线、的方向向量分别是，，且，，解得，或，或.10．答案：AD解析:对选项A:,则,解得,故A正确;对选项B:当时,两条直线重合,故B错误;对选项C:时,,斜率为,的方向向量是,故C错误;对选项D:过定点,故原点到直线的最大距离为,故D正确.故选:AD.11．答案：AB解析：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，可设棱长为1，则，，而，所以A正确.，所以B正确.向量，显然为等边三角形，则.所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则C不正确又，则，，，所以，所以D不正确.12．答案：解析：,,,故在上的投影向量的坐标.故答案为:13．答案：解析：因为底面ABCD,底面ABCD是正方形,所以DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,则重心,因而,,,设平面PAD的一个法向量为,则,令则,则,故答案为:.14．答案：垂直；或解析：若，则，则n，a共线，故直线l与平面垂直；若，则，则，又不确定直线l是否在平面内，所以或.15．答案：（1）,（2）或解析：（1）,,若,则,即,,,解得,.（2）,,若,则,即,化简可得,解得或.16．答案：（1）；（2）解析：（1）因为平面，所以，.在矩形中，，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，所以，.因为，所以，得，所以.（2）易知，由（1）可得，，，.设平面的法向量为，则即令，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则即得，令，则，所以平面的一个法向量为.，二面角的正弦值为.17．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，D是BC的中点，所以.如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以，所以，即.（2）因为平面ABC，平面ABC，所以.因为，，所以.因为M为AP上一点，且，所以.由（1）得，所以.又，所以.所以，.设平面BMC的法向量为，则即令，则，，所以.设平面AMC的法向量为，则即令，则，，所以.所以，所以，所以平面平面BMC.18．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）设的中点为F,过F作分别交AC,于G,,连接EF、,则G,分别为AC,的中点,所以,由,,得,即,又因为,所以四边形是平行四边形,所以,因为是的中点,为正三角形,所以,由正三棱柱的性质得,底面,且底面,所以,,,平面,所以平面.又因为,所以平面,平面,所以平面平面.（2）以BC中点O为原点,OA,OC,(为中点)分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则,,,易得平面ABC的一个法向量,设向量为平面一个法向量,,,则由,,得,,令,得,设平面与平面ABC的夹角为,则.所以平面与平面ABC的夹角的余弦值为.19．答案：(1)