7.3.1　正弦函数的性质与图像

7.3.1正弦函数的性质与图像1.什么叫角α的正弦线?提示:角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM垂直于x轴,则

即为角α的正弦线.2.描点法作图的基本步骤是什么?提示:描点法作图的基本步骤是:取值、列表、描点、连线、成图.3.填空:(1)对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sinx与之对应,因此y=sinx是一个函数,一般称为正弦函数.

(2)正弦函数的性质与图像

(3)周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.(4)正弦曲线:一般地,y=sinx的函数图像称为正弦曲线.4.做一做:求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间.5.做一做:下列函数中,不是周期函数的是(

)A.y=-sinx,x∈RB.y=3,x∈RC.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]D.y=sinx,x∈(0,+∞)答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测用“五点法”作函数的图像例1作出函数y=-sinx,x∈[-π,π]的图像简图.解:列表如下:作出图像如图所示:探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟用“五点法”画函数图像的基本步骤(1)列表:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的大致图像为图中的(

)探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:方法1:利用五点法作出x∈[0,2π]上的函数图像,列表如下:描点、连线得其大致图像如图所示,对照选项中的图像,可知选B.方法2:令x=0,则y=1-sin

0=1,因此图像过点(0,1),可排除C,D;又令答案:B探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测求定义域

探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟函数定义域的求法求三角函数的定义域,一般应根据各式有意义转化为求不等式(组)的解的问题,利用三角函数线或三角函数的图像进行求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测函数奇偶性的判断例3判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);分析:利用函数奇偶性的定义进行判断.解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又f(x)=xsin(π+x)=-xsin

x,所以f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin

x=f(x),因此f(x)是偶函数.(2)函数应满足1+sin

x≠0,所以函数的定义域不关于原点对称.所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟判断函数奇偶性的方法(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.(2)注意奇偶性判定法的变通探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测正弦函数单调性的应用例4比较下列各组数的大小:分析:变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(4)sin

194°=sin(180°+14°)=-sin

14°,cos

160°=cos(180°-20°)=-cos

20°=-sin

70°.因为0°<14°<70°<90°,所以sin

14°<sin

70°.所以-sin

14°>-sin

70°,即sin

194°>cos

160°.反思感悟利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法(1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测分类讨论思想在正弦函数中的应用典例求函数y=asinx+b(a≠0)的最值.解:若a>0,当sin

x=1时,ymax=a+b.当sin

x=-1时,ymin=-a+b.若a<0,当sin

x=-1时,ymax=-a+b,当sin

x=1时,ymin=a+b.方法点睛研究函数的最值时,不但要注意定义域,同时还需注意单调性.如y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.正弦函数y=sinx(x∈R)的图像的一条对称轴是(

)A.y轴 B.x=C.直线x=π D.x轴答案:B2.下列大小关系正确的是(

)探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.若a=sin1,b=sin2,c=sin3,则a,b,c由小到大的顺序为

.

解析:由题意知sin

2=sin(π-2),sin

3=sin(π-3),所以sin(π-3)<sin

1<sin(π-2),即sin

3<sin