第五章 一元一次方程（21类题型突破）

第五章一元一次方程重要题型【题型1方程及一元一次方程的定义】【典例1-1】下列各式中，是方程的是（）A．7x﹣4＝3x B．4x﹣6 C．4+3＝7 D．2x＜5【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（）A． B．4x2＝24 C．x+y＝80 D．【变式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）A．x+1＝0 B．x2﹣x＝0 C．x+y＝1 D．﹣2＝1【变式1-1】在下列方程中，是一元一次方程的是（）A．2xy＝4 B．x2＝1 C．2x＝0 D．x+y＝2【题型2利用一元一次方程的定义求值】【典例2】若（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【变式2-1】若方程（a﹣2）x|a|﹣1＝a+3是关于x的一元一次方程，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【变式2-2】已知关于x的方程3﹣（m+1）x|m|＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上结果均不正确【题型3方程的解】【典例3】已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1【变式3-1】已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，则a＝．【变式3-2】如果x＝﹣1是方程x+a＝3的解，则a＝．【变式3-3】若2是方程2a﹣3x＝2的解，则a＝【题型4利用等式的性质变形】【典例4】下列变形中，不正确的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3 D．若，则a＝b【变式4-1】运用等式性质进行的变形，不一定成立的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么3﹣2a＝3﹣2b C．如果a2＝2a，那么a＝2 D．如果，那么4a＝3b【变式4-2】下列运用等式性质正确的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果ac＝bc，那么a＝b C．如果＝，那么a＝b D．如果a2＝ab，那么a＝b【变式4-3】下列说法正确的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a＝b，那么ac＝bc C．如果a＝b，那么 D．如果a＝﹣b，那么a2+b2＞0【题型5方程的解中遮挡问题】【典例5】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【变式5-1】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝x﹣，答案显示此方程的解是x＝，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【变式5-2】下面是一个被墨水污染过的方程：2x＝3x+■，答案显示此方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．5 B．﹣5 C． D．【变式5-3】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+★，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【题型6解一元一次方程】【典例6】解方程：（1）3x+5＝4x+1； （2）．【变式6-1】解方程：（1）5x+3＝﹣2x﹣11； （2）．【变式6-2】解方程：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8）； （2）．【变式6-3】解下列方程：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16． （2）．【题型7根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例7】若2（a+3）的值与﹣5互为相反数，则a的值为（）A． B． C． D．5【变式7-1】若多项式3x+5与5x﹣7的值相等，则x的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【变式7-2】当x＝时，代数式2x﹣1的值与代数式3x+3的值相等．【变式7-3】若代数式3a+1的值与代数式3（a﹣1）的值互为相反数，则a＝．【题型8错解一元一次方程的问题】【典例8】某同学解方程3x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错后解得x＝﹣2，那么他把□处看成了（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【变式8-1】某同学在解方程5x﹣1＝■x+3时，把■处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把■看成了（）A．3 B．﹣3 C．﹣8 D．8【变式8-2】同学小明在解关于x的方程5x﹣4＝（）x时，把（）处的数看错，得错解x＝﹣1，则小明把（）处看成了．【题型9一元一次方程的解在新定义中运用】【典例9】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．【变式9-1】定义一种新运算⊗：a⊗b＝4a+b，试根据条件回答问题（1）计算：2⊗（﹣3）＝；（2）若x⊗（﹣6）＝3⊗x，请求出x的值；（3）这种新定义的运算是否满足交换律，若不满足请举一个反例，若满足，请说明理由．【变式9-2】对有理数a，b规定新运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※x＝2﹣x的解是（）A． B．3 C．﹣3 D．【变式9-3】新华商店店庆促销，有一种新型书包，原价每个x元，第一次降价打八折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为70元．则所列方程是（）A．70﹣0.8x＝10 B．0.08x﹣10＝70 C．0.8x﹣10＝70 D．x﹣0.8x﹣10＝70【变式9-4】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为．【变式9-5】新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m的值为．【题型10和、差、倍、分问题】【典例10】某班举行了“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排张小明购买奖品，如图两幅图是张小明买回奖品时与班长的对话情况：请根据图1、图2的信息，解答下列问题：（1）张小明买了两种笔记本各多少本？（说明：要求列一元一次方程解决问题）（2）请你解释为什么班长说不可能找回68元钱．【变式10-1】A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设A种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（）A．2（x﹣1）+3x＝13 B．2（x+1）+3x＝13 C．2x+3（x+1）＝13 D．2x+3（x﹣1）＝13【变式10-2】方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（）A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50 C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20【变式10-3】青骄课堂2023年禁毒知识竞赛答题，共设20道选择题，要求每题必答，每答对一题得5分，答错一题扣1分，小新一共得了82分，他答对了道题．【题型11行程问题】【典例11】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时相向开出，当两车相遇后，又继续前进，甲车行了全程的时，乙车恰好行了全程的．这时两车相距364km．A、B两城相距多少千米？【变式11-1】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．【变式11-2】甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题．（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程．【变式11-3】两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，2小时后相遇．已知两辆车的速度比是2：3，求较慢的一辆车每小时行驶多少千米？【题型12工程问题】【典例12】整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【变式12-1】学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来甲和乙两名工人．已知甲单独完成需要4天，乙单独完成需要6天．（1）两个人一起做需要天完成；（2）现由乙先做1天，再由两个人一起做，还需要多少天可以完成这项工作？【变式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的面积；（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？【题型13顺水逆水问题】【典例13】两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行．已知两飞机在无风的速度都是500千米每小时，风速是a千米每小时．（1）甲、乙飞机飞行时的速度分别是多少？（2）3小时后两机的行程分别是多少？（3）求3小时后两机相距多远？（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行多少千米？【变式13-1】一架飞机在A，B两城市之间飞行，风速为20km/h，顺风飞行需要8h，逆风飞行需要8.5h．求无风时飞机的飞行速度和A，B两城市之间的航程．【变式13-2】在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程是多少？【变式13-3】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度．【变式13-4】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时，逆风飞行需要3小时．（1）求无风时飞机的飞行速度；（2）求两城之间的距离．【题型14商品利润问题】【典例14】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）型号进价（元/只）预售价（元/只）甲型2025乙型3540（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．【变式14-1】一件大衣按其进价提高50%后标价．由于季节原因，现以标价的七折售出，结果仍盈利18元．这件上衣的进价是多少元？（提示：利润＝售价﹣进价）【变式14-2】一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？【变式14-3】我校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每条80元的价格购进了某品牌裤子500条，并以每条120元的价格销售了400条，商场准备采取促销措施，将剩下的裤子降价销售．（1）前400条裤子的利润是多少元？（2）当每条裤子降价多少元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标？【题型15分配问题】【典例15】《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（）A．6x+45＝8x+3 B．6x+45＝8x﹣3 C．6x﹣45＝8x+3 D．6x﹣45＝8x﹣3【变式15-1】我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（）A．7x+4＝9x﹣8 B．7x﹣4＝9x+8 C． D．【变式15-2】近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（）A．10x﹣6＝12x+6 B．10x+6＝12x﹣6 C． D．【变式15-3】某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是（）①8x﹣4＝10x+6；②；③；④8x+4＝10x﹣6．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【变式15-4】为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送．若每位志愿者派送8个蔬菜包，则少5个；若每个志愿者派送6个，则剩下4个未送，设安排x个志愿者派送，则下面所列方程中正确的是（）A．8x﹣5＝6x+4 B．8x+5＝6x+4 C．8x+5＝6x﹣4 D．8x﹣5＝6x﹣4【题型16配套问题】【典例16】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【变式16-1】现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为（）A．4x＝5（90﹣x） B．5x＝4（90﹣x） C．x＝4（90﹣x）×5 D．4x×5＝90﹣x【变式16-2】某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．1800x＝1200（28﹣x）【题型17数字与日历问题】【典例17】观察下列三行数：（1）第①行数中的第n个数为（用含n的式子表示）；（2）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于﹣318？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由；（3）如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数之和为﹣156，求方框中左上角的数．【变式17-1】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，若将它的个位数字与十位数字对调，则所得的新数比原两位数大9，求原来的两位数是多少？【变式17-2】表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（）A．63 B．84 C．96 D．105【题型18方案选择问题】【典例18】甲，乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价5元．而甲，乙两店的促销方案不同，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？（2）若购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪一家商店购买？为什么？【变式18-1】为抗击新冠肺炎疫情，某药店对消毒液和口罩开展优惠活动．消毒液每瓶定价10元，口罩每包定价5元，优惠方案有以下两种：①以定价购买时，买一瓶消毒液送一包口罩；②消毒液和口罩都按定价的80%付款．现某客户要到该药店购买消毒液30瓶，口罩x包（x＞30）．（1）若该客户按方案①购买需付款元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝50时，通过计算说明按方案①，方案②哪种方案购买较为省钱？（3）试求当x取何值时，方案①和方案②的购买费用一样．【变式18-2】在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处理费共为N元．（1）分别用x表示M，N；（2）若交费时间为12个月，哪种方案更合适，并说明理由．（3）交费时间为多少个月时，两种方案费用相同？【变式18-3】按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）：A方案：买一个排球送一根跳绳；B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买排球50个，跳绳x根（x＞50）．（1）若按A方案购买，一共需付款元；若按B方案购买，一共需付款元；（用含x的式子表示）（2）购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？【变式18-4】随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量xGB．（1）张老师按第一种套餐每月需花费元，按第二种套餐每月需花费元；（用含x的代数式表示）（2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算；（3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？【题型19分段计费问题】【典例9】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：价目表每月用水量单价不超出6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3请根据上表的内容解答下列问题：（1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费元；（2）若该户居民3月份用水8m3，则应收水费多少元？（3）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）；（4）若该户居民5月份的水费为36元，则5月份的用水量是多少立方米？【变式19-1】“水是生命之源”，某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：用水量/月单价（元/m3）不超过20m32.8超过20m3的部分3.8另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费（1）根据上表，用水量每月不超过20m3，实际每立方米收水费元；如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费元；（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少m3？（3）若该用户水表3月份出了故障，只有70%的用水量记入水表中，这样该用户在3月份只缴纳了58.8元水费，问该用户3月份实际应该缴纳水费多少元？【变式19-2】某地自2022年12月2日起施行新的出租车计费标准（如下表）．行驶路程收费标准不超出3km的部分起步价8元超出3km不超出6km的部分2元/km超出6km的部分3元/km根据已知条件，解决下列问题．（1）若行驶路程为5km，则打车费用为1元；（2）若行驶路程为xkm（x＞6），则打车费用为元（用含x的代数式表示）；（3）当打车费用为29元时，行驶路程为多少千米？【题型20隧道或过桥问题】【典例20】已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．求这列火车的长．【变式20-1】一列火车匀速行驶经过一座桥，火车完全通过桥共用了50s，整列火车在桥上的时间为30s，已知桥长1200m，求火车的长度和速度．【变式20-2】一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过长600米的桥洞，从列车进入桥洞口算起，这列火车完全通过桥洞所需时间是（）A．40秒 B．60秒 C．50秒 D．34秒【题型21几何图形问题】【典例21】如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是2米，（1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式表示出正方形F、E和C的边长分别为，，；（2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的MN和PQ，MQ与PN）．请根据这个等量关系，求出x的值；（3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工4天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还要多少天完成？【变式21-1】如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的面积是多少？【变式21-2】李明家有一块长方形地，面积为135平方米，他用这块地的种草莓．其余种豆角和茄子两种作物．（1）种植豆角和茄子一共多少平方米？（2）若种植豆角的面积比茄子的面积少，求种植豆角的面积是多少平方米？

第五章一元一次方程重要题型【题型1方程及一元一次方程的定义】【典例1-1】下列各式中，是方程的是（）A．7x﹣4＝3x B．4x﹣6 C．4+3＝7 D．2x＜5【答案】A【解答】解：A、7x﹣4＝3x是方程；B、4x﹣6不是等式，不是方程；C、4+3＝7没有未知数，不是方程；D、2x＜5不是等式，不是方程；故选：A．【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（）A． B．4x2＝24 C．x+y＝80 D．【答案】A【解答】解：A．方程﹣＝1是一元一次方程，故本选项符合题意；B．方程4x2＝24是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．方程x+y＝80是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．方程+2＝6是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：A．【变式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）A．x+1＝0 B．x2﹣x＝0 C．x+y＝1 D．﹣2＝1【答案】A【解答】解：A、含有一个未知数且最高次数为1的等式，故符合题意；B、含未知数的项最高次数为2，故不符合题意；C、含有两个未知数，故不符合题意；D、该式子是分式方程，故不符合题意；故选：A．【变式1-1】在下列方程中，是一元一次方程的是（）A．2xy＝4 B．x2＝1 C．2x＝0 D．x+y＝2【答案】C【解答】解：A．是二元二次方程，故本选项不符合题意；B．未知数的最高次数2次，不是一元一次方程，故本选项不合题意；C．是一元一次方程，故本选项符合题意；D．是二元一次方程，故本选项不合题意．故选：C．【题型2利用一元一次方程的定义求值】【典例2】若（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】A【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣2，故选：A．【变式2-1】若方程（a﹣2）x|a|﹣1＝a+3是关于x的一元一次方程，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【答案】B【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故选：B．【变式2-2】已知关于x的方程3﹣（m+1）x|m|＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上结果均不正确【答案】A【解答】解：根据题意，得|m|＝1且m+1≠0．解得m＝1．故选：A．【题型3方程的解】【典例3】已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1【答案】A【解答】解：将x＝3代入方程得：3a+2×3﹣3＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．【变式3-1】已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，则a＝﹣4．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．【变式3-2】如果x＝﹣1是方程x+a＝3的解，则a＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝1代入方程，得：﹣1+a＝3，解得：a＝4．故答案为：4．【变式3-3】若2是方程2a﹣3x＝2的解，则a＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝2代入方程，得2a﹣6＝2，解得a＝4．故答案为：4．【题型4利用等式的性质变形】【典例4】下列变形中，不正确的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3 D．若，则a＝b【答案】B【解答】解：A、若a﹣3＝b﹣3，则a＝b，故A不符合题意；B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B符合题意；C、若a＝b，则a﹣3＝b﹣3，故C不符合题意；D、若，则a＝b，故D不符合题意；故选：B．【变式4-1】运用等式性质进行的变形，不一定成立的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么3﹣2a＝3﹣2b C．如果a2＝2a，那么a＝2 D．如果，那么4a＝3b【答案】C【解答】解：A．符合性质2，该变形成立，故A不符合题意；B．符合性质1、性质2，该变形成立，故B不符合题意；C．不符合性质2，等式两边同时除以a，当a不为零时，该变形才成立，故C符合题意；D．符合性质2，该变形成立，故D不符合题意；故选：C．【变式4-2】下列运用等式性质正确的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果ac＝bc，那么a＝b C．如果＝，那么a＝b D．如果a2＝ab，那么a＝b【答案】C【解答】解：根据等式的基本性质1和等式的基本性质2可知：A，B，D都不符合题意，C符合题意，故选：C．【变式4-3】下列说法正确的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a＝b，那么ac＝bc C．如果a＝b，那么 D．如果a＝﹣b，那么a2+b2＞0【答案】B【解答】解：A．如果a＝b，那么a+c＝b+c或a﹣c＝b﹣c，故A不正确；B．如果a＝b，那么ac＝bc，故B正确；C．如果a＝b，x2﹣1＝0，那么不成立，故C不正确；D．如果a＝﹣b＝0，那么a2+b2＞0不成立，故D不正确．故选：B．【题型5方程的解中遮挡问题】【典例5】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【答案】D【解答】解：∵x＝﹣1是方程的解，∴2×（﹣1）﹣＝3×（﹣1）+，﹣2﹣＝﹣3+，解得＝．故选：D．【变式5-1】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝x﹣，答案显示此方程的解是x＝，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【答案】B【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a，根据题意得：﹣＝﹣a，解得：a＝﹣2．故选：B．【变式5-2】下面是一个被墨水污染过的方程：2x＝3x+■，答案显示此方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．5 B．﹣5 C． D．【答案】C【解答】解：∵x＝1是方程2x＝3x+■的解，∴2＝3+■，∴■＝﹣，故选：C．【变式5-3】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+★，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【答案】D【解答】解：设被墨水遮盖的常数为t，将x＝﹣1代入方程，得﹣2﹣＝﹣3+t，解得t＝．即这个常数是．故选：D．【题型6解一元一次方程】【典例6】解方程：（1）3x+5＝4x+1；（2）．【答案】（1）x＝4；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）原方程移项，合并同类项得：﹣x＝﹣4，系数化为1得：x＝4；（2）原方程去分母得：7x﹣2x+40＝2x﹣16，移项，合并同类项得：3x＝﹣56，系数化为1得：x＝﹣．【变式6-1】解方程：（1）5x+3＝﹣2x﹣11；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）x＝．【解答】解：（1）5x+3＝﹣2x﹣11，移项，得5x+2x＝﹣11﹣3，合并同类项，得7x＝﹣14，系数化成1，得x＝﹣2；（2），去分母，得2x+1＝6﹣2（5x﹣2），去括号，得2x+1＝6﹣10x+4，移项，得2x+10x＝6+4﹣1，合并同类项，得12x＝9，系数化成1，得x＝．【变式6-2】解方程：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8），6x﹣21＝1﹣x﹣86x+x＝﹣7+21，7x＝14，x＝2；（2），3（3x+5）＝2（2x﹣1），9x+15＝4x﹣2，9x﹣4x＝﹣2﹣15，5x＝﹣17，x＝﹣．【变式6-3】解下列方程：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16．（2）．【答案】（1）x＝3；（2）x＝﹣1．【解答】解：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16，去括号，得3x﹣3+5x﹣5＝16，移项，得3x+5x＝16+3+5，合并同类项，得8x＝24，系数化成1，得x＝3；（2），去分母，得3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），去括号，得9x﹣3﹣12＝10x﹣14，移项，得9x﹣10x＝﹣14+3+12，合并同类项，得﹣x＝1，系数化成1，得x＝﹣1．【题型7根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例7】若2（a+3）的值与﹣5互为相反数，则a的值为（）A． B． C． D．5【答案】C【解答】解：∵2（a+3）的值与﹣5互为相反数，∴2（a+3）+（﹣5）＝0，∴a＝﹣，故选：C．【变式7-1】若多项式3x+5与5x﹣7的值相等，则x的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解答】解：∵多项式3x+5与5x﹣7的值相等，∴3x+5＝5x﹣7，移项，可得：3x﹣5x＝﹣7﹣5，合并同类项，可得：﹣2x＝﹣12，系数化为1，可得：x＝6．故选：A．【变式7-2】当x＝﹣4时，代数式2x﹣1的值与代数式3x+3的值相等．【答案】﹣4．【解答】解：2x﹣1＝3x+3，3x﹣2x＝﹣1﹣3，∴x＝﹣4，∴当x＝﹣4时，代数式2x﹣1的值与代数式3x+3的值相等．故答案为：﹣4．【变式7-3】若代数式3a+1的值与代数式3（a﹣1）的值互为相反数，则a＝．【答案】．【解答】解：根据题意得：3a+1+3（a﹣1）＝0，去括号得：3a+1+3a﹣3＝0，移项得：3+3a＝3﹣1，合并同类项得：6a＝2，系数化为1得：．故答案为：．【题型8错解一元一次方程的问题】【典例8】某同学解方程3x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错后解得x＝﹣2，那么他把□处看成了（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【答案】C【解答】解：依题意，得3×（﹣2）﹣1＝（﹣2）×□+3，即（﹣2）×□＝﹣10，解得：□＝5．故选：C．【变式8-1】某同学在解方程5x﹣1＝■x+3时，把■处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把■看成了（）A．3 B．﹣3 C．﹣8 D．8【答案】D【解答】解：设■处的数字为a，把x＝﹣代入方程5x﹣1＝ax+3中得：﹣﹣1＝﹣a+3，a＝3+1+，a＝，a＝8，故选：D．【变式8-2】同学小明在解关于x的方程5x﹣4＝（）x时，把（）处的数看错，得错解x＝﹣1，则小明把（）处看成了9．【答案】见试题解答内容【解答】解：设（）内的数为a，则错解得方程为5x﹣4＝ax，根据题意，将x＝﹣1代入得：﹣5﹣4＝﹣a，解得：a＝9，故答案为：9．【题型9一元一次方程的解在新定义中运用】【典例9】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．【答案】（1）15；（2）±3．【解答】解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，∴3×（﹣5）+m＝0，∴m＝15；（2）∵某“友好方程”的一个解为n，∴“友好方程”的另一个解为﹣n，∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，∴n＝3或n＝﹣3．∴n＝±3．【变式9-1】定义一种新运算⊗：a⊗b＝4a+b，试根据条件回答问题（1）计算：2⊗（﹣3）＝5；（2）若x⊗（﹣6）＝3⊗x，请求出x的值；（3）这种新定义的运算是否满足交换律，若不满足请举一个反例，若满足，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：2⊗（﹣3）＝8﹣3＝5；故答案为：5；（2）由题意得4x﹣6＝3×4+x，移项、合并得3x＝18，解得x＝6；（3）不满足交换律，反例如：2⊗1＝9，1⊗2＝6，显然2⊗1≠1⊗2．【变式9-2】对有理数a，b规定新运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※x＝2﹣x的解是（）A． B．3 C．﹣3 D．【答案】A【解答】解：∵a※b＝a+2b，且3x※x＝2﹣x，∴3x+2x＝2﹣x，移项，可得：3x+2x+x＝2，合并同类项，可得：6x＝2，系数化为1，可得：x＝．故选：A．【变式9-3】新华商店店庆促销，有一种新型书包，原价每个x元，第一次降价打八折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为70元．则所列方程是（）A．70﹣0.8x＝10 B．0.08x﹣10＝70 C．0.8x﹣10＝70 D．x﹣0.8x﹣10＝70【答案】C【解答】解：根据题意得：0.8x﹣10＝70．故选：C．【变式9-4】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a☆b＝ab+a﹣b，2☆x＝x☆2，∴2x+2﹣x＝2x+x﹣2，整理，可得：2x＝4，解得x＝2．故答案为：2．【变式9-5】新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m的值为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：由题意，得2m+4﹣3m＝6，﹣m＝2，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【题型10和、差、倍、分问题】【典例10】某班举行了“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排张小明购买奖品，如图两幅图是张小明买回奖品时与班长的对话情况：请根据图1、图2的信息，解答下列问题：（1）张小明买了两种笔记本各多少本？（说明：要求列一元一次方程解决问题）（2）请你解释为什么班长说不可能找回68元钱．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设买x本5元的笔记本，则买（40﹣x）本8元的笔记本，依题意得，5x+8（40﹣x）＝300﹣68+13，解得x＝25，则40﹣x＝15（本）．答：张小明买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本；（2）设买x本5元的笔记本，则买（40﹣x）本8元的笔记本，根据题意，得5x+8（40﹣x）＝300﹣68，解得x＝，不是整数，故不能找回68元．【变式10-1】A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设A种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（）A．2（x﹣1）+3x＝13 B．2（x+1）+3x＝13 C．2x+3（x+1）＝13 D．2x+3（x﹣1）＝13【答案】C【解答】解：设A种饮料单价为x元/瓶，则B种饮料单价为（x+1）元，根据小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，可得方程为：2x+3（x+1）＝13．故选：C．【变式10-2】方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（）A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50 C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20【答案】B【解答】解：∵方方同学购买笔记本和彩色水笔共20件，且购买了x本笔记本，∴购买了（20﹣x）支彩色水笔．根据题意得：2（20﹣x）+4x＝50．故选：B．【变式10-3】青骄课堂2023年禁毒知识竞赛答题，共设20道选择题，要求每题必答，每答对一题得5分，答错一题扣1分，小新一共得了82分，他答对了17道题．【答案】17．【解答】解：设小新答对了x道题，则答错（20﹣x）道题，根据题意得：5x﹣（20﹣x）＝82，解得：x＝17，∴小新答对了17道题．故答案为：17．【题型11行程问题】【典例11】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时相向开出，当两车相遇后，又继续前进，甲车行了全程的时，乙车恰好行了全程的．这时两车相距364km．A、B两城相距多少千米？【答案】A、B两城相距780千米．【解答】解：设A、B两城相距x千米，根据题意得x+x﹣x＝364，解得x＝780，答：A、B两城相距780千米．【变式11-1】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．【答案】高铁的平均速度为296km/h．【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），解得：x＝296，答：高铁的平均速度为296km/h．【变式11-2】甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题．（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程．【答案】（1）慢车行驶的时间为4小时；（2）当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米．【解答】解：（1）由题意得，120（x+0.5）+90x＝900，解得：x＝4，∴慢车行驶的时间为4小时；（2）①两车相遇前相距315千米，120（x+0.5）+90x＝900﹣315，解得：x＝2.5，此时快车行驶的路程：120×（2.5+0.5）＝360（千米）；②两车相遇后相距315千米，120（x+0.5）+90x＝900+315，解得：x＝5.5，此时快车行驶的路程：120×（5.5+0.5）＝720（千米）；③当快车到达乙地，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90＝630＞315，此种情况不存在；∴当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米．【变式11-3】两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，2小时后相遇．已知两辆车的速度比是2：3，求较慢的一辆车每小时行驶多少千米？【答案】较慢的一辆车每小时行驶60千米．【解答】解：设较慢的一辆车每小时行驶x千米，∵两辆车的速度比是2：3，∴较快的一辆车每小时行驶x千米，根据题意得2（x+x）＝300，解得x＝60，答：较慢的一辆车每小时行驶60千米．【题型12工程问题】【典例12】整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【答案】应先安排2人工作．【解答】解：设应先安排x人工作，根据题意得：+＝1化简可得：+＝1，即：x+2（x+2）＝10解可得：x＝2答：应先安排2人工作．【变式12-1】学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来甲和乙两名工人．已知甲单独完成需要4天，乙单独完成需要6天．（1）两个人一起做需要2.4天完成；（2）现由乙先做1天，再由两个人一起做，还需要多少天可以完成这项工作？【答案】（1）2.4；（2）2．【解答】解：（1）1÷（+）＝1÷＝2.4（天）．答：两个人一起做，需要2.4天可以完成．故答案为2.4；（2）设乙先做1天，再两人一起做，还需x天完成这项工作，由题意可得：+＝1，解得：x＝2．答：还需2天可以完成这项工作．【变式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的面积；（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？【答案】（1）每个房间需要粉刷的面积为50m2；（2）需要6天完成．【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，由题意得：﹣＝30，解得：x＝50，∴每个房间需要粉刷的面积为50m2，答：每个房间需要粉刷的面积为50m2；（2）每名徒弟一天粉刷的面积为：＝90（m2），每名师傅一天粉刷的面积为：＝120（m2），∴＝6（天），答：需要6天完成．【题型13顺水逆水问题】【典例13】两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行．已知两飞机在无风的速度都是500千米每小时，风速是a千米每小时．（1）甲、乙飞机飞行时的速度分别是多少？（2）3小时后两机的行程分别是多少？（3）求3小时后两机相距多远？（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行多少千米？【答案】（1）甲飞机飞行时的速度为（500+a）千米/小时，乙飞机飞行时的速度为（500﹣a）千米/小时；（2）甲飞机3小时后飞行的路程为：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飞机3小时后飞行的路程为：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）3小时后两机相距为3000千米；（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行6a千米．【解答】解：（1）∵甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行，∴甲飞机飞行时的速度为（500+a）千米/小时，乙飞机飞行时的速度为（500﹣a）千米/小时；（2）根据（1）中写出的甲、乙飞机飞行时的速度，则甲飞机3小时后飞行的路程为：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飞机3小时后飞行的路程为：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）∵两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，∴3小时后两机相距为：1500+3a+1500﹣3a＝3000（千米）；（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行的距离为：（1500+3a）﹣（1500﹣3a）＝6a（千米）．【变式13-1】一架飞机在A，B两城市之间飞行，风速为20km/h，顺风飞行需要8h，逆风飞行需要8.5h．求无风时飞机的飞行速度和A，B两城市之间的航程．【答案】无风时飞机的飞行速度为660km/h，A，B两城市之间的航程为5440km．【解答】解：设无风时飞机的飞行速度为xkm/h，由题意得：8（x+20）＝8.5（x﹣20），解得：x＝660，则8（x+20）＝8×（660+20）＝5440，答：无风时飞机的飞行速度为660km/h，A，B两城市之间的航程为5440km．【变式13-2】在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8×（x+24）＝3×（x﹣24），解得：x＝696．答：无风时飞机的航速是696千米/时．（2）由（1）知，无风时飞机的航速是696千米/时，则3×（696﹣24）＝2016（千米）．答：两机场之间的航程是2016千米．【变式13-3】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度．【答案】120千米/时．【解答】解：设无风时飞机的速度为x千米/时，根据题意得：（x+24）×2＝（x﹣24）×3，解得：x＝120．答：无风时飞机的速度为120千米/时．【变式13-4】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时，逆风飞行需要3小时．（1）求无风时飞机的飞行速度；（2）求两城之间的距离．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设无风时飞机的飞行速度为x千米/小时，由题意得2（x+24）＝3（x﹣24）解得：x＝120答：无风时飞机的飞行速度是120千米/时；（2）2（x+24）＝288千米答：两城之间的距离是288千米．【题型14商品利润问题】【典例14】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）型号进价（元/只）预售价（元/只）甲型2025乙型3540（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．【答案】（1）购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；（2）乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．【解答】解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，由题意可得：20x+35（100﹣x）＝2600，解得：x＝60，100﹣60＝40（只），答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380，解得：y＝10，答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．【变式14-1】一件大衣按其进价提高50%后标价．由于季节原因，现以标价的七折售出，结果仍盈利18元．这件上衣的进价是多少元？（提示：利润＝售价﹣进价）【答案】360．【解答】解：设这件上衣的进价为x元，由题意得，70%•（1+50%）x﹣x＝18，解之得，x＝360，答：这件上衣的进价是360元．【变式14-2】一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？【答案】900．【解答】解：设每块手表的标价为x元，根据题意得：3400×90%﹣2800﹣（80%x﹣600）＝140，0.8x＝720，解得：x＝900，答：每块手表的标价为900元．【变式14-3】我校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每条80元的价格购进了某品牌裤子500条，并以每条120元的价格销售了400条，商场准备采取促销措施，将剩下的裤子降价销售．（1）前400条裤子的利润是多少元？（2）当每条裤子降价多少元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标？【答案】（1）16000元；（2）当每条裤子降价20元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标．【解答】解：（1）由题意可得，前400条裤子的利润是：（120﹣80）×400＝40×400＝16000（元），答：前400条裤子的利润是16000元；（2）设当每条裤子降价x元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标，由题意可得：（120﹣x﹣80）×（500﹣400）+16000＝500×80×45%，解得x＝20，答：当每条裤子降价20元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标．【题型15分配问题】【典例15】《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（）A．6x+45＝8x+3 B．6x+45＝8x﹣3 C．6x﹣45＝8x+3 D．6x﹣45＝8x﹣3【答案】A【解答】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为6x+45＝8x+3．故选：A．【变式15-1】我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（）A．7x+4＝9x﹣8 B．7x﹣4＝9x+8 C． D．【答案】D【解答】解：∵银子共有x两，每人7两，还剩4两，∴分银子的人共人；∵银子共有x两，每人9两，还差8两，∴分银子的人共人．又∵分银子的人数不变，∴可列方程组＝．故选：D．【变式15-2】近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（）A．10x﹣6＝12x+6 B．10x+6＝12x﹣6 C． D．【答案】B【解答】解：设该分派站有x名快递员，则可列方程为：10x+6＝12x﹣6．故选：B．【变式15-3】某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是（）①8x﹣4＝10x+6；②；③；④8x+4＝10x﹣6．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】B【解答】解：按照男生人数不变列出方程8x+4＝10x﹣6；按照男生宿舍间数不变列出方程＝．∴正确的方程是②④．故选：B．【变式15-4】为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送．若每位志愿者派送8个蔬菜包，则少5个；若每个志愿者派送6个，则剩下4个未送，设安排x个志愿者派送，则下面所列方程中正确的是（）A．8x﹣5＝6x+4 B．8x+5＝6x+4 C．8x+5＝6x﹣4 D．8x﹣5＝6x﹣4【答案】A【解答】解：由题意可得：8x﹣5＝6x+4，故选：A．【题型16配套问题】【典例16】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）调入6名工人；（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【解答】解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【变式16-1】现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为（）A．4x＝5（90﹣x） B．5x＝4（90﹣x） C．x＝4（90﹣x）×5 D．4x×5＝90﹣x【答案】A【解答】解：设用x立方米的木料做桌子，则用（90﹣x）立方米的木料做椅子，依题意，得：4x＝5（90﹣x）．故选：A．【变式16-2】某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．1800x＝1200（28﹣x）【答案】B【解答】解：∵该车间有28名工人生产螺丝和螺母，且有x个工人生产螺丝，∴有（28﹣x）个工人生产螺母，又∵每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，且恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，∴2×1200x＝1800（28﹣x）．故选：B．【题型17数字与日历问题】【典例17】观察下列三行数：（1）第①行数中的第n个数为（﹣2）n（用含n的式子表示）；（2）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于﹣318？如果能，求出n的值；如果不能，请说明理由；（3）如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数之和为﹣156，求方框中左上角的数．【答案】（1）（﹣2）n；（2）7；（3）64．【解答】解：（1）第一行中，从第二个数起，每一个数与前一个数的比为﹣2，∴第n个数为：﹣2×（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，（2）设第一行的第n个数为x，则：x+x+（x+2）＝﹣318x＝﹣128＝（﹣2）7∴n＝7，答：n＝7时满足题意；（3）设方框中左上角的数为x，则：x+（﹣2x）+x+（﹣x）+（x+2）+（﹣2x+2）＝﹣156x＝64答：方框中左上角的数为64；【变式17-1】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，若将它的个位数字与十位数字对调，则所得的新数比原两位数大9，求原来的两位数是多少？【答案】45．【解答】解：设原数的个位数字是x，则十位数字是y．根据题意得：，解得．故原来两位数为45．【变式17-2】表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（）A．63 B．84 C．96 D．105【答案】C【解答】解：设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，这7个数之和为：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+x+6+x+8＝7x．由题意得A．7x＝63，解得：x＝9，能求得这7个数，不符合题意；B．7x＝84，解得：x＝12，能求得这7个数，不符合题意；C．7x＝96，解得：x＝，不能求得这7个数，符合题意；D．7x＝105，解得：x＝15，能求得这7个数，不符合题意．故选：C【题型18方案选择问题】【典例18】甲，乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价5元．而甲，乙两店的促销方案不同，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？（2）若购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪一家商店购买？为什么？【答案】（1）10；（2）去乙店较合算．【解答】解：（1）设购买x盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样，根据题意有：40×5+（x﹣5）×5＝（40×5+5x）×0.9，解得x＝10．所以，购买10盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．（2）当购买球拍5副，15盒乒乓球时：甲店需付款40×5+（15﹣5）×5＝250（元），乙店需付款（40×5+15×5）×0.9＝247.5（元）．因为247.5＜250，所以，购买球拍5副，15盒乒乓球时，去乙店较合算．【变式18-1】为抗击新冠肺炎疫情，某药店对消毒液和口罩开展优惠活动．消毒液每瓶定价10元，口罩每包定价5元，优惠方案有以下两种：①以定价购买时，买一瓶消毒液送一包口罩；②消毒液和口罩都按定价的80%付款．现某客户要到该药店购买消毒液30瓶，口罩x包（x＞30）．（1）若该客户按方案①购买需付款（5x+150）元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买需付款（4x+240）元（用含x的式子表示）；（2）若x＝50时，通过计算说明按方案①，方案②哪种方案购买较为省钱？（3）试求当x取何值时，方案①和方案②的购买费用一样．【答案】（1）（5x+150），（4x+240）；（2）选择方案①购买较为合算；（3）当x＝90时，方案①和方案②的购买费用一样．【解答】解：（1）方案①需付费为：30×10+5（x﹣30）＝（5x+150）元；方案②需付费为：（30×10+5x）×0.8＝（4x+240）元；故答案为：（5x+150），（4x+240）；（2）当x＝50时，方案①需付款为：5x+150＝5×50+150＝400（元），方案②需付款为：4x+240＝4×50+240＝440（元），∵400＜440，∴选择方案①购买较为合算；（3）由题意得，5x+150＝4x+240，解得x＝90，答：当x＝90时，方案①和方案②的购买费用一样．【变式18-2】在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案一：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设交费时间为x个月，方案一的购买费和垃圾处理费共为M元，方案二的购买费和垃圾处理费共为N元．（1）分别用x表示M，N；（2）若交费时间为12个月，哪种方案更合适，并说明理由．（3）交费时间为多少个月时，两种方案费用相同？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）依题意，得M＝250x+3000；N＝500x+1000．（2）当x＝12时，M＝250×12+3000＝6000；当x＝12时，N＝500×12+1000＝7000．∵6000＜7000，∴若交费时间为12个月，选择方案一更合适．（3）依题意，得M＝N，即250x+3000＝500x+1000，解得x＝8．答：交费时间为8个月时，两种方案费用相同．【变式18-3】按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）：A方案：买一个排球送一根跳绳；B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买排球50个，跳绳x根（x＞50）．（1）若按A方案购买，一共需付款（5000+20x）元；若按B方案购买，一共需付款（5400+18x）元；（用含x的式子表示）（2）购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？【答案】（1）（5000+20x）；（5400+18x）；（2）购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．【解答】解：（1）要购买排球50个，跳绳x根（x＞50），由题意可知按A方案购买，需付款的跳绳为（x﹣50）根，故一共需付款：120×50+20（x﹣50）即：（5000+20x）；按B方案购买，需付款的跳绳为x根，故一共需付款：90%（120×50+20x）即：（5400+18x）；故答案为：（5000+20x），（5400+18x）；（2）由（1）可知，当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，即5000+20x＝5400+18x，解得x＝200．答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．【变式18-4】随着5G时代的来临，张老师换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每月50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设张老师每月使用流量xGB．（1）张老师按第一种套餐每月需花费（50+0.4x）元，按第二种套餐每月需花费0.6x元；（用含x的代数式表示）（2）若张老师这个月使用流量200GB，通过计算说明哪种套餐比较合算；（3）张老师每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？【答案】（1）（50+0.4），0.6；（2）选择第二种套餐比较合算；（3）张老师每月用250GB流量时，两种套餐花费一样多．【解答】解：（1）根据题意得，按第一种套餐每月（50+0.4x）元，按第二种套餐每月0.6x元，故答案为：（50+0.4），0.6．（2）当x＝200时，50+0.4x＝50+0.4×200＝130，0.6x＝0.6×200＝120，∴按第一种套餐需要130元，按第二种套餐需要120元，120元＜130元，答：选择第二种套餐比较合算．（3）根据题意得50+0.4x＝0.6x，解得x＝250，答：张老师每月用250GB流量时，两种套餐花费一样多．【题型19分段计费问题】【典例9】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：价目表每月用水量单价不超出6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3请根据上表的内容解答下列问题：（1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费8元；（2）若该户居民3月份用水8m3，则应收水费多少元？（3）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）；（4）若该户居民5