第四章 基本平面图形（21类题型突破）

第四章基本平面图形重要题型【题型1直线、射线与线段】【典例1】（2022秋•辛集市期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（）A．如图1所示，延长线段BA到点C B．如图2所示，射线CB不经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点【变式1-1】（2023春•泰安期中）下列说法中，正确的是（）A．射线MP和射线PM表示同一条射线 B．射线MP有两个端点 C．线段AB和线段BA表示同一条线段 D．射线AB和线段AB对应同一图形【变式1-2】（2023•任丘市校级模拟）下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2023春•环翠区期中）如图，下列不正确的说法是（）A．直线AB与直线BA是同一条直线 B．线段AB与线段BA是同一条线段 C．射线OA与射线AB是同一条射线 D．射线OA与射线OB是同一条射线【题型2直线的性质】【典例2】（2023•婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（）A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．两点之间，线段最短【变式2-1】（2022秋•衡东县期末）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画（）A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条【变式2-2】（2022秋•泸县期末）小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根【变式2-3】（2022秋•莘县期末）如图，建筑工人在砌墙时，为了使砌的墙是直的，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的细线绳作参照线．这样做的依据是：．【题型3线段的应用】【典例3】（2023春•高青县期中）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）A．10 B．11 C．18 D．20【变式3-1】（2022秋•鄂城区校级期末）如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票．（）A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【变式3-2】（2022秋•普宁市期末）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（）A．6种 B．7种 C．21种 D．42种【变式3-3】（2022秋•婺城区期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种 B．15种 C．10种 D．5种【题型4作图-直线射线和线段】【典例4】（2022秋•沈丘县月考）如图，平面上有三个点A，B，C．（1）根据下列语句画图：作出射线AC，CB，直线AB；在射线CB上取一点D（不与点C重合），使BD＝BC；（2）在（1）的条件下，回答问题：①用适当的语句表述点D与直线AB的关系：；②若BD＝3，则CD＝．【变式4-1】（2022秋•馆陶县期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）：（1）作射线AB；（2）作直线AC与直线BD相交于点O；（3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等．【变式4-2】（2022秋•新丰县期末）已知平面上四点A、B、C、D，如图：（1）画直线AD；（2）画射线BC，与AD相交于O；（3）连接AC、BD相交于点F．【题型5线段的性质】【典例5】（2022秋•衡山县期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．直线是向两方无限延伸的 D．两点之间线段最短【变式5-1】（2022秋•吉州区期末）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了桥的长度，也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．经过一点可以作无数条直线 D．连接两点间线段的长度叫做两点间的距离【变式5-2】（2023春•文山市期末）把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应为（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式5-3】（2023•新华区模拟）如图，从A地到B地的四条路线中，路程最短的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型6两点间距离】【典例6】（2023秋•龙城区校级月考）如果A、B、C在同一直线上，线段AB＝4cm，BC＝8cm，那么A、C两点间的距离是（）A．12cm B．8cm C．4cm D．4cm或12cm【变式6-1】（2022秋•新兴县期末）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB＝10，AC＝6，则线段CD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式6-2】（2022秋•绥宁县期末）如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度为（）A．4 B．6 C．8 D．10【变式6-3】（2022秋•交口县期末）直线上有A，B，C三点，已知AB＝8cm，BC＝2cm，则AC的长是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能确定【题型7比较线段长短】【典例7】（2023•馆陶县校级模拟）如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能确定【变式7-1】（2022秋•肥东县期末）如图，若AB＝CD，则AC与BD的大小关系为（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能确定【变式7-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，AC＞BD，比较线段AB与线段CD的大小（）A．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．无法比较【变式7-3】（2022秋•红桥区期末）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能确定【题型8线段的简单计算】【典例8】（2022秋•湖北期末）如图，已知，如果CB＝2cm，求线段CD的长．【变式8-1】（2022秋•济南期末）如图，，D为AC的中点，DC＝2cm，求AB的长．【变式8-2】（2022秋•西岗区校级期末）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm，那么线段AC的长度是多少？【变式8-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．【变式8-4】（2022秋•通川区校级期末）已知，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．（1）如果AB＝10cm，那么MN等于多少？（2）如果AC：BC＝3：2，NB＝3.5cm，那么AB等于多少？【题型9“双中点”模型】【典例9】（2022秋•禹城市期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：（1）求AD的长度；（2）求DE的长度；（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．【变式9-1】（2022秋•铁西区校级期末）如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．【变式9-2】（2022秋•南昌期末）如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．（1）求线段AD的长；（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．【题型10度分秒换算】【典例10】（2022秋•宁波期末）用度表示30°9′36″为．【变式10-1】（2022秋•新抚区期末）计算：18°42′+42°58′＝．【变式10-2】（2022秋•盘山县期末）计算：57.32°＝度分秒．【变式10-3】（2022秋•惠城区期末）把18°21′36″可表示为．【变式10-4】（2023春•文登区期末）18.21°＝°′″．【题型11角的概念及表示】【典例11】（2022秋•长寿区期末）下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A． B． C． D．【变式11-1】（2022秋•阜平县期末）下列图形中，能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【变式11-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（）A． B． C． D．【变式11-3】（2022秋•广平县期末）如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（）A．∠A B．∠1 C．∠C D．∠ABC【题型12作图-基本作图】【典例12】（2023•绿园区一模）观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【变式12-1】（2023秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【变式12-2】（2022秋•新华区校级期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（）A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧【变式12-3】（2023•松原模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（）A． B． C． D．【题型13钟面角】【典例13】（2022秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（）A．105° B．155° C．159° D．157°【变式13-1】（2023春•泰山区期中）下午3：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（）A．67.5° B．70° C．75° D．80°【变式13-2】（2022秋•永安市期末）下午3时30分，钟面上时针与分针的夹角为（）A．90° B．85° C．75° D．65°【变式13-3】（2022秋•九龙坡区期末）当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（）A．9点钟 B．10点钟 C．4点钟或8点钟 D．2点钟或10点钟【题型14方位角】【典例14】（2022秋•汉阳区校级期末）如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（）A． B． C． D．【变式14-1】（2022秋•和平区校级期末）如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏西50°、西南方向，则∠AOB的度数是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【变式14-2】（2023•耿马县三模）如图，在海岛C测得船A在其南偏东70°的方向上，测得灯塔B在其北偏东50°的方向上，则∠ACB＝（）​A．50° B．60° C．70° D．80°【变式14-3】（2022秋•西丰县期末）如图，甲、乙两人同时从A地出发，沿图示方向分别步行前进到B、C两地，现测得∠BAC为100°，B地位于A地的北偏东50°方向，则C地位于A地的（）A．北偏西50°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏东50°方向 D．南偏东30°方向【题型15角平分线】【典例15】（2023春•东阿县期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（）A．15° B．20° C．22.5° D．25°【变式15-1】（2022秋•防城港期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠BOC＝34°，则∠AOD等于（）A．34° B．68° C．144° D．112°【变式15-2】（2023春•淇滨区月考）如图所示，直线AB、CD，交于点O，射线OM平分∠AOC．若∠AOM＝36°，则∠BOC等于（）A．36° B．72° C．108° D．54°【变式15-2】（2023•郸城县一模）如图，点O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，若∠BOE＝28°，则∠AOD的度数为（）A．58° B．60° C．62° D．70°【题型16角的运算】【典例16】（2022秋•洪山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【变式16-1】（2022秋•市北区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数．【变式16-2】（2023春•绥化期末）如图，已知在同一平面内∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．（1）填空：∠BOC＝；（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数；（3）如果在（2）的条件下将∠AOC＝60°改为∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，求∠DOE的度数．【变式16-3】（2022秋•嘉峪关校级期末）如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度数．【题型17角的大小比较】【典例17】（2022秋•临海市期末）若∠α＝10.5°，∠β＝10°10'，则∠α∠β．（填“＞”，“＜”或“＝”）【变式17-1】（2023春•渭滨区期中）如图，∠AOB和∠COD都是直角，则∠1∠2（填＞，＝，＜）．【变式17-2】（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【变式17-3】（2022秋•江北区期末）分别记以下三个时刻3：30，6：40，9：00时针和分针所成角的大小为α，β，γ，请比较α，β，γ的大小．（用“＜”号连结）【题型18多边形】【典例18】（2022秋•高碑店市期末）下列是正多边形的是（）A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形【变式18-1】（2022秋•河东区校级期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【变式18-2】（2022秋•来凤县校级月考）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用平行四边形的．【题型19多边形的对角线】【典例19】（2023秋•富县月考）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（）A．14 B．28 C．24 D．20【变式19-1】（2023秋•乾安县期中）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有2条对角线，则它的边数是（）条．A．3 B．4 C．5 D．6【变式19-2】（2023秋•十堰月考）过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成8个三角形，则这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形【变式19-3】（2023秋•铁锋区月考）从一个多边形的一个顶点可引2022条对角线，则这个多边形的边数是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【题型20圆认识】【典例20】（2023•潍坊开学）圆片向右滚动一周后的位置如图，这个圆片的直径大约是（）cm．A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定【变式20-1】（2022秋•吕梁期中）在平面内与某定点A的距离等于cm的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【变式20-2】（2022秋•防城港期末）已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为cm．【题型21扇形的面积】【典例21】（2023春•巴东县期中）扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（）cm2．A．π B．600π C．300π D．30π【变式21-1】（2022秋•连云港期末）一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（）A．260° B．240° C．140° D．120°【变式21-2】（2023•鹤山市模拟）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π【变式21-3】（2022秋•安次区期末）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（）A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2

第四章基本平面图形重要题型【题型1直线、射线与线段】【典例1】（2022秋•辛集市期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（）A．如图1所示，延长线段BA到点C B．如图2所示，射线CB不经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点【答案】C【解答】解：A、点C在线段BA的延长线上，故A不符合题意；B、射线BC不经过点A，故B不符合题意；C、直线a和直线b相交于点A，正确，故C符合题意；D、射线CD和线段AB有交点，故D不符合题意，故选：C．【变式1-1】（2023春•泰安期中）下列说法中，正确的是（）A．射线MP和射线PM表示同一条射线 B．射线MP有两个端点 C．线段AB和线段BA表示同一条线段 D．射线AB和线段AB对应同一图形【答案】C【解答】解：A、射线MP和射线PM表示同一条射线错误，故本选项错误；B、射线MP有一个端点M，故本选项错误；C、线段AB和线段BA表示同一条线段正确，故本选项正确；D、射线AB和线段AB对应同一图形错误；故本选项错误．故选：C．【变式1-2】（2023•任丘市校级模拟）下列各选项中的射线EF和直线AB能相交的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：射线EF和直线AB能相交的是选项B中的图形．故选：B．【变式1-3】（2023春•环翠区期中）如图，下列不正确的说法是（）A．直线AB与直线BA是同一条直线 B．线段AB与线段BA是同一条线段 C．射线OA与射线AB是同一条射线 D．射线OA与射线OB是同一条射线【答案】C【解答】解：A、直线AB与直线BA是同一条直线，故本选项不符合题意；B、线段AB和线段BA是同一条线段，故本选项不符合题意；C、射线OA与射线AB不是同一条射线，故本选项符合题意；D、射线OA与射线OB是同一条射线，故本选项不符合题意；故选：C．【题型2直线的性质】【典例2】（2023•婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（）A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．两点之间，线段最短【答案】C【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．故选：C．【变式2-1】（2022秋•衡东县期末）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画（）A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条【答案】D【解答】解：如图，经过其中任意两点画直线可以画3条直线或1条直线，故选：D．【变式2-2】（2022秋•泸县期末）小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根【答案】B【解答】解：根据直线的性质，小红至少需要2根钉子使细木条固定．只有B符合．故选：B．【变式2-3】（2022秋•莘县期末）如图，建筑工人在砌墙时，为了使砌的墙是直的，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的细线绳作参照线．这样做的依据是：两点确定一条直线．【答案】见试题解答内容【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【题型3线段的应用】【典例3】（2023春•高青县期中）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【解答】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×（5﹣1）＝20，故选：D．【变式3-1】（2022秋•鄂城区校级期末）如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票．（）A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【答案】D【解答】解：从A开始的线段有：AB，AC，AD；从B开始的线段有：BC，BD；从C开始的线段有：CD，∴在线段AD上有两点B，C，则图中共有6条线段；由于车票从A到B和从B到A是不同的，所以车票的数量是线段条数的2倍，故需要12种车票，故选：D．【变式3-2】（2022秋•普宁市期末）由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（）A．6种 B．7种 C．21种 D．42种【答案】C【解答】解：6+5+4+3+2+1＝21（种）．故要为D7511动车制作的车票一共有21种．故选：C．【变式3-3】（2022秋•婺城区期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种 B．15种 C．10种 D．5种【答案】A【解答】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）＝20（种）．故选：A．【题型4作图-直线射线和线段】【典例4】（2022秋•沈丘县月考）如图，平面上有三个点A，B，C．（1）根据下列语句画图：作出射线AC，CB，直线AB；在射线CB上取一点D（不与点C重合），使BD＝BC；（2）在（1）的条件下，回答问题：①用适当的语句表述点D与直线AB的关系：点D在直线AB外；②若BD＝3，则CD＝6．【答案】（1）见解答；（2）①点D在直线AB外；②6．【解答】解：（1）如图，射线AC，CB，直线AB；射线CB上一点D；（2）①点D与直线AB的关系：点D在直线AB外；故答案为：点D在直线AB外；②∵BD＝BC，BD＝3，∴CD＝2BD＝2×3＝6．故答案为：6．【变式4-1】（2022秋•馆陶县期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）：（1）作射线AB；（2）作直线AC与直线BD相交于点O；（3）在射线AB上作线段AC′，使线段AC′与线段AC相等．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）作射线AB，如图所示；（2）作直线AC与直线BD相交于点O，如图所示；（3）作法：以A为圆心，线段AC′的长为半径，在射线AB上画弧，交射线AB于C′，线段AC′就是所求．【变式4-2】（2022秋•新丰县期末）已知平面上四点A、B、C、D，如图：（1）画直线AD；（2）画射线BC，与AD相交于O；（3）连接AC、BD相交于点F．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：【题型5线段的性质】【典例5】（2022秋•衡山县期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点确定一条直线 B．点动成线 C．直线是向两方无限延伸的 D．两点之间线段最短【答案】D【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间所有连线中，线段最短，故选：D．【变式5-1】（2022秋•吉州区期末）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了桥的长度，也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．经过一点可以作无数条直线 D．连接两点间线段的长度叫做两点间的距离【答案】A【解答】解：曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了桥的长度，也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，故A正确．故选：A．【变式5-2】（2023春•文山市期末）把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释应为（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】B【解答】解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．故选：B．【变式5-3】（2023•新华区模拟）如图，从A地到B地的四条路线中，路程最短的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：从A地到B地的四条路线中，3是一条线段，∴路程最短的是3．故选：C．【题型6两点间距离】【典例6】（2023秋•龙城区校级月考）如果A、B、C在同一直线上，线段AB＝4cm，BC＝8cm，那么A、C两点间的距离是（）A．12cm B．8cm C．4cm D．4cm或12cm【答案】D【解答】解：①点B在A、C之间时，AC＝AB+BC＝4+8＝12（cm）．②点C在BA延长线上时，AC＝BC﹣AC＝8﹣4＝4（cm）．所以A、C两点间的距离是12cm或4cm．故选：D．【变式6-1】（2022秋•新兴县期末）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB＝10，AC＝6，则线段CD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，又∵点D是线段BC的中点，∴CD＝BC＝×4＝2．故选：C．【变式6-2】（2022秋•绥宁县期末）如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：已知AB＝12，C为AB的中点，∴，∵AD：CB＝1：3，∴，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣2＝10．故选：D．【变式6-3】（2022秋•交口县期末）直线上有A，B，C三点，已知AB＝8cm，BC＝2cm，则AC的长是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能确定【答案】C【解答】解：根据题意可得，如图1，，AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）；如图2，，AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）．所以AC的长是10cm或6cm．故答案为：C．【题型7比较线段长短】【典例7】（2023•馆陶县校级模拟）如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能确定【答案】C【解答】解：如图用圆规比较两条线段的大小，A′B′＜A′C′，故选：C．【变式7-1】（2022秋•肥东县期末）如图，若AB＝CD，则AC与BD的大小关系为（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能确定【答案】C【解答】解：根据题意和图示可知AB＝CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC＝BD．故选：C．【变式7-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，AC＞BD，比较线段AB与线段CD的大小（）A．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．无法比较【答案】B【解答】解：∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC＞BD，∴AB＞CD．故选：B．【变式7-3】（2022秋•红桥区期末）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能确定【答案】A【解答】解：根据题意和图示可知AB＝CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC＝BD．故选：A．【题型8线段的简单计算】【典例8】（2022秋•湖北期末）如图，已知，如果CB＝2cm，求线段CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵，∴（3分）∵，∴，（3分）又∵CB＝2cm，∴AD＝12BC＝24cm（3分）∴（1分）【变式8-1】（2022秋•济南期末）如图，，D为AC的中点，DC＝2cm，求AB的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AB长为x，BC＝AB＝，D为AC的中点，DC＝2cm，解得：AC＝4cm，∵AC＝AB+BC，∴4＝x+＝x，解得：x＝，故AB的长为cm．【变式8-2】（2022秋•西岗区校级期末）如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝3cm，那么线段AC的长度是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3cm，∴BC＝6cm，∵BC＝3AB，∴AB＝2cm，AC＝AB+BC＝6+2＝8cm．【变式8-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵M是AC的中点，∴MC＝AM＝AC＝×6＝3cm，又∵CN：NB＝1：2∴CN＝BC＝×15＝5cm，∴MN＝MC+NC＝3cm+5cm＝8cm．【变式8-4】（2022秋•通川区校级期末）已知，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．（1）如果AB＝10cm，那么MN等于多少？（2）如果AC：BC＝3：2，NB＝3.5cm，那么AB等于多少？【答案】（1）5cm；（2）17.5cm．【解答】解：（1）MN＝CM+CN＝＝＝5cm；（2）∵NB＝3.5cm，∴BC＝7cm，∴AB＝＝17.5cm．【题型9“双中点”模型】【典例9】（2022秋•禹城市期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：（1）求AD的长度；（2）求DE的长度；（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）26cm或14cm．【解答】解：（1）由线段中点的性质，AD＝AC＝6（cm）；（2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），由线段中点的性质，得AE＝＝10（cm），由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；（3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），∴AM的长度为26cm或14cm．【变式9-1】（2022秋•铁西区校级期末）如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）2.5（cm）；（2）n．【解答】解：（1）∵AB＝8cm，M是AB的中点，∴AM＝AB＝4cm，∵AC＝3cm，∴CM＝AM﹣AC＝4﹣3＝1（cm）；∵AB＝8cm，AC＝3cm，M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM＝AB＝4cm，AN＝AC＝1.5cm，∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1.5＝2.5（cm）；（2）∵AC＝m，BC＝n，∴AB＝AC+BC＝m+n，∵M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM＝AB＝（m+n），AN＝AC＝m，∴MN＝AM﹣AN＝（m+n）﹣m＝n．【变式9-2】（2022秋•南昌期末）如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．（1）求线段AD的长；（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中点，∴AC＝BC＝4，∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝2，∴AD＝AC+CD＝6；（2）∵BC＝4，CE＝BC，∴CE＝×4＝1，当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝4+1＝5．∴AE的长为3或5．【题型10度分秒换算】【典例10】（2022秋•宁波期末）用度表示30°9′36″为30.16°．【答案】见试题解答内容【解答】解：30°9′36″＝30.16°，故答案为：30.16°【变式10-1】（2022秋•新抚区期末）计算：18°42′+42°58′＝61°40'．【答案】61°40'．【解答】解：18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'．故答案为：61°40'．【变式10-2】（2022秋•盘山县期末）计算：57.32°＝57度19分12秒．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵0.32×60′＝19.2′，0.2×60″＝12″，∴57.32°＝57°19′12″．故答案为：57；19；12．【变式10-3】（2022秋•惠城区期末）把18°21′36″可表示为18.36°．【答案】18.36°．【解答】解：∵，∴，∴18°21'36''＝18°+0.36°＝18.36°．故答案为：18.36°．【变式10-4】（2023春•文登区期末）18.21°＝18°12′36″．【答案】18；12；36．【解答】解：18.21°＝18°+0.21×60′＝18°12.6′＝18°12′+0.6×60″＝18°12′36″．故答案为：18；12；36．【题型11角的概念及表示】【典例11】（2022秋•长寿区期末）下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是A中的图，B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，故选：A．【变式11-1】（2022秋•阜平县期末）下列图形中，能用∠α，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；C、图中∠α、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；D、图中的∠AOB不能用∠α表示，故本选项错误；故选：C．【变式11-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．故选：D．【变式11-3】（2022秋•广平县期末）如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（）A．∠A B．∠1 C．∠C D．∠ABC【答案】C【解答】解：图中的角有∠A、∠1、∠ABC、∠ACB，即表示方法不正确的有∠C，故选：C．【题型12作图-基本作图】【典例12】（2023•绿园区一模）观察下列尺规作图的痕迹：其中，能够说明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【解答】解：如图①中，由作图可知，EB＝EC，∵EA+EC＞AC，∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．如图③中，由作图可知，AT＝AC，∵点T在线段AB上，∴AB＞AT，即AB＞AC．故选：C．【变式12-1】（2023秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【答案】B【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，故选：B．【变式12-2】（2022秋•新华区校级期末）如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（）A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧 B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧 C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧 D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧【答案】D【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D；②以点B为圆心，以OC为半径画，交射线BO于点E；③以点E为圆心，以CD为半径画，交于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF＝∠AOB．故选：D．【变式12-3】（2023•松原模拟）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：若要在BC边上找一点D，使AD＝BD，则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，故选：D．【题型13钟面角】【典例13】（2022秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（）A．105° B．155° C．159° D．157°【答案】C【解答】解：∵10：18时，时针与分针之间11到3间隔度数为30°×4＝120°，3分钟对应角度为，18分钟时针对应角度，∴在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为120°+18°+21°＝159°．故选：C．【变式13-1】（2023春•泰山区期中）下午3：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（）A．67.5° B．70° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵钟面上有12个大格，∴每一格的度数为360°÷12＝30°，∵下午3：30时，时针和分针所夹锐角对应两个半大格，∴下午3：30时，时针和分针所夹锐角的度数是30°×2.5＝75°．故选：C．【变式13-2】（2022秋•永安市期末）下午3时30分，钟面上时针与分针的夹角为（）A．90° B．85° C．75° D．65°【答案】C【解答】解：∵3点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴3点30分，分针与时针的夹角是2.5×30°＝75°．故选：C．【变式13-3】（2022秋•九龙坡区期末）当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（）A．9点钟 B．10点钟 C．4点钟或8点钟 D．2点钟或10点钟【答案】D【解答】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°，∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角时，距分针成60°的角时针应该有两种情况，即距时针2个格，∴只有2点钟或10点钟时符合要求．故选：D．【题型14方位角】【典例14】（2022秋•汉阳区校级期末）如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、是南偏西60°，故此选项不合题意；B、是北偏东60°，故此选项不合题意；C、是北偏西30°，故此选项不合题意；D、是北偏东60°，故此选项合题意．故选：D．【变式14-1】（2022秋•和平区校级期末）如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏西50°、西南方向，则∠AOB的度数是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解答】解：由题意得：∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°，故选：B．【变式14-2】（2023•耿马县三模）如图，在海岛C测得船A在其南偏东70°的方向上，测得灯塔B在其北偏东50°的方向上，则∠ACB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵船A在海岛C的南偏东70°的方向上，灯塔B在海岛C北偏东50°的方向上，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故选：B．【变式14-3】（2022秋•西丰县期末）如图，甲、乙两人同时从A地出发，沿图示方向分别步行前进到B、C两地，现测得∠BAC为100°，B地位于A地的北偏东50°方向，则C地位于A地的（）A．北偏西50°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏东50°方向 D．南偏东30°方向【答案】D【解答】解：如图所示：由题意可得：∠BAD＝50°，∠BAC＝100°，则∠CAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故乙位于A地的南偏东30°．故选：D．【题型15角平分线】【典例15】（2023春•东阿县期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（）A．15° B．20° C．22.5° D．25°【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+50°＝140°．∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOC＝×140°＝70°．∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝70°﹣50°＝20°．故选：B．【变式15-1】（2022秋•防城港期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠BOC＝34°，则∠AOD等于（）A．34° B．68° C．144° D．112°【答案】D【解答】解：∵射线OC平分∠DOB，∴∠BOD＝2∠BOC＝2×34°＝68°．∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣68°＝112°．故选：D．【变式15-2】（2023春•淇滨区月考）如图所示，直线AB、CD，交于点O，射线OM平分∠AOC．若∠AOM＝36°，则∠BOC等于（）A．36° B．72° C．108° D．54°【答案】C【解答】解：∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOM＝2×36°＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°．故选：C．【变式15-2】（2023•郸城县一模）如图，点O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，若∠BOE＝28°，则∠AOD的度数为（）A．58° B．60° C．62° D．70°【答案】C【解答】解：∵点O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∴∠COD＝，，∵∠EOD＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝28°，∴∠COE＝28°，∵∠EOD＝90°，∴∠EOB+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝62°．故选：C．【题型16角的运算】【典例16】（2022秋•洪山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度数．【答案】（1）40°；（2）20°或100°．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，当OD在∠AOB内时，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，当OD在∠AOB外时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度数为20°或100°．【变式16-1】（2022秋•市北区校级期末）已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分线，∴∠AOE＝，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分线，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．【变式16-2】（2023春•绥化期末）如图，已知在同一平面内∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．（1）填空：∠BOC＝150°；（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数；（3）如果在（2）的条件下将∠AOC＝60°改为∠AOC＝2α（α＜45°），其他条件不变，求∠DOE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，故答案为：150°；（2）由（1）知∠BOC＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝75°，∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠COE＝AOC＝30°，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，∵OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，∴∠COE＝AOC＝α，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．【变式16-3】（2022秋•嘉峪关校级期末）如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A、O、E在同一直线上，∴∠AOE＝180°，∵∠EOD＝28°，OD平分∠COE，∴∠COE＝2∠DOE＝56°，∵∠COB+∠AOB+∠COE＝180°，而∠AOB＝40°，∴∠COB＝180°﹣∠EOC﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣56°＝84°．【题型17角的大小比较】【典例17】（2022秋•临海市期末）若∠α＝10.5°，∠β＝10°10'，则∠α＞∠β．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：∵∠α＝10.5°＝10°30'，∠β＝10°10'，10°30'＞10°10'，∴∠α＞∠β，故答案为：＞．【变式17-1】（2023春•渭滨区期中）如图，∠AOB和∠COD都是直角，则∠1＝∠2（填＞，＝，＜）．【答案】＝．【解答】解：∵∠AOB和∠COD都是直角，∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∴∠1＝∠2，故答案为：＝．【变式17-2】（2023春•莱西市期中）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠AOB与∠COD的大小关系是∠AOB＞∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：如图：连接OE，由题意得：∠COE＝∠AOB，∵∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案为：＞．【变式17-3