高等数学知识在生物化学工程中的应用举例

例 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）gz

vdpWeh

该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）p2vdp项应视过程性质（等温、绝热或多变过程按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v或者密度ρ为常数，故p2vdp1p2dp

p1

p

ρ gz

ρWehu u

11

22

u 需要注明的是 为动能，gz为位能 为静态能，W为有效能

例 混合气体粘度的计 μ

​ yiM（Pa.s为混合气体的温度下，纯组分i的粘度（Pa.s）Mi为组分i的分子量（Kg/kmol例如：空气组分约为O20.21,N20.78,Ar0.01（均为体积积分率O2,N2,Ar的粘度数量，计算常温下20CO2,N2,Ar32，2839.9，经查表知道常温下20C

2.03105Pas 1.7105Pas 2.09105Pas代入（3） μ yiM 0.212.031053220.781.71052820.012.09105 0.213220.782820.011.78105Pa例3.分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A，其浓度为aA的消耗速度与细胞浓度成正比：daKX

​

XmA式和（4）aKa(

X0

XmX

KadXKX[1-f(有害物质浓度dtKX(1bCt

k,bCt dCtt=0时，Ct q为常数，由（6）式可得

0qXdt，代入（5）dtKX(1b0

μ

dX

K(1bq0随着时间急剧下降，当1tXdt 例 细胞团内的氧传R，密度为ρr，厚度为dr

r

D(r2dC

r

r2dC|当dr0

r2Qρ Dd(r2dC)r2Q d 2D(dr2rdr)Qo2

(Qo2)m 式中(Qo)mKm为米氏常数，代入（7）d

2

(Qo)m

) ρ

dr

r

Km边界条件 r=R时，CR=0dCy

C,XrβKm代入（8）

d2y2dy 其中a

dx x6CL6CL(Q

边界条件则改 x=1时x=0dy1设细胞团的表现比耗氧速率为Q4R3Q

dr

x2

o2

(Qo2

30βydx（9）

d(x

2dy)

βy

3(x2dy

3dy(Qo2)m

a

若取细胞团表面的比耗氧速率Q'

)m

m

(Qo2)m胞元的耗氧有效因子为ηQ3(β1dy

Q

dx例5基础。若设rmCmrire分别为胞内、外液单位长介质电阻。令胞内、外电位分别为Vi,Ve，于是膜两侧电位差VmViVe

m

rC ri

mm

ri

,

rmλ2 mV

m若细胞膜处于电绝缘状态，单位长度膜面积上的电流im0，即 m

Vm

dVm

Vet/τm，其中

t=0时的

电位差的自然衰减性质。对非均匀性质莫而言，Vm的被动衰减较为复杂，τm仅d当输入为直流稳态电压时，上式简化为λ2 dx

。如果在x=0处维持VmV0，其余地方均不加任何电压，即xVm为有限值，则方程的解为 VVex/λ。λ描述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减。对于xx的双无限长电缆，x=0处维持VmV0 例6I与O2F rKq

F01Kτ[Q]1

q F0F分别为没有和有猝死时的荧光，[Q]Kq子猝死常数，τ0KdStern-Volmer猝灭D为荧光团与猝灭剂扩散系数之和，a为分子半径之和，A为亚氏常数，测τr

τ(rK

F0FF0FF0F对[Q]KdKqτ0，从而可得到猝灭常数的数值。Stern-Volmer的线性关系只适X剂浓度的关系可从络合物形成时的络合常数（Kq）推导出来。静态猝灭的方程KsKqτ0，则有F01K

sS-VY轴弯曲的/f11K[Q

Ff

rKqF1K

sStern-Volmer方程是[Q]F1(K

K

)[Q]

K[Q]2 (KK)[Q]K F1

Kapp对[Q]KdKsKdKs

1

[Q例 在三维重建中的应f(x)f(x)1a[af(x)eiωxdx]eiωx若

2πaf(x)eiωx

空域（时域F(ωf(x)可通过积分相互表达，称为傅里叶变换对。若扩展到三维，f(x,y,z)。电镜的二维图像相当于s(x,y)通过傅氏变换得到S(ωx,ωy中央界面定理(centralslices(x,y)f(x,y,

当

(ωx,ωy,ωz

zS(ωx,ωy

各个方向投影的一系列siF。再利用傅里叶变换的反变换，就可ff(x,y,z)

xyHenderson6R0.7nm分辨率的三维重购时就从00570倾角范18张样品照片，15张电子衍射图。通常获得一个分辨率为δ的结构N由下式给