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文档简介

对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为1.求幂级数

2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=13.的收敛半径.解:时级数收敛时级数发散故收敛半径为4.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即解:

由题2可知级数的收敛半径R＝+∞.5.则故有故得的和函数.因此得设6.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,7.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,因此由和函数的连续性得:而及8.解:

设则而故9.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.

因为当时级数收敛,时级数发散,说明:

可以证明比值判别法成立根值判别法成立10.

求极限其中解:

令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则11.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得对应的二项展开式分别为12.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得13.

将展成解:

的幂级数.14.

将展成x－1的幂级数.解:

15.将下列函数展开成x

的幂级数解:x＝

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