甘肃省武威市民勤一中2025届高二数学第一学期期末联考试题含解析

甘肃省武威市民勤一中2025届高二数学第一学期期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（）A.108 B.36C.50 D.862．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝13．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.5．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（）A. B.C. D.6．中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人7．已知，记M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则（）A. B.C. D.8．已知是等比数列，则（）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.数列是等差数列 D.数列是等比数列9．已知等差数列的前n项和为Sn，首项a1=1，若，则公差d的取值范围为（）A. B.C. D.10．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点）.则图中原子连线BF与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．已知集合，则（）A. B.C. D.12．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等比数列的前项和为，则的值为_____14．已知，在直线上存在点P，使，则m的最大值是_______.15．已知空间向量，且，则___________.16．已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值18．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）已知椭圆的焦点在x轴上且一个顶点为，离心率为；（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程；（3）抛物线，过其焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2.19．（12分）已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）若过点直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）20．（12分）已知命题p：直线与双曲线的右支有两个不同的交点，命题q：直线与直线平行.（1）若，判断命题“”的真假；（2）若命题“”为真命题，求实数k的取值范围.21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.22．（10分）已知关于的不等式（1）若不等式的解集为，求的值（2）若不等式的解集为，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】运用分类计数原理，结合组合数定义进行求解即可.【详解】当3楼不要烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要1个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：；当3楼需要2个烤火炉时，不同的分发烤火炉的方法为：，所以分发烤火炉的方法总数为：，故选：C【点睛】关键点睛：运用分类计数原理是解题的关键.2、D【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.3、B【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B4、D【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.【详解】由，所以直线的斜率为，由，所以直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，故选：D5、A【解析】推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.【详解】因为函数的图象关于轴对称，则，故，，又因为，都有，所以，，所以，，，，因为当时，，，当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，因为，则，故.故选：A.6、C【解析】根据频率计算出正确答案.【详解】一句也说不出的学生频率为，所以估计名学生中，一句也说不出的有人.故选：C7、C【解析】分别求出点M在x轴，y轴，z轴上的投影点的坐标，再借助空间两点间距离公式计算作答.【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在y轴上的投影点，则，而y轴的方向向量，由得：，解得，则，设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量，由得：，解得，则，所以.故选：C8、B【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.【详解】若，则、无意义，A错C错；设等比数列的公比为，则，（常数），故数列是等比数列，B对；取，则，数列为等比数列，因为，，，且，所以，数列不是等比数列，D错.故选：B.9、A【解析】该等差数列有最大值，可分析得，据此可求解.【详解】，故，故有故d取值范围为.故选：A10、C【解析】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，求出的值，即可得到答案；【详解】如图所示，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，设立方体的棱长为，则，，，，连线与所成角的余弦值为故选：C.11、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交运算求即可.【详解】由题设，，∴.故选：C.12、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.故填：.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.14、11【解析】设P点坐标，根据条件知，由向量的坐标运算可得P点位于圆上，再根据P存在于直线上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得m范围，可得m的最大值.【详解】设P（x,y）,则，由题意可知,所以，即，即满足条件的点P在圆上，又根据题意P点存在于直线上，则直线与圆有交点，故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，则m的最大值为11，故答案为：11.15、【解析】根据空间向量共线的坐标表示可得出关于的等式，求出的值即可.【详解】由已知可得，解得.故答案为：.16、2n+1【解析】由计算，再计算可得结论【详解】由题意时，，又适合上式，所以故答案为：【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明，则，可证明，由平面，可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）连结，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中由余弦定理计算的值即可求解.【小问1详解】在正方形中，，分别为棱，的中点，则，，，所以，则，所以，即，又因为平面，面，所以，因为，所以平面【小问2详解】连结，，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，令，则，，，在中，由余弦定理可得：，故异面直线与所成角的余弦值为.18、（1）（2）（3）【解析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意，进而结合求解即可得答案；（2）设双曲线的方程为，进而结合题意得，，再结合解方程即可得答案；、（3）根据题意设直线的方程为，进而与抛物线联立方程并消去得，再结合韦达定理得，进而得答案.【小问1详解】解：根据题意，设椭圆的标准方程为，因为顶点为，离心率为，所以，所以，所以椭圆的方程为【小问2详解】解：因为双曲线的一个焦点为，设双曲线的方程为，因为渐近线方程为，所以，因为所以，所以双曲线的标准方程为【小问3详解】解：由题知抛物线的焦点为，因为过抛物线焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，所以直线的方程为，所以联立方程，消去得，设，所以，因为线段AB的中点的纵坐标为2，所以，解得.所以抛物线的标准方程为.19、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义可得轨迹方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系结合均值不等式可得最小值【小问1详解】如图所示，由已知得点为线段中垂线上一点，即，即动点到点的距离与点到直线的距离相等，所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，所以点的轨迹方程为，【小问2详解】如图所示：设，点，，联立直线与抛物线方程，得，，，，，，所以，当且仅当，即，时取等号，此时，即，所以当直线直线，时取得最小值为.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式20、（1）命题“”为真命题（2）【解析】（1）先判断命题p，命题q的真假，再利用复合命题的真假判断；（2）根据命题“”真命题，由p为真命题，q为假命题求解.【小问1详解】解：对于命题p，易知直线与双曲线的左、右支各有一个交点，∴命题p为假命题；对于命题q，时，有与，显然两条直线垂直，∴命题q为假命题.∴命题“”为真命题.【小问2详解】∵命题“”为真命题，∴p为真命题，q为假命题.对于命题p，由得，直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即此方程有两个不同的正根，∴得.对于命题q，要使命题q为真，则，解得，∴命题q为假命题，即.∴实数k的取值范围为.21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC，从而有AB⊥VC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，∴MN∥AB，∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，∴AB∥平面CMN【小问2详解】证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，