数学教材习题点拨：向量的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习A1．略．2．因为M为BC边的中点，所以eq\o（AM,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)（eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AC,\s\up6(→))），eq\o（BC，\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6（→））－eq\o(AB,\s\up6（→)).在等腰△ABC中，AB＝AC，所以eq\o(AM，\s\up6(→））·eq\o（BC,\s\up6（→）)＝0。所以AM⊥BC。3．（1)2x－y－11＝0;63°26′.(2)4x＋3y－9＝0；126°52′。(3）3x＋2y＋4＝0;123°42′.(4）x＋2＝0；90°。4．(1）9x＋7y＋13＝0；127°52′。(2）5x＋3y－15＝0；120°58′。练习B1．设△ABC各顶点的坐标分别为A（x1，y1），B(x2，y2)，C（x3，y3），分三条中线AD,BE，CF为2∶1的点分别为G1,G2，G3，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋x3，2),\f(y2＋y3，2)))。因为eq\o（AG，\s\up6（→)）＝2eq\o(G1D，\s\up6(→））,所以G1点的坐标(x，y)满足x＝eq\f（x1＋x2＋x3,3），y＝eq\f(y1＋y2＋y3,3)。同理可得，G2,G3点的坐标都是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x1＋x2＋x3,3），\f（y1＋y2＋y3,3））），即G1，G2，G3重合为一点G。所以三角形的三条中线相交于一点，且交点分每条中线为2∶1两段．2．设Q（x，y)是所求直线上的任一点，则eq\o(PQ，\s\up6(→））＝(x－1,y＋1)．因为n·eq\o(PQ，\s\up6(→）)＝0,所以4（x－1）－3(y＋1）＝0.所以4x－3y－7＝0为所求的直线方程．3．（1)4x＋3y＋1＝0；（2)x＋4y－17＝0；(3)3x－4y－1＝0；(4）y－3＝0.图形略．练习A1．略．2．F3＝－（F1＋F2）＝(1，－6）,则力F3的大小为eq\r(37).3．略．4．|F1＋F2|＝5，方向与y轴正向重合．练习B1．5eq\r(3)N。2．沿北偏西8°，以3.58m/s行驶．3．沿北偏西32。6°,以26.27km/h行驶．习题2－4A1．2∶3.(提示：结合图形易得）2．a＝（－4，3)与l1平行，b＝(1，5)与l2平行，cos〈a,b〉＝eq\f(11\r(26),130）。3．因为eq\o(AB,\s\up6(→)）＝（2，1),所以eq\o（BC,\s\up6（→））＝（1，－2）或（－1，2）．当eq\o(BC，\s\up6(→）)＝(1，－2)时，eq\o（OC,\s\up6（→））＝eq\o(OB,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＝(1，0),eq\o(OD,\s\up6(→）)＝eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，－1)．当eq\o（BC，\s\up6(→））＝（－1,2）时,同理可得eq\o(OC,\s\up6（→））＝(－1，4)，eq\o(OD,\s\up6（→)）＝(－3,3）．所以，C，D的坐标为C（1，0),D(－1，－1)或C(－1,4)，D（－3,3)．4．略习题2－4B1．eq\o(LD,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→))－eq\o(AL，\s\up6（→))＝eq\o(AD，\s\up6(→))－eq\f（3,4)eq\o（AC，\s\up6(→））＝eq\f（1,4)(eq\o(AD,\s\up6（→））－3eq\o(AB，\s\up6（→))），eq\o(ML，\s\up6（→))＝eq\o(AL,\s\up6（→)）－eq\o(AM，\s\up6(→)）＝eq\f（1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→)）＋3eq\o(AD，\s\up6（→)））．在正方形ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD,所以eq\o(LD，\s\up6(→））·eq\o（ML，\s\up6(→）)＝0，所以LD⊥ML,∠MLD为直角．2．设D点的坐标为(x，y），eq\o(OB,\s\up6（→）)＝(4，3），eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－5，y)，因为eq\o(OD,\s\up6（→)）＝λeq\o（OB，\s\up6（→）)，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4λ，,y＝3λ.)）因为eq\o(AD,\s\up6(→)）⊥eq\o(OB,\s\up6(→)），所以4x＋3y－20＝0.所以点D的坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，\f(12，5）)).3．设点D的坐标为(x,y），则eq\o（BC，\s\up6（→))＝（10，5），eq\o（AD,\s\up6(→）)＝(x＋2,y－11)．因为eq\o（BD,\s\up6（→)）＝λeq\o（BC,\s\up6(→））,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝10λ－4，，y＝5λ－5。)）因为eq\o(AD，\s\up6(→)）⊥eq\o（BC,\s\up6（→））,所以2x＋y＝7。所以x＝4，y＝－1。所以点D的坐标为（4，－1）,高为6eq\r（5)。4．因为M是BC的中点，则eq\o（AM,\s\up6(→))＝eq\f(1，2)(eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AC，\s\up6(→))），eq\o（BM，\s\up6(→））＝eq\f(1,2）（eq\o(AC,\s\up6（→））－eq\o（AB，\s\up6(→）)）,则4|eq\o（AM,\s\up6(→)）|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→)）|2＋2eq\o（AB，\s\up6（→))·eq\o（AC，\s\up6（→))＋|eq\o(AC，\s\up6（→））｜2，4|eq\o(BM,\s\up6(→)）｜2＝｜eq\o（AC,\s\up6(→））|2－2eq\o（AC,\s\up6(→)）·eq\o(AB，\s\up6（→）)＋|eq