量子力学习题选讲

PAGEPAGE8一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势（）上的反射率R与折射率T：解：（1）：令定态方程为其解为由边界条件，可得反射率透射率（2），定态方程为其解为由边界条件，可得反射率，透射率二、质量为的粒子被约束在半径为r的圆周上运动。（1）设立路障，进一步限制粒子在的一段圆弧上运动求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。解1、在路障内，定态Schroedinger方程为（1）其中，方程（1）的解为（2）其中，由得，代入（2）得由得，由归一化条件2、设t=0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为任意时刻的波函数为其中系数粒子仍处于基态的几率为。三、厄米算符求1、在A表象中算符的矩阵表示。2、在A表象中算符的本征值和本征态矢。1.2．四、考虑有两个全同粒子组成的体系，设可能的单粒子态为，求体系可能的态。1、粒子为玻色子；2、粒子为费米子；3、粒子为经典粒子。1.,,2.,,3.共9种.五、有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场作用，磁场指向x轴正方向，相互作用势。设t=0时电子自旋方向向上，即，求t〉0时自旋的平均值。解：的本征态矢与本征值为任意t时刻的态矢为+，+=六、、求在的相应于本征值为的本征态中，的可能取值及相应的几率。解在表象中，的矩阵表示为（1）其相应于本征值为的本征态为（2）而算符的矩阵表示为（3）求解其本征值方程，得的本征值及归一化的本征函数分别为（4）（5）再将（2）式按的正交归一本征矢量完备组展开（6）得（7）（8）知在的相应于本征值的本征态之中，取的几率为，取的几率为。六、质量为的粒子在势场中运动，求的定态能量和定态波函数。解：令的S态波函数为，显然及时，时，，由边界条件可得：，（2分）由归一化条件可得故一、在表象中，的矩阵为其中为是实数，且比小的多，试用微扰论求能量至二级近似，波函数至一级近似。解:,10、假设一电子状态由波函数描述，其中。且分别为方位角和极角。求：（1）处在该态电子的轨道角动量z分量的可能测量值是什么？（2）得到（1）中每个可能的结果的概论是多少？（3）的平均值是多少？（解：（１）由于得到，所以由此可知取：。（２）概论分别为：２／３，１／３。（３）平均值为。11、设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值角动量平方有确定值为角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为，其平均值为12、在t=0时氢原子的波函数为其中指标是量子数n、l、m的值。忽略自旋和辐射跃迁。求该体系的能量期望值（只写出表达式即可）。在t时刻体系处于l=1，m=1态的几率。角动量z分量的平均值是多少？波函数怎样随时间变化？即求。12、3、4、其中三、计算题（共12分）13、在时间t=0时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态；，式中是振子的第n个本征函数。（1）试求的数值；（2）写出在t时刻的波函数；（3）在t=0时振子能量的平均值是多少？t=1秒时呢？解：（1），得（2）（3）在t=0时振子能量的平均值是t=1秒时，振子能量的平均值也是。14、求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：在动量表象中，线性谐振子哈密顿量的矩阵元为=15、一电子置于沿z方向的均匀磁场B中，在初始时刻t=0，电子的自旋是朝y轴正向极化。求在时，的测值为和的几率。求在时，的平均值。解电子的自旋磁矩，自旋磁矩与外磁场的相互作用