重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期第二阶段性学业质量联合调研抽测（5月）数学试题

20232024学年（下）第二阶段性学业质量联合调研抽测高一数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，，若是的真子集，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合是集合的真子集，求得实数的取值范围.【详解】由于，，且是的真子集，所以.故选A.【点睛】本小题主要考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.2.已知不等式的解集是，则实数a等于（）A. B. C.5 D.10【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式解集可得，即可求实数a.【详解】由题设，有，可得.故选：A.3.把函数的图象向左平移个单位就得到了一个奇函数的图象,则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用三角恒等变换得到，求出平移后的函数解析式，利用奇函数性质列出方程，求出，确定的最小值.【详解】利用三角恒等变换得到，将函数的图象向左平移个单位得到的函数为∵将函数的图象向左平移个单位得到了一个奇函数的图象∴，即∵∴当时，取得最小值为故选：C4.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】解：因为，，，所以，故选：C．5.已知，，则（）A. B. C.1 D.2或6【答案】A【解析】【分析】根据两角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案.【详解】因为，所以，解得，又，所以.故选:A.6.函数的零点个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】令，得出，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，数形结合可得出结果.【详解】令，得出，则函数的零点个数为直线与函数的图象的交点个数，在同一直角坐标系作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数的图象有且只有一个交点.因此，函数的零点个数为.故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7.已知定义在上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②.则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件①可知函数在上单调递减，再根据偶函数性质即可得出函数的单调性，结合条件②并对进行分类讨论即可解出不等式.【详解】由对任意的，且，都有成立可得，函数在上单调递减，又是定义在上的偶函数，根据偶函数性质可知，在上单调递增，且；由不等式可知，当时，，根据在上单调递减可得；当时，，根据在上单调递增可得；综上可知，不等式解集为.故选：A8.已知函数，，，下列四个结论：①②③④直线是图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（）A.①② B.①③ C.②④ D.③④【答案】B【解析】【分析】由已知条件知关于轴对称，关于中心对称，可得求、，写出解析式并判断各项的正误即可.【详解】由题设，知：关于轴对称，关于中心对称，∴，，即，，∴，又，即，当时，有，此时，则，∴，而，故不是图象的一条对称轴.故选：B.点睛】结论点睛：（1）有关于中心对称.（2）有关于轴对称.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.若a、b、，，，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，【详解】对于A，，则，故A正确，对于B，若，则，故B错误，对于C，若，则，故C错误，对于D，由，，故，故D正确，故选：AD10.集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的定义逐一判断即可.【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数，选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数，选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数.故选：AC.11.已知函数的图象关于直线对称，且对，有.当时，.则下列说法正确的是（）A.B.的最大值为C.D.为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据关于直线对称得到关于直线对称，即，结合，推导出，A正确；B选项，由得到B错误；C选项，由函数周期求出，先计算出，再结合求出答案；D选项，由A选项可推出函数为偶函数.【详解】A选项，函数的图象关于直线对称，故关于直线对称，故，即，又，所以，则，两式相减得，，即，故A正确；B选项，时，，故，故的最大值不是，故B错误；C选项，由A选项可知，，又，故，因为时，，所以，故，故C正确；D选项，由A选项可知，，则，又的定义域为，即为偶函数，故D正确..故选：ACD.【点睛】结论点睛：函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如果函数图象如图所示，那么此函数的减区间为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象可得出函数的单调减区间.【详解】解：由函数的图象得此函数的减区间为：，故答案为：.13.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（7，5），OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，则点Q的坐标为_______．【答案】【解析】【分析】求出的表达式，设出点Q的坐标，根据OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，结合两角和的正弦、余弦公式可以求出点Q的坐标.【详解】，其中，设点Q的坐标为，，由意可知：，，故点Q的坐标为.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了数学运算能力.14.若正数，满足，，则=________【答案】【解析】【分析】对两式取对数，根据变化后两式的共同特点构造新函数，再利用函数的单调性和对数的运算法则进行求解.【详解】因为，所以，即①因为，所以，则，即②观察①②两式，构造函数，因为在上单调递增，所以③由①、③，得：，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）若，求在上的最小值，并判断方程的实数根个数．【答案】（1）答案见解析（2），有1个实数根【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，分和两种情况，利用导数考察单调性即可；（2）分类讨论的范围，根据函数单调性求得的解析式，构造函数，分段考察函数零点的个数即可求解.【小问1详解】若，则．当时，，则，所以当时，，单调递减，当和时，，单调递增．当时，，则，所以在上单调递减．综上，在和上单调递减，在和上单调递增．【小问2详解】由得，若，则当时，．若，则当时，，，所以在上单调递增，所以当时，．若，则当时，，，当时，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，当时，，，当时，，，当时，，，在上单调递增，所以．综上，．令函数，，则方程的实根个数就是函数的零点个数，当时，单调递增，又，，所以在上有1个零点．当时，没有零点．当时，，，在上单调递增，又，所以在上没有零点．当时，，，在上单调递增，又，所以在上没有零点．综上，方程只有1个实数根．【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．16.已知实数，满足.（1）求证：；（2）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明；（2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.【小问1详解】由得，当且仅当时等号成立，所以；【小问2详解】由已知，则，则，当且仅当，即一个为，一个为时等号成立.所以的最小值.17.医生将一瓶含量的A药在内匀速注射到患者的血液中称为A药的一次注射．在注射期间，患者血液中A药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的A药注入量达到，此后，注入血液中的A药以每小时的速度减少．（1）求k的值；（2）患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持多少h？（精确到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的A药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的A药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中A药的含量不低于的时间是否可以维持？（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）；（3）可以.【解析】【分析】（1）把，代入计算即得.（2）根据给定条件，列出不等式，再利用对数函数单调性解不等式即得.（3）求出A药含量为时时间关系，再列出第二次注射完成后患者血液中A药的含量随注射时间变化的函数关系，列出不等式求解即得.【小问1详解】依题意，，解得，所以k的值为.【小问2详解】血液中的A药含量达到后，经过x小时患者血液中A药含量为．由，得，两边取对数得：，解得，所以患者完成A药的首次注射后，血液中A药含量不低于的时间可以维持.【小问3详解】设第一次注射开始后经过患者血液中A药的含量为，即，记第二次注射完成后患者血液中A药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，则，由，得，即，两边取对数得：，解得，又，所以经过两次注射后，患者血液中A药的含量不低于的时间可以维持．18.已知函数.（1）求不等式的解集；（2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；（2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围.【小问1详解】因为，所以，解得：，所以，所以不等式的解集为.【小问2详解】由题意可得，因为，所以，所以.又因为对任意的，都有成立，所以，，因为，所以，设，可设，则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，在上单调递增，所以，所以，解得，所以当时，在上单调递减，所以，所以，解得，故；当时，，故，解得，所以，综上所述：实数的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，若总有成立，故.19.若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．（1）若，，写出Y，并求；（2）若，，求所有的总和；（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【小问1详解】由题意知，，所以．【小问2详解】对1，，5是否属于B进行讨论：①含1的B的个数为，此时在映射f下，；不含1的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B的个数为，此时在映射f下，；不含5的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；②含的B的个数为，此时在映射f下，，；不含的B的个数为，此时在映射f下，，