人工智能算法应用教程

人工智能算法应用教程TOC\o"1-2"\h\u7749第1章人工智能基础概念 4158171.1人工智能的定义与分类 4282621.1.1基于功能分类 4202871.1.2基于技术分类 4133291.2人工智能发展简史 544061.2.1创立阶段（1950s1960s） 5127781.2.2发展阶段（1970s1980s） 5221681.2.3深度学习阶段（1990s至今） 516971.3人工智能的应用领域 5176611.3.1医疗健康 5257101.3.2交通运输 5257871.3.3金融领域 5157201.3.4教育 516211.3.5智能家居 5214111.3.6工业制造 6206481.3.7娱乐与游戏 621309第2章数据预处理 695442.1数据清洗 635122.1.1缺失值处理 6135392.1.2异常值检测与处理 6269732.1.3重复数据删除 6111792.1.4数据一致性检查 6277712.2数据集成 6240802.2.1数据集成策略 6193802.2.2数据集成方法 6246592.2.3数据集成质量评估 6234902.3数据转换 719842.3.1数据类型转换 726482.3.2数据离散化 726942.3.3数据聚合 7243292.4数据归一化与标准化 7234352.4.1最小最大标准化 7195432.4.2Z分数标准化 724802.4.3对数变换 767482.4.4幂变换 726207第3章监督学习算法 7163063.1线性回归 754633.1.1线性回归的基本概念 7252083.1.2线性回归的数学表达式 8307433.1.3线性回归的损失函数 8191133.1.4线性回归的优化方法 8146733.2逻辑回归 861893.2.1逻辑回归的基本概念 885273.2.2逻辑回归的数学表达式 8251453.2.3逻辑回归的损失函数 8251413.2.4逻辑回归的优化方法 8212543.3决策树 8172713.3.1决策树的基本概念 8107243.3.2决策树的构建 935993.3.3决策树的剪枝 979803.4随机森林 9264073.4.1随机森林的基本概念 9165603.4.2随机森林的构建 9300403.4.3随机森林的优势 921128第4章无监督学习算法 9196344.1Kmeans聚类 9244344.2层次聚类 10164214.3密度聚类 10156564.4主成分分析 1027390第5章支持向量机 11113405.1线性支持向量机 1170705.1.1线性可分支持向量机 11145645.1.2线性不可分支持向量机 11206275.2非线性支持向量机 11264855.2.1核技巧 11173305.2.2非线性支持向量机的构建 11236175.3支持向量回归 1168975.3.1SVR的基本原理 11218165.3.2SVR的算法实现 11217695.4核函数介绍 11216535.4.1线性核 12307595.4.2多项式核 1223685.4.3径向基（RBF）核 12315465.4.4sigmoid核 12111165.4.5其他核函数 1226273第6章神经网络与深度学习 12304826.1神经网络基础 12315316.1.1神经元模型 12100506.1.2激活函数 12276116.1.3神经网络结构 12312706.1.4学习算法 12222596.2深度前馈网络 1355556.2.1多层感知机（MLP） 13218686.2.2深度学习 13286806.2.3损失函数 13270806.2.4正则化 13232906.3卷积神经网络 13313636.3.1卷积层 13223356.3.2池化层 1343396.3.3经典卷积神经网络结构 13118546.3.4迁移学习 1321246.4递归神经网络 13286286.4.1循环神经网络（RNN） 13301166.4.2长短时记忆网络（LSTM） 1461856.4.3门控循环单元（GRU） 1464396.4.4双向循环神经网络（BiRNN） 143895第7章集成学习算法 14271007.1集成学习概述 14275527.2Bagging算法 1463167.3Boosting算法 1410757.4Stacking算法 153210第8章聚类算法进阶 15271208.1高斯混合模型 15104768.1.1高斯混合模型概述 15304968.1.2高斯分布 15309658.1.3EM算法 15174978.1.4高斯混合模型在聚类中的应用 15278988.2密度峰值聚类 1567478.2.1密度峰值聚类算法概述 1513698.2.2密度计算与距离度量 15287198.2.3密度峰值识别与聚类 15237238.2.4密度峰值聚类的应用实例 15161158.3谱聚类 16217178.3.1谱聚类算法概述 163028.3.2图论基础 1614338.3.3谱聚类算法流程 1686138.3.4谱聚类的应用实例 16165168.4聚类评估指标 16322708.4.1内部评估指标 16239188.4.2外部评估指标 1610358.4.3聚类评估指标的选用与比较 1623531第9章降维与度量学习 16254319.1降维方法概述 1623999.1.1降维的动机与意义 16261289.1.2降维方法的分类 1662919.2tSNE算法 17185519.2.1tSNE的基本原理 17161189.2.2tSNE算法的实现步骤 17296079.3MDS算法 17197029.3.1MDS的基本原理 17233139.3.2MDS算法的实现步骤 1787259.4度量学习基础 17314219.4.1度量学习的动机 1888649.4.2常见度量学习方法 189369第10章模型评估与优化 181746410.1评估指标概述 183210710.1.1分类问题评估指标 181217410.1.2回归问题评估指标 181999810.1.3聚类问题评估指标 181049010.2交叉验证 181342510.2.1K折交叉验证 181609010.2.2留一交叉验证 192211810.3超参数调优 192965910.3.1网格搜索 19560010.3.2随机搜索 19322610.3.3贝叶斯优化 192822410.4模型过拟合与欠拟合处理策略 19902410.4.1模型过拟合处理策略 191333410.4.2模型欠拟合处理策略 19第1章人工智能基础概念1.1人工智能的定义与分类人工智能（ArtificialIntelligence，）作为计算机科学的一个重要分支，主要研究如何使计算机具有人类的智能行为。简单来说，人工智能就是让计算机模拟人类的学习、推理、感知、解决问题的能力。人工智能可以从不同的角度进行分类，以下是两种常见的分类方式：1.1.1基于功能分类弱人工智能（Weak）：指针对特定任务或领域的人工智能系统，如语音识别、图像识别等。强人工智能（Strong）：指具有广泛的认知能力，能够像人类一样思考、学习和感知的智能系统。1.1.2基于技术分类机器学习（MachineLearning）：通过数据驱动，使计算机具备自我学习和推理能力。自然语言处理（NaturalLanguageProcessing，NLP）：研究计算机理解和人类自然语言的技术。计算机视觉（ComputerVision）：让计算机具备处理和解析图像、视频等视觉信息的能力。专家系统（ExpertSystem）：模拟人类专家在特定领域的推理和决策过程。1.2人工智能发展简史人工智能的发展可以分为以下几个阶段：1.2.1创立阶段（1950s1960s）在这个阶段，人工智能的概念被首次提出，包括图灵测试、逻辑推理等基础理论。1.2.2发展阶段（1970s1980s）在这个阶段，专家系统、机器学习等技术得到迅速发展，人工智能开始应用于实际场景。1.2.3深度学习阶段（1990s至今）计算机硬件的进步和大数据的出现，深度学习技术取得了突破性进展，极大地推动了人工智能的发展。1.3人工智能的应用领域人工智能技术在多个领域取得了显著成果，以下列举了一些典型的应用领域：1.3.1医疗健康人工智能在医疗健康领域有广泛的应用，如辅助诊断、个性化治疗、医疗影像分析等。1.3.2交通运输自动驾驶、智能交通管理、无人机配送等都是人工智能在交通运输领域的应用。1.3.3金融领域人工智能在金融领域有风险控制、智能投顾、反欺诈等方面的应用。1.3.4教育个性化推荐、在线教育、自动评分等是人工智能在教育领域的应用。1.3.5智能家居智能家居系统通过人工智能技术，实现家庭设备的自动化、智能化控制。1.3.6工业制造人工智能在工业制造领域有智能工厂、智能、预测性维护等方面的应用。1.3.7娱乐与游戏人工智能在游戏、音乐、电影等娱乐产业也有广泛的应用，如智能推荐、游戏等。第2章数据预处理2.1数据清洗数据清洗是数据预处理阶段的首要步骤，其主要目的是去除原始数据集中的噪声和无关信息，保证后续分析过程的准确性和有效性。数据清洗主要包括以下几个方面：2.1.1缺失值处理处理数据集中的缺失值，可以采用删除、填充或插值等方法。2.1.2异常值检测与处理通过统计分析或机器学习算法检测数据集中的异常值，并对其进行处理。2.1.3重复数据删除在数据集中查找并删除重复的记录，提高数据质量。2.1.4数据一致性检查检查数据集中是否存在数据不一致的情况，如单位、量纲等，并进行相应的处理。2.2数据集成数据集成是指将来自不同来源、格式和性质的数据进行合并，形成一个统一的数据集。数据集成主要包括以下步骤：2.2.1数据集成策略根据实际需求，选择合适的数据集成策略，如合并、关联等。2.2.2数据集成方法采用相关技术手段，如ETL（提取、转换、加载）工具，实现数据集成。2.2.3数据集成质量评估对集成后的数据进行质量评估，保证数据的完整性和一致性。2.3数据转换数据转换是将原始数据转换成适用于人工智能算法分析的数据形式。主要包括以下几种类型：2.3.1数据类型转换将数据集中的某些字段从一种数据类型转换为另一种数据类型，如将字符串转换为数值。2.3.2数据离散化将连续型数据转换为离散型数据，便于后续分析。2.3.3数据聚合对数据集中的数据进行汇总，如求和、平均等。2.4数据归一化与标准化数据归一化与标准化是为了消除数据特征之间的量纲差异，使各特征对分析结果的影响更加公平。主要包括以下方法：2.4.1最小最大标准化将数据压缩到[0,1]区间，公式为：\(X_{new}=\frac{(XX_{min})}{(X_{max}X_{min})}\)。2.4.2Z分数标准化将数据标准化为均值为0，标准差为1的分布，公式为：\(X_{new}=\frac{(X\mu)}{\sigma}\)。2.4.3对数变换通过对数据取对数，减小数据分布的偏斜程度。2.4.4幂变换通过幂变换（如平方根、立方根等）调整数据分布。通过本章的学习，读者可以掌握数据预处理的基本方法，为后续的人工智能算法应用打下坚实的基础。第3章监督学习算法3.1线性回归3.1.1线性回归的基本概念线性回归是监督学习中最基础、最简单的算法之一。其主要任务是通过一个或多个自变量（特征）来预测一个连续的因变量（目标值）。线性回归假设变量之间存在线性关系，通过寻找最佳拟合直线，使得所有数据点到直线的残差平方和最小。3.1.2线性回归的数学表达式线性回归模型的数学表达式为：y=w1x1w2x2wnxnb，其中，y表示预测值，xi表示第i个特征，wn表示第n个特征的权重，b表示截距。3.1.3线性回归的损失函数线性回归通常采用均方误差（MeanSquaredError,MSE）作为损失函数，其表达式为：MSE=1/nΣ(yiy^i)^2，其中，n表示样本数量，yi表示真实值，y^i表示预测值。3.1.4线性回归的优化方法线性回归的优化方法主要包括：梯度下降法、最小二乘法等。梯度下降法通过迭代计算损失函数的梯度，逐步调整权重和截距，使损失函数达到最小值；最小二乘法则是通过求解正规方程，直接得到权重和截距的最优解。3.2逻辑回归3.2.1逻辑回归的基本概念逻辑回归是一种解决二分类问题的线性模型。其核心思想是将线性回归的输出结果通过一个逻辑函数（Sigmoid函数）映射到（0,1）区间，表示样本属于正类的概率。3.2.2逻辑回归的数学表达式逻辑回归模型的数学表达式为：P(y=1x)=1/(1e^(z))，其中，z=w1x1w2x2wnxnb。3.2.3逻辑回归的损失函数逻辑回归通常采用交叉熵损失（CrossEntropyLoss）作为损失函数，其表达式为：L(y,P(yx))=ylog(P(yx))(1y)log(1P(yx))。3.2.4逻辑回归的优化方法逻辑回归的优化方法与线性回归类似，主要包括梯度下降法、牛顿法等。3.3决策树3.3.1决策树的基本概念决策树是一种基于树结构进行决策的监督学习算法。它通过一系列的问题对数据进行划分，最终得到叶子节点对应的预测值。3.3.2决策树的构建决策树的构建主要包括两个步骤：选择最优的特征进行划分，以及确定划分的阈值。常用的特征选择方法有：信息增益、增益率、基尼不纯度等。3.3.3决策树的剪枝为了防止决策树过拟合，需要对决策树进行剪枝。剪枝方法包括预剪枝和后剪枝，预剪枝通过限制树的生长，后剪枝则通过删除树的部分节点来实现。3.4随机森林3.4.1随机森林的基本概念随机森林是一种基于决策树的集成学习算法。它通过随机抽取样本和特征，构建多棵决策树，然后取平均值或投票方式得到最终预测结果。3.4.2随机森林的构建随机森林的构建主要包括两个步骤：随机抽样和构建决策树。随机抽样包括自助法（Bagging）和随机特征选择；构建决策树过程与普通决策树相同。3.4.3随机森林的优势随机森林具有以下优势：泛化能力较强，不易过拟合；具有很好的并行计算能力；可以处理高维数据和缺失值问题。因此，在许多实际应用中，随机森林表现出了优秀的功能。第4章无监督学习算法4.1Kmeans聚类Kmeans算法是一种典型的基于距离的聚类方法。它的基本思想是将数据集中的点分为K个簇，使得每个簇的内部点之间的距离最小，而不同簇之间的点之间的距离最大。以下是Kmeans算法的主要步骤：（1）随机选择K个初始中心点；（2）计算每个数据点到各个中心点的距离，将数据点分配到距离最近的中心点所在的簇；（3）更新每个簇的中心点；（4）重复步骤2和3，直至满足停止条件（如中心点变化小于设定阈值或达到最大迭代次数）。4.2层次聚类层次聚类是一种基于树形结构的聚类方法，其核心思想是将数据集中的点按照相似度逐步合并，形成一个层次结构。以下是层次聚类的两种主要类型：（1）凝聚层次聚类：从每个数据点作为一个簇开始，逐步合并相似度较高的簇，直至所有数据点合并为一个簇；（2）分裂层次聚类：从所有数据点作为一个簇开始，逐步分裂不相似的簇，直至每个簇只包含一个数据点。层次聚类的关键步骤是计算数据点之间的相似度，常用的相似度度量方法有：欧氏距离、曼哈顿距离等。4.3密度聚类密度聚类算法（DBSCAN）是一种基于密度的聚类方法，其核心思想是：对于一个数据点，如果在其ε邻域内至少要有MinPts个数据点，则该点为核心点；如果一个核心点能够通过密度可达的方式连接到另一个核心点，则这两个核心点属于同一个簇。以下是密度聚类的主要步骤：（1）根据邻域半径ε和MinPts参数，判断数据点是否为核心点；（2）寻找所有核心点之间的密度可达关系，构建簇；（3）将非核心点分配到相应的簇中；（4）合并距离相近的簇。4.4主成分分析主成分分析（PCA）是一种常用的线性降维方法，其目标是将高维数据映射到低维空间，同时尽可能保留原始数据的特征。以下是PCA的主要步骤：（1）对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1；（2）计算标准化后数据的协方差矩阵；（3）求解协方差矩阵的特征值和特征向量；（4）将特征向量按特征值从大到小排序，选取前k个特征向量作为主成分；（5）将原始数据投影到这k个主成分上，得到降维后的数据。通过PCA，我们可以有效地减少数据的维度，同时保留最重要的信息，为后续的聚类、分类等任务提供方便。第5章支持向量机5.1线性支持向量机5.1.1线性可分支持向量机最大间隔分类器原理拉格朗日乘子法与最优解支持向量的概念与性质5.1.2线性不可分支持向量机软间隔分类器原理惩罚参数C的作用与选择支持向量与间隔违规点的处理5.2非线性支持向量机5.2.1核技巧非线性问题与核函数映射常用核函数介绍核函数选择原则5.2.2非线性支持向量机的构建核化线性支持向量机模型参数选择与优化非线性支持向量机的应用5.3支持向量回归5.3.1SVR的基本原理回归问题的支持向量机ε不敏感损失函数支持向量与回归边界5.3.2SVR的算法实现拉格朗日乘子法求解算法复杂度与优化策略SVR参数选择与模型评估5.4核函数介绍5.4.1线性核线性核的定义与特点线性核在支持向量机中的应用5.4.2多项式核多项式核的定义与性质多项式核在支持向量机中的应用5.4.3径向基（RBF）核RBF核的定义与特点RBF核在支持向量机中的应用5.4.4sigmoid核sigmoid核的定义与性质sigmoid核在支持向量机中的应用5.4.5其他核函数组合核函数自适应核函数核函数的研究与发展趋势第6章神经网络与深度学习6.1神经网络基础6.1.1神经元模型神经网络的基本单元是神经元，其数学模型由输入、权重、偏置和激活函数组成。本节将介绍神经元模型的基本原理及其计算过程。6.1.2激活函数激活函数在神经网络中起到非线性转换的作用，常见的激活函数有Sigmoid、ReLU、Tanh等。本节将分析这些激活函数的特点及适用场景。6.1.3神经网络结构神经网络由输入层、隐藏层和输出层组成。本节将介绍神经网络的常见结构，包括全连接层、卷积层、池化层等。6.1.4学习算法神经网络的学习过程主要包括权重和偏置的更新。本节将介绍基于梯度下降的优化算法，如随机梯度下降（SGD）、批量梯度下降（BGD）等。6.2深度前馈网络6.2.1多层感知机（MLP）多层感知机是深度前馈网络的代表，其由多个全连接层组成。本节将介绍多层感知机的结构及其在分类和回归任务中的应用。6.2.2深度学习深度学习是指具有多个隐藏层的神经网络。本节将探讨深度学习的优势，以及如何在实践中设计深度网络。6.2.3损失函数损失函数用于评估模型预测与真实值之间的差异。本节将介绍常见的损失函数，如均方误差（MSE）、交叉熵（CrossEntropy）等。6.2.4正则化为防止模型过拟合，通常需要对神经网络进行正则化处理。本节将讨论L1、L2正则化以及dropout方法。6.3卷积神经网络6.3.1卷积层卷积层是卷积神经网络的核心，用于提取图像特征。本节将介绍卷积层的计算原理及其参数设置。6.3.2池化层池化层用于减小特征图的尺寸，降低模型复杂度。本节将讨论最大池化和平均池化的区别及适用场景。6.3.3经典卷积神经网络结构本节将介绍经典的卷积神经网络结构，如LeNet、AlexNet、VGG、ResNet等，并分析其优缺点。6.3.4迁移学习迁移学习是指利用预训练模型在特定任务上进行微调。本节将探讨如何利用迁移学习提高模型功能。6.4递归神经网络6.4.1循环神经网络（RNN）循环神经网络具有记忆能力，适用于处理序列数据。本节将介绍RNN的基本结构及其在、时间序列预测等方面的应用。6.4.2长短时记忆网络（LSTM）LSTM是RNN的一种改进结构，具有更强大的记忆能力。本节将分析LSTM的内部结构及其在自然语言处理中的应用。6.4.3门控循环单元（GRU）GRU是LSTM的一种简化结构，具有更快的计算速度。本节将介绍GRU的结构及其与LSTM的对比。6.4.4双向循环神经网络（BiRNN）BiRNN通过同时考虑前向和后向的序列信息，提高模型的预测能力。本节将探讨BiRNN在自然语言处理等领域的应用。第7章集成学习算法7.1集成学习概述集成学习（EnsembleLearning）是机器学习领域的一种重要方法，通过组合多个学习器来完成学习任务，以期获得比单个学习器更优秀的功能。集成学习算法的核心思想是“群体智慧”，即多个个体通过协作可以取得比单个个体更好的效果。在本节中，我们将介绍集成学习的基本概念、分类以及相关技术。7.2Bagging算法Bagging（BootstrapAggregating）算法是一种基于自助法（Bootstrap）的集成学习算法。其主要思想是通过有放回地随机抽取训练样本，多个训练集，分别训练多个学习器，最后将这些学习器的预测结果进行投票或平均，得到最终的预测结果。本节将详细介绍Bagging算法的原理、实现步骤及其在实践中的应用。7.3Boosting算法Boosting算法是一种迭代式的集成学习算法，通过逐步提升弱学习器的功能，最终组合成强学习器。Boosting算法的核心思想是关注于错误分类的样本，通过调整每个样本的权重，使得在下一轮迭代中能够更好地学习这些错误分类的样本。本节将介绍Boosting算法的原理、代表性算法（如Adaboost、GBDT等）及其在实际应用中的优势。7.4Stacking算法Stacking（StackedGeneralization）算法是一种分层模型集成方法。其主要思想是将多个不同的学习器进行集成，首先训练多个初级学习器，然后将这些初级学习器的输出作为特征，输入到次级学习器中进行训练。本节将详细阐述Stacking算法的原理、实现方法以及如何在实际问题中应用Stacking算法来提高模型的功能。第8章聚类算法进阶8.1高斯混合模型8.1.1高斯混合模型概述高斯混合模型（GaussianMixtureModel,GMM）是一种概率模型，用于表示多个高斯分布的线性组合。它是一种常见的聚类算法，通过迭代更新模型参数来估计数据集的潜在分布。8.1.2高斯分布本节介绍高斯分布的基本概念、参数及其概率密度函数。8.1.3EM算法介绍期望最大化（ExpectationMaximization,EM）算法的基本原理，以及如何应用EM算法求解高斯混合模型参数。8.1.4高斯混合模型在聚类中的应用介绍如何使用高斯混合模型进行聚类，以及相关的算法实现。8.2密度峰值聚类8.2.1密度峰值聚类算法概述密度峰值聚类（DensityPeakClustering,DPC）算法是一种基于密度的聚类方法，通过寻找高密度区域的局部最大值来实现聚类。8.2.2密度计算与距离度量介绍密度计算方法和距离度量方式，以及如何选择合适的参数。8.2.3密度峰值识别与聚类阐述如何识别密度峰值以及根据密度峰值进行聚类的过程。8.2.4密度峰值聚类的应用实例通过实际案例介绍密度峰值聚类算法的应用。8.3谱聚类8.3.1谱聚类算法概述谱聚类（SpectralClustering）是一种基于图论的聚类方法，利用数据的谱（即特征值）进行聚类。8.3.2图论基础介绍图的基本概念、谱以及相关性质。8.3.3谱聚类算法流程详细阐述谱聚类的算法步骤，包括构建相似性矩阵、求解特征值和特征向量、聚类等。8.3.4谱聚类的应用实例通过实际案例介绍谱聚类算法的应用。8.4聚类评估指标8.4.1内部评估指标介绍轮廓系数、同质性、完整性等内部评估指标，用于评估聚类算法的功能。8.4.2外部评估指标介绍调整兰德系数、互信息等外部评估指标，以及它们在聚类算法评估中的应用。8.4.3聚类评估指标的选用与比较分析不同聚类评估指标的特点，讨论如何根据实际需求选择合适的评估指标。第9章降维与度量学习9.1降维方法概述降维是机器学习中的一种重要技术，其主要目的是在保证数据信息损失最小的前提下，降低数据的维度。在本节中，我们将介绍降维的基本概念、方法及其在人工智能领域的应用。9.1.1降维的动机与意义数据规模的不断扩大，高维数据在各个领域变得越来越普遍。但是高维数据在带来丰富信息的同时也带来了诸多问题，如计算复杂度高、存储空间大、过拟合等。降维技术能够在一定程度上解决这些问题，提高算法的功能。9.1.2降维方法的分类降维方法主要分为线性和非线性两大类。线性降维方法包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）等；非线性降维方法包括局部线性嵌入（LLE）、等距映射（ISOMAP）等。9.2tSNE算法tSNE（tDistributedStochasticNeighborEmbedding）是一种基于概率密度的高维数据可视化算法。其主要思想是将高维空间中的数据点映射到低维空间，并保持原始数据点之间的相似性。9.2.1tSNE的基本原理tSNE算法通过计算高维空间中数据点之间的条件概率，将相似性转化为概率形式。在低维空间中，tSNE算法采用具有长尾分布的学生t分布作为数据点之间的相似性度量，从而保持原始数据点之间的相对关系。9.2.2tSNE算法的实现步骤（1）计算高维空间中数据点之间的条件概率。（2）计算低维空间中数据点之间的相似性。（3）优化低维空间中的数据点，使得相似性损失最小。9.3MDS算法MDS（MultidimensionalScaling）是一种经典的降维方法，其主要目的是将高维空间中的数据点映射到低维空间，同时保持原始数据点之间的距离关系。9.3.1MDS的基本原理MDS算法基于距离保持性，即原始空间中数据点之间的距离与低维空间中数据点之间的距离尽可能一致。MDS算法通过求解距离矩阵的平方根，得到低维空间中的数据点。9.3.2MDS算法的实现步骤（1）计算高维空间中数据点之间的距离矩阵。（2）计算距离矩阵的平方根。（3）求解低维空间中的数据点。9.