高考数学 考前3个月（上）专题复习 专题三 第二讲 数列的综合应用配套限时规范训练

第二讲数列的综合应用（推荐时间：50分钟）一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝ ()A．9 B．8C．7 D．62．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,anan＋1)(n∈N*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于 ()A.eq\f(9,19) B.eq\f(18,19)C.eq\f(20,21) D.eq\f(9,40)3．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于 ()A．3×44 B．3×44＋1C．43 D．43＋14．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n,n＋3)，则eq\f(a5,b5)等于()A．7 B.eq\f(2,3)C.eq\f(27,8) D.eq\f(21,4)5．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝eq\f(3,2)＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝eq\f(5,2)，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为 ()A．305 B．315C．325 D．3356．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))等于 ()A．2011 B．－2011C．0 D．17．已知数列{an}，an＝eq\f(3,2n－11)，前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是 ()A．an与Sn都有最大值B．an与Sn都没有最大值C．an与Sn都有最小值D．an与Sn都没有最小值8．已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2013等于 ()A．2011×2010 B．2013×2012C．2014×2013 D．20132二、填空题9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)，Q(n＋2，an＋2)的直线的斜率是________．10．有下列三角形数阵：eq\f(1,1)eq\f(2,1)eq\f(1,2)eq\f(3,1)eq\f(2,2)eq\f(1,3)eq\f(4,1)eq\f(3,2)eq\f(2,3)eq\f(1,4)……记三角形数阵构成的数列为{an}，且a1＝eq\f(1,1)，a2＝eq\f(2,1)，a3＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(3,1)，a5＝eq\f(2,2)，…据此推测a2011＝________.11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式an＝____________.12．(·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．三、解答题13．(·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9－2an,2n)))的前n项和Tn.14．(·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)设a1>0，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(lg\f(10a1,an)))的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．

答案1．B2．D3．A4．D5．D6．A7．C8．B9．410.eq\f(3,29)11．2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－112．200013．解(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－eq\f(1,2)k2＋k2＝eq\f(1,2)k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝eq\f(9,2)－n(n≥2)．又a1＝S1＝eq\f(7,2)，所以an＝eq\f(9,2)－n.(2)因为bn＝eq\f(9－2an,2n)＝eq\f(n,2n－1)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋eq\f(2,2)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－2)＋eq\f(n,2n－1)，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(n＋2,2n－1).14．解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a取n＝2，得a22＝2a1＋2a由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③若a2＝0，由①知a1＝0；若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④由①④解得a1＝eq\r(2)＋1，a2＝2＋eq\r(2)或a1＝1－eq\r(2)，a2＝2－eq\r(2).综上可得，a1＝0，a2＝0或a1＝eq\r(2)＋1，a2＝eq\r(2)＋2或a1＝1－eq\r(2)，a2＝2－eq\r(2).(2)当a1>0时，由(1)知a1＝eq\r(2)＋1，a2＝eq\r(2)＋2.当n≥2时，有(2＋eq\r(2))an＝S2＋Sn，(2＋eq\r(2))an－1＝S2＋Sn－1.所以(1＋eq\r(2))an＝(2＋eq\r(2))an－1，即an＝eq\r(2)an－1(n≥2)．所以an＝a1(eq\r(2))n－1＝(eq\r(2)＋1)·(eq\r(2))n－1.令bn＝lgeq\f(10a1,an)，则bn＝1－lg(eq\r(2))n－1＝1－eq\f(1,2)(n－1)lg2＝eq\f(1,2)lgeq\f(100,2n－1).所以数列{bn}是单调递减的等差数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(公差为－\f(1,2)lg2)).从而b1>b2>…>b7＝lgeq\f(