2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算学案含解析北师大版选修2-1

PAGE6距离的计算授课提示：对应学生用书第27页一、点到直线的距离1．定义：点A是直线l外肯定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度．2．求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外肯定点，则点A到直线l的距离d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2)))，其中s0＝eq\f(s,|s|).二、点到平面的距离1．定义：A是平面π外肯定点，作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．2．求法设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外肯定点，则点A到平面π的距离d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))·n0|，其中n0＝eq\f(n,|n|).3．求出法向量与斜线段向量的数量积的肯定值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于eq\f(n,|n|)＝n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点动身的斜线段向量的数量积的肯定值，即d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))·n0|.[疑难提示]如图，点到平面的距离的求法BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．若AB是平面α的随意一条斜线段，则在Rt△BOA中，|Beq\o(O,\s\up6(→))|＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|cos∠ABO＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|·eq\f(B\o(A,\s\up6(→))·B\o(O,\s\up6(→)),|B\o(A,\s\up6(→))|·|B\o(O,\s\up6(→))|)＝eq\f(|B\o(A,\s\up6(→))·B\o(O,\s\up6(→))|,|B\o(O,\s\up6(→))|).假如令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为|Beq\o(O,\s\up6(→))|＝eq\f(|A\o(B,\s\up6(→))·n|,|n|).因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点动身的平面的任一条斜线段对应的向量．[想一想]1．如何求线面距，面面距？提示：假如l∥α，求l到α的距离可以转化为求直线l上一点P到平面α的距离，即由点到平面的距离来求；假如α∥β，求α与β之间的距离可以转化为求平面α上随意一点P到平面β的距离，即由点到平面的距离来求．[练一练]2．以下说法错误的是()A．两平行平面之间的距离就是一个平面内随意一点到另一个平面的距离B．点P到平面α的距离公式是d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))，其中A为平面α内随意一点，n为平面α的一个法向量C．点P到直线l的距离公式是d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\f(a,|a|)))，其中A为直线l上随意一点，a为与直线l垂直的向量D．异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最小值就是l1与l2的距离解析：选项C中，只有当a与直线l及eq\o(PA,\s\up6(→))共面时，此公式才成立．答案：C授课提示：对应学生用书第27页探究一求点到直线的距离[典例1]棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1，－2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))在eq\o(EF,\s\up6(→))上的投影为eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\f(\o(EF,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\o(EF,\s\up6(→)))|)＝eq\f(1,\r(6))，∴点A到直线EF的距离为d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(AF,\s\up6(→))|2－|\o(AF,\s\up6(→))·\f(\o(EF,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|))|2))＝eq\f(\r(174),6).求点到直线的距离的方法(1)几何法：①找到P在直线l上的投影P′.②在某一个三角形中求线段PP′的长度．(2)向量法：①在直线l上任取一点P.②求直线l的方向向量s0.③d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2)))，其中s0＝eq\f(s,|s|).1．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为()A.eq\f(5,6) B.eq\f(\r(181),12)C.eq\f(10\r(30),6) D.eq\f(\r(5),6)解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1,0,0)＋eq\f(1,2)(0,1,0)＋eq\f(2,3)(0,0,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影为eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，∴点P到AB的距离为eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|))))2)＝eq\f(5,6).答案：A2.如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．解析：因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．eq\o(CA′,\s\up6(→))＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3，4)．eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．所以eq\o(CB,\s\up6(→))在eq\o(CA′,\s\up6(→))上的投影为eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\f(\o(CA′,\s\up6(→)),|\o(CA′,\s\up6(→))|)＝(0，－3,0)·eq\f(－2，－3，4,\r(－22＋－32＋42))＝(0，－3,0)·(eq\f(－2,\r(29))，eq\f(－3,\r(29))，eq\f(4,\r(29)))＝0×eq\f(－2,\r(29))＋(－3)×eq\f(－3,\r(29))＋0×eq\f(4,\r(29))＝eq\f(9,\r(29))，所以点B到直线A′C的距离为d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(CB,\s\up6(→))|2－|\o(CB,\s\up6(→))·\f(\a\vs4\al(\o(CA′,\s\up6(→))),|\o(CA′,\s\up6(→))|))|2))＝eq\r(32－\f(9,\r(29))2)＝eq\f(6\r(145),29).探究二求点到平面的距离[典例2]如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝eq\f(π,4).OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD夹角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．[解析]作AP⊥CD于点P.如图，以A为坐标原点，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，eq\f(\r(2),2)，0)，D(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)(1)设AB和MD的夹角为θ，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，－1)，∴cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(MD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(MD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).∴θ＝eq\f(π,3).∴异面直线AB与MD的夹角的大小为eq\f(π,3).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(2),2)，－2)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，－2)，设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(OP,\s\up6(→))＝0,n·\o(OD,\s\up6(→))＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)y－2z＝0,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0)).取z＝eq\r(2)，解得n＝(0,4，eq\r(2))，设点B到平面OCD的距离为d.∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，∴d＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,3)，∴点B到平面OCD的距离为eq\f(2,3).用向量法求平面π外一点A到平面的距离的步骤：(1)计算平面π的法向量n及n0；(2)在平面π上找一点P，计算eq\o(PA,\s\up6(→))；(3)由公式计算d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))·n0|.利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解析：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0,0,0)，P(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0,n·\o(PE,\s\up6(→))＝0))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0,x＋\f(1,2)y－z＝0)).令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)为平面PEF的一个法向量，所以点D到平面PEF的距离为eq\f(|\o(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq\f(3\r(17),17).(2)由(1)，知A(1,0,0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).点A到平面PEF的距离为eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(1,\r(17))＝eq\f(\r(17),17).因为AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为eq\f(\r(17),17).4.如图，已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0，0,2)，D(－1,4,0)，∴eq\o(NS,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，eq\o(SD,\s\up6(→))＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．∴n·eq\o(NS,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2＝0，,－x＋4y－2＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1，))∴n＝(2,1,1)．∵eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,2)．∴A到平面SND的距离为eq\f(|n·\o(AS,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).探究三空间距离的向量解法eq\x(空间向量与空间距离)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求几何体中两点间的距离),—\x(求异面直线间的距离),—\x(求直线到平面的距离),—\x(求两平行平面间的距离)))5．如图，已知二面角α­AB­β的平面角为120°，AC在α内，BD在β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，则CD的长是()A．a B．2C．3a D．解析：因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→)))＝a2＋a2＋a2＋2a2cos60°＝4a2，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2a，即CD＝2a.答案：B6．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求点A到平面MBC的距离．解析：如图，取CD的中点O，连接OB，OM.因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝eq\r(3)，则C(1,0,0)，M(0,0，eq\r(3))，B(0，－eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，2eq\r(3))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3))．设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(BC,\s\up6(→)),n⊥\o(BM,\s\up6(→))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0,n·\o(BM,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝0,\r(3)y＋\r(3)z＝0))，取x＝eq\r(3)，可得平面MBC的一个法向量为n＝(eq\r(3)，－1,1)．又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,0,2eq\r(3))，所以点A到平面MBC的距离为eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(15),5).7．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝eq\r(3)，BC＝2，AA1＝2，E是C1C的中点．求A1B1与平面ABE的距离．解析：如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，eq\r(3)，1)，C(0，eq\r(3)，0)，过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝eq\r(3)，∴B(1,2eq\r(3)，0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，1)．设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BE,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(3)y＝0，,－x－\r(3)y＋z＝0，))∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．∵