2024-2025学年高中数学课时素养评价九3.3.1综合法含解析北师大版选修1-2

PAGE课时素养评价九综合法(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.A,B为△ABC的内角,A>B是sinA>sinB的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若A>B,则a>b.又因为QUOTE=QUOTE,所以sinA>sinB.若sinA>sinB,则由正弦定理得a>b,所以A>B.2.在△ABC中,已知sinAcosA=sinBcosB,则该三角形是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【解析】选D.由sinAcosA=sinBcosB,得QUOTEsin2A=QUOTEsin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,所以A=B或A+B=QUOTE.3.设a>0,b>0且ab-(a+b)≥1,则 ()A.a+b≥2(QUOTE+1) B.a+b≤QUOTE+1C.a+b≤(QUOTE+1)2 D.a+b>2(QUOTE+1)【解析】选A.由条件知a+b≤ab-1≤QUOTE-1,令a+b=t,则t>0且t≤QUOTE-1,解得t≥2+2QUOTE.4.已知a,b为非零实数,则使不等式:QUOTE+QUOTE≤-2成立的一个充分而不必要条件是()A.a·b>0 B.a·b<0C.a>0,b<0 D.a>0,b>0【解析】选C.因为QUOTE+QUOTE≤-2,所以QUOTE≤-2.因为a2+b2>0,所以ab<0,所以使不等式QUOTE+QUOTE≤-2成立的一个充分而不必要的条件是a>0,b<0.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知x,y∈(0,+∞),a=x4+y4,b=x3y+xy3,则a,b的大小关系是________.

【解析】因为a=x4+y4,b=x3y+xy3,所以a-b=(x4+y4)-(x3y+xy3)=(x3-y3)(x-y)≥0.故a≥b.答案:a≥b6.已知数列{an}的前n项和为Sn,f(x)=QUOTE,an=log2QUOTE,则S2017=________.

【解析】an=log2QUOTE=log2f(n+1)-log2f(n),所以S2017=a1+a2+a3+…+a2017=[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-l+[log2f(4)-log2f(3)]+…+[log2f(2018)-log2f(2017)]=log2f=log2QUOTE-log2QUOTE=log2QUOTE+1.答案:log2QUOTE+1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知a,b,c成等差数列,求证:a2-bc,b2-ac,c2-ab也成等差数列.【证明】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以4b2=(a+c)2,因为2(b2-ac)-[(a2-bc)+(c2-ab)]=2(b2-ac)-[a2+c2-b(a+c)]=2(b2-ac)-a2-c2+2b2=4b2-(a+c)2=0,所以2(b2-ac)=(a2-bc)+(c2-ab),所以a2-bc,b2-ac,c2-ab是等差数列.8.在△ABC中,若a2=b(b+c),求证:A=2B.【证明】因为a2=b(b+c),所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,cos2B=2cos2B-1=2QUOTE-1=2QUOTE-1=QUOTE=QUOTE,所以cosA=cos2B.又A,B是三角形的内角,所以A=2B.(15分钟·30分)1.(5分)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2QUOTE,则QUOTE+QUOTE的最大值为()A.2 B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选C.因为ax=by=3,所以x=loga3,y=logb3,所以QUOTE+QUOTE=log3(ab)≤log3QUOTE=1.2.(5分)下面的几个不等式:①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤QUOTE;③QUOTE+QUOTE≥2;④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.其中恒成立的有 ()A.1个 B.2个C.3个 D.4个【解析】选C.因为(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)=QUOTE[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,a(1-a)-QUOTE=-a2+a-QUOTE=-QUOTE≤0,(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d23.(5分)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2QUOTE,a2+b2,2ab中最大的是________.

【解析】由0<a<1,0<b<1,且a≠b,得a+b>2QUOTE,a2+b2>2ab.又a>a2,b>b2,知a+b>a2+b2,从而a+b最大.答案:a+b4.(5分)已知a,b,c,m∈R,且满意a<QUOTE<b<QUOTE<c,则m的取值范围为________.

【解析】因为a<QUOTE<b<QUOTE<c,所以QUOTE>0,且QUOTE>0,QUOTE<0,因为a<b<c,所以b-a>0,b-c<0.所以QUOTE>0,QUOTE<0,QUOTE>0,所以m<0或1<m<2.所以m的取值范围为(-∞,0)∪(1,2).答案:(-∞,0)∪(1,2)5.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn满意Sn=2an-n(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}为等比数列.(2)若数列{bn}为等差数列,且b3=a2,b7=a3,求数列QUOTE的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=2an-n,得Sn-1=2an-1-n+1(n≥2),两式作差可得:an=2an-2an-1-1,即an=2an-1+1(n≥2),所以an+1=2(an-1+1)(n≥2).由Sn=2an-n,取n=1,可得a1=1,则a1+1=2.所以数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an+1=2n,所以an=2n-1.b3=a2=3,b7=a3=7.因为数列{bn}为等差数列,所以公差d=QUOTE=QUOTE=1.所以bn=b3+(n-3)×1=n,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,则数列QUOTE的前n项和Tn=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.1.已知α,β为实数,给出下列三个论断:①αβ>0;②|α+β|>5;③|α|>2QUOTE,|β|>2QUOTE.以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论,写出你认为正确的命题________.(用序号及“⇒”表示)

【解析】因为αβ>0,|α|>2QUOTE,|β|>2QUOTE,所以|α+β|2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32>25.所以|α+β|>5.故可得①③⇒②.答案:①③⇒②2.已知函数f(x)=QUOTE.(1)证明:函数f(x)是偶函数.(2)记A=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019),B=f(1)+fQUOTE+fQUOTE+…+fQUOTE,求A+B的值.(3)若实数x1,x2满意f(x1)+f(x2)>1,求证:|x1x2|>1.【解析】(1)对随意实数x,有f(-x)=QUOTE=QUOTE=f(x),故函数f(x)是偶函数.(2)当x≠0时,f(x)+fQUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE