人教版2024-2025学年八年级数学专题13.1垂直平分线中的几何综合(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题13.1垂直平分线中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.二、线段垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）典例分析典例分析【典例1】如图，△ABC的两条高CD与AE交于点O，AB=BC=8，OC=6．

（1）求证：BD=BE；（2）连结BO，试说明：BO是AC的垂直平分线；（3）F是射线AB上一点，且BF=CO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿射线CB以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△COP与△FBQ全等时，求t的值．【思路点拨】（1）证明△AEB≌△CDB，即可得到（2）先证明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，进而得到点O在AC的垂直平分线上，再根据AB=BC得到点B在AC的垂直平分线上，即可得到BO是AC的垂直平分线；（3）当点F在AB延长线上时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=BQ，进而得到t=8−3t，求得t=2；当点F在AB之间时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=CQ，进而得到【解题过程】（1）证明：∵CD、AE是高，∴∠AEB=∠CDB=90°，在△AEB与△CDB中，∠AEB=∠CDB∴△AEB≌∴BE=BD；（2）证明：∵AB=BC，BE=BD，∴AB−BD=BC−BE，∴AD=CE，∵CD、AE是高，∴∠ADO=∠CEO=90°．在△ADO与△CEO中，∠AOD=∠COE∠ADO=∠CEO∴△ADO≌△CEOAAS∴OA=OC，∴点O在AC的垂直平分线上．∵AB=BC，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BO是AC的垂直平分线；（3）解：①如图1，当点F在AB延长线上时，设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，∴当△COP≌△FBQ时，∵OP=t，CQ=8−3t，∴t=8−3t，解得t=2．②如图2，当点F在AB之间时，设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，∴当△COP≌△FBQ时，∵OP=t，CQ=3t−8，∴t=3t−8，解得t=4．综上所述，t=2或4．学霸必刷学霸必刷1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠OEB＝46°，则A．92° B．88° C．46° D．86°2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分线，延长AC至E，使得CE=AC，连接DE,BE．下列判断：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；④△ABD的面积A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF．有下面四个结论：①AF=GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④∠BFG=∠DEG+2∠A．所有正确结论的序号为(

)A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，AB＞AC，MN是边BC的垂直平分线，交AB于G，过点F作FE⊥AB于点E，AF平分∠DAB交MN于F，连接BF，CF．下列结论：①FB=FC②FB+FC＞AB+AC③AB−AC=2AE④

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④若M是AC中点，则AD⊥BC．其中一定正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，∠CAD=2∠BAE，下列结论：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE−BE=BE+CEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为．

9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝．11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF−CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有

12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：

（1）如图1，在BC上求作点D，使S△ABD（2）如图2，若点D在AB边上，在BC上求作点E，使S△BDE13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．

（1）过点A作一条直线，使其平分△ABC的面积．（2）在BC上求作一点E，使△ACE与△ACD面积相等．（3）过点D作一条直线，使其平分△ABC的面积．14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB=5，则△CMN的周长为；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分

（1）若∠ADB=48°，求∠A的度数；（2）若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG．

（1）如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B'关于AD对称，求证：CG=（2）如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：CG+2GF=BG；（3）如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG=145GF，AF=3，S18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射线AD，AE的夹角为12α，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC内部．①若α=120°，∠CAE=20°，则∠CBG=°；②作点B关于直线AD的对称点H，在图1中找出与线段GH相等的线段，并证明．（2）如图2，射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其它条件不变，探究线段BF，专题13.1垂直平分线中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.二、线段垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）典例分析典例分析【典例1】如图，△ABC的两条高CD与AE交于点O，AB=BC=8，OC=6．

（1）求证：BD=BE；（2）连结BO，试说明：BO是AC的垂直平分线；（3）F是射线AB上一点，且BF=CO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿射线CB以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△COP与△FBQ全等时，求t的值．【思路点拨】（1）证明△AEB≌△CDB，即可得到（2）先证明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，进而得到点O在AC的垂直平分线上，再根据AB=BC得到点B在AC的垂直平分线上，即可得到BO是AC的垂直平分线；（3）当点F在AB延长线上时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=BQ，进而得到t=8−3t，求得t=2；当点F在AB之间时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=CQ，进而得到【解题过程】（1）证明：∵CD、AE是高，∴∠AEB=∠CDB=90°，在△AEB与△CDB中，∠AEB=∠CDB∴△AEB≌∴BE=BD；（2）证明：∵AB=BC，BE=BD，∴AB−BD=BC−BE，∴AD=CE，∵CD、AE是高，∴∠ADO=∠CEO=90°．在△ADO与△CEO中，∠AOD=∠COE∠ADO=∠CEO∴△ADO≌△CEOAAS∴OA=OC，∴点O在AC的垂直平分线上．∵AB=BC，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BO是AC的垂直平分线；（3）解：①如图1，当点F在AB延长线上时，设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，∴当△COP≌△FBQ时，∵OP=t，CQ=8−3t，∴t=8−3t，解得t=2．②如图2，当点F在AB之间时，设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP≌△FBQ．∵BF=OC，∠COP=∠EOD=180°−∠DBE=∠FBQ，∴当△COP≌△FBQ时，∵OP=t，CQ=3t−8，∴t=3t−8，解得t=4．综上所述，t=2或4．学霸必刷学霸必刷1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠OEB＝46°，则A．92° B．88° C．46° D．86°【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到∠ABC=90°−∠OEB=90°−46°=44°，计算即可．【解题过程】解：如图，连接BO并延长至点P，l1与线段AB交于F∵l1，l2是AB、∴OA=OB，OB=OC，∠ODE=∠OFA=90°，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO∴∠AOP=2∠ABO，∠COP=2∠CBO，∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2∠ABO+∠CBO∵∠OEB＝46°，∴∠ABC=90°−∠OEB=90°−46°=44°，∴∠AOC=2∠ABC=2×44°=88°，故选：B2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分线，延长AC至E，使得CE=AC，连接DE,BE．下列判断：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；④△ABD的面积A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【思路点拨】利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，【解题过程】解：如图，延长AD交BE于点F，过D作DG⊥AE于点G，∵AB=2AC，CE=AC，∴AB=AE，又∵AD是∠BAC的平分线，∴AF垂直平分BE，∴BD=ED，故①正确；∵AC=CE，∴S△ACD=S∴S△ACB−S△ACD=由题意可知DF与DG不一定相等，则③不一定成立；∵AC=CE，AF垂直平分BE，∴S△ABD∴BD=2CD，故②正确；综上①②④正确；故选：B．3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF．有下面四个结论：①AF=GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠C+∠D+∠G=360°；④∠BFG=∠DEG+2∠A．所有正确结论的序号为(

)A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【思路点拨】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键．由翻折不变性，可判断①正确；由翻折不变性，可得AF=GF，AE=GE，可判断②正确；由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；即可解答．【解题过程】解：∵GF是由AF翻折得到的，∴AF=GF，故①正确；∵GF是由AF翻折得到的，GE是由AE翻折得到的，∴AF=GF，AE=GE，∴点E，点F都在AG的垂直平分线上，∴直线EF是线段AG的垂直平分线，故②正确；∵∠G是由∠A翻折得到的，∴∠G=∠A∵∠B+∠C+∠D+∠A=360°∴∠B+∠C+∠D+∠G=360°故③正确；设AD与GF交于点H，∵∠G是由∠A翻折得到的，∴∠G=∠A∵∠BFG=∠FHA+∠A=∠DEG+∠G+∠A∴∠BFG=∠DEG+2∠A故④正确；综上，正确的有：①②③④，故选：D．4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，AB＞AC，MN是边BC的垂直平分线，交AB于G，过点F作FE⊥AB于点E，AF平分∠DAB交MN于F，连接BF，CF．下列结论：①FB=FC②FB+FC＞AB+AC③AB−AC=2AE④

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，得到FB=FC；过点F作FH⊥AC于点H，证明△FBE≌△FCH，得到BE=CH，结合AF平分∠DAB，得到FE=FH，继而AE=AH，可证明AB−AC=2AE；利用斜边大于直角边，证明FB+FC>AB+AC；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明．【解题过程】解：∵MN是边BC的垂直平分线，∴FB=FC；故①正确；过点F作FH⊥AC于点H，∵AF平分∠DAB，FE⊥AB，FH⊥AC，∴FE=FH，∵FA=FAFE=FH∴△FAH≌△FAEHL∴AE=AH，∵FB=FCFE=FH∴△FBE≌△FCHHL∴∠FBE=∠FCH，BE=CH，∴AB−AC=BE+AE−CH−AH故③正确；∵FB＞∴FB+FC＞∴FB+FC＞∴FB+FC＞故②正确；∵∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，∴∠BAC=180°−∠FBC+∠FBE−∠FCB−∠FCH=180°−∠FBC−∠FCB，∴∠BFC=∠BAC，故④正确；故选D．5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【思路点拨】根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，从而可证明△BDF≌△ADC，进而得到FD=CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得S△ABFS△AFC=BDCD，即可判断③，若BF=2EC，根据△BDF≌△ADC可以得到BF=AC，从而可得E是【解题过程】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=90°−∠ABD=45°，∴AD=BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC+∠C=90°，∵∠EBC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠C，∴△BDF≌△ADC(AAS∴DF=CD，∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正确；∵AB≠BC，BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正确；∵S△ABF∴S∵△BDF≌△ADC，∴BF=AC∵BF=2EC，∴AC=2EC，∴E为AC的中点，∵BE⊥AC，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴BA=BC，故④正确，所以，正确结论的序号是：①③④，故选：D．6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④若M是AC中点，则AD⊥BC．其中一定正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【思路点拨】①根据将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），证明直线MN垂直平分AD，故①正确；②证明∠C与∠CAD不一定相等，得到AD与CD不一定相等，故②错误；③先由①得，直线MN垂直平分AD，则AN=DN，AM=DM，再根据”等边对等角“证明∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，则∠AMD=180°−2∠MAD，再根据∠AMD是△CDM的一个外角，∠BND是△NAD的一个外角，证明∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD，进一步证明∠CDM=180°−2∠MAD−∠C，根据AC=BC，得到∠CAB=∠B，则∠C=180°−2∠CAB，然后根据∠CAB=∠MAD+∠NAD，证明∠CDM=2∠NAD，从而得到∠CDM=∠BND，故③正确；④先根据M是AC的中点，证明AM=CM，再由①得，直线MN垂直平分AD，则AM=DM，再证明AM=DM=CM，最后证明∠ADC=90°，即AD⊥BC，故④正确．【解题过程】解：①∵将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），∴直线MN垂直平分AD，故①正确；②∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，∴∠C=180°−∠B−∠CAB=180°−2∠CAB又∵∠CAD=∠CAB−∠BAD，∴180°−2∠CAB与∠CAB−∠BAD不一定相等，∴∠C与∠CAD不一定相等，∴AD与CD不一定相等，故②错误；③由①得，直线MN垂直平分AD，∴AN=DN，AM=DM，∴∠NAD=∠NDA，∠MAD=∠MDA，∴∠AMD=180°−∠MAD−∠MDA=180°−2∠MAD∵∠AMD是△CDM的一个外角，∠BND是△NAD的一个外角，∴∠AMD=∠C+∠CDM，∠BND=∠NAD+∠NDA=2∠NAD∴∠C+∠CDM=180°−2∠MAD，∴∠CDM=180°−2∠MAD−∠C，∴AC=BC，∴∠CAB=∠B，∴∠C=180°−∠B−∠CAB=180°−2∠CAB又∵∠CAB=∠MAD+∠NAD，∴∠C=180°−2∠CDM=180°−2∠MAD−即∠CDM=2∠NAD，又∵∠BND=2∠NAD(已证)，∴∠CDM=∠BND，故③正确；④∵M是AC的中点，∴AM=CM，∵AM=DM，∴AM=DM=CM，∴∠MAD=∠MDA，∠MDC=∠C，又∠MAD+∠MDA+∠MDC+∠C=180°，∴∠MDA+∠MDC=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，故④正确；综上所述，一定正确的有①③④，故选：D．7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，∠CAD=2∠BAE，下列结论：①∠ACB=∠ADE；②AC⊥DE；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE−BE=BE+CEA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，利用SAS证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为【解题过程】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点∵∠ABC＝∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝∴∠BAE=1∵∠BAE=1∴∠GAE＝∴∠GAE+∠EAC＝∴∠GAC＝在△GAC与AG=AE∠GAC=∠DAE∴△GAC≌△EAD（∴∠G＝∴①是正确的；∵AG＝∴∠G＝∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴②是不正确的；设∠BAE＝x，则∴∠ACD＝∵AB∥CD，∴∠BAC＝∴∠CAE＝∴∠DAE＝∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝∵CG＝∴DE=CE+2BE，∴DE−BE=BE+CE∴④是正确的，故选：C．8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为．

【思路点拨】连接AE，过点E作EN⊥AC，交AC的延长线于N，由∠ACE+∠BCE=180°，可得∠BCE=∠NCE；由D为AB中点，DE⊥AB，则可得AE=BE；证明△EFC≌△ENC，再证明△BEF≌△AEN即可求得结果．【解题过程】解：连接AE，过点E作EN⊥AC，交AC的延长线于N，如图，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECN=180°，∴∠BCE=∠NCE；∵D为AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE；∵EF⊥BC，EN⊥AC，∴∠EFC=∠ENC=90°，∵EC=EC，∴△EFC≌△ENC，∴EF=EN,CF=CN；∵EF⊥BC,EN⊥AC，AE=BE，EF=EN，∴△BEF≌△AEN，∴BF=AN，∴BC−CF=AC+CN，即9−CF=6+CN，∴CF=3∴BF=BC−CF=9−故答案为：1529．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．延长CF交AB于H，先利用“ASA”证明△DBF≌△DAC，得出BF=AC，DF=DC，可判断①符合题意；由∠FDC=90°，得出∠DFC=∠FCD=45°，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由∠ABC=45°，∠FCD=45°，得出∠BHC=180°−∠ABC−∠FCD=90°，得出CF⊥AB，可判断③符合题意；由BF=2EC，BF=AC，可证明BE垂直平分AC，得出AF=CF，BA=BC，得出△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，可判断④符合题意；即可得出答案．【解题过程】解：如图，延长CF交AB于H，∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，∴∠BDF=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=45°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，∵∠DAC+∠ACB=∠DBF+∠ACB=90°，∴∠DAC=∠DBF，在△DBF和△DAC中，∠DBF=∠DACDB=DA∴△DBF≌△DAC(ASA∴BF=AC，DF=DC，故①符合题意；∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DFC>∠DAC，∴∠FCD>∠DAC，故②不符合题意；∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠BHC=180°−∠ABC−∠FCD=90°，∴CF⊥AB，故③符合题意；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，故④符合题意．故答案为：①③④．10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝．【思路点拨】过点F作FG⊥BN于点G，根据已知条件证明△ABD≌△BFG，可得BD＝FG，AD＝BG，再证明△BDE≌△FGN可得DE＝GN，根据DE：BN＝1：7，可得GN：BN＝1：7，设ED＝x，DE：BG＝1：6，可得AD＝BG＝6x，AE＝5x，然后根据S△ABD＝15，进而可得S△ABE．【解题过程】解：如图，过点F作FG⊥BN于点G，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°，∵MN⊥FB，∴∠FBN+∠FNB＝90°，∵点M恰在BN的垂直平分线上，∴MB＝MN，∴∠ABN＝∠FNB，∴∠ABN+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠FBN，∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，∴BA＝BF，在△ABD和△BFG中，{∠ADB=∠BGF∴△ABD≌△BFG（AAS），∴BD＝FG，AD＝BG，∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，在△BDE和△FGN中，{∠BDE=∠FGN∴△BDE≌△FGN（AAS），∴DE＝GN，∵DE：BN＝1：7，∴GN：BN＝1：7，设ED＝x，∴DE：BG＝1：6，∴AD＝BG＝6x，∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，∵S△ABD＝15，∴S△ABE＝56S△ABD故答案为：25211．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF−CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有

【思路点拨】①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；②③延长GD与AC交于点I，利用全等三角形的判定与性质求解即可；④在DF上截取DM=CD，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．【解题过程】解：设∠GCD=x，∠DAC=y，

∵CD平分∠MCB，AP平分∠CAB，∴∠BCD=∠MCD，∠CAD=由三角形外角的性质可得：∠MCD=x=y+∠ADC∴∠ADC=1延长GD与AC交于点I，如下图：∵DE⊥CF∴∠CDG=∠CDI=90°∵CF平分∠GCI∴∠GCD=∠ICD又∵CD=CD，∴△GCD≌△ICD∴CG=CI∵∠ADC=45°∴∠ADI=∠ADF=135°又∵∠FAD=∠IAD，AD=AD∴△AFD≌△AID∴AF=AI∴AF−CG=CA②正确；同理可得：△ACD≌△AED∴DE=DC，③正确；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，如下图：

∴CE=EM∵△AFD≌△AID∴∠I=∠DFE，AF=AI又∵∠CDI=∠EDF=90°∴∠DCG=∠DEF∵∠ECG=∠GCD−45°，∠MEF=∠DEF−45°∴∠MEF=∠ECG∵△ACD≌△AED∴AC=AE∴EF=CI又∵CI=CG∴EF=CG又∵EM=CE∴△EMF≌△CEG∴FM=GE∴CF=2CD+EG④正确故答案为：①②③④12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：

（1）如图1，在BC上求作点D，使S△ABD（2）如图2，若点D在AB边上，在BC上求作点E，使S△BDE【思路点拨】（1）作BC的垂直平分线与BC的交点即为所求；（2）如图：由题意得，只要作S△BDE=12S【解题过程】（1）解：如图：

作BC的垂直平分线与BC交于D点，∴BD=CD，∵△ABD与△ACD高相同，∴S如图1：点D即为所求；（2）如图：

由题意得，只要作S△BDE作BC的垂直平分线交BC于P点，由第（1）问得，S△ABP故只要作S△BDE连接D、P，要使得S△BDE=S根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，只要作AE∥DP，根据“同位角相等，两直线平行”，作∠BAE=∠BDP，交BC于E点，如图2：点E即为所求．13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．

（1）过点A作一条直线，使其平分△ABC的面积．（2）在BC上求作一点E，使△ACE与△ACD面积相等．（3）过点D作一条直线，使其平分△ABC的面积．【思路点拨】（1）作出线段BC的垂直平分线，垂足为T，作直线AT即可；（2）作∠BDE=∠A，DE交BC与点E，点E即为所求；（3）根据（1）的方法作出中线AT，连接DT，根据（2）的方法作AF∥DT，AF交BC与点F，作直线【解题过程】（1）解：如图直线AT即为所求；

（2）解：如图，点E即为所求；

∵∠BAC=∠BDE，∴AC∥∴S△ACD

（3）解：如图，直线DF即为所求．

理由如下，

∵AT是△ABC的中线，∴S△ABT∵AF∥∴S△DTA∴12∴直线DF平分△ABC的面积．14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB=5，则△CMN的周长为；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【思路点拨】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可．（1）根据垂直平分线的性质，则AM=CM，CN=BN，根据AB=AM+MN+BN=5，△CMN的周长为：CM+MN+CN，即可；（2）垂直平分线的性质，则∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，根据三角形内角和，则∠NMF+∠MNF=110°，再根据对顶角相等，则∠AMD+∠ENB=110°，根据三角形内角和，则∠A=90°−∠AMD，∠B=90°−∠ENB，最后根据∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，即可．【解题过程】（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，∴AM=CM，CN=BN，∵AB=5，∴AB=AM+MN+BN=5，∵△CMN的周长为：CM+MN+CN，∴C△CMN故答案为：5．（2）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∵∠MFN=70°，∴∠NMF+∠MNF=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠ENB=∠MNF，∴∠AMD+∠ENB=110°，∵∠A=90°−∠AMD，∠B=90°−∠ENB，∴∠A+∠B=180°−∠AMD+∠ENB∴∠A+∠ACB+∠B=180°，∴∠A+∠ACM+∠MCN+∠BCN+∠B=180°，∴∠MCN=180°−2∠A+∠B15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分

（1）若∠ADB=48°，求∠A的度数；（2）若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm【思路点拨】（1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出∠DBC=∠C=24°，再根据角平分线的定义即得出∠ABD=∠DBC=24°，最后根据三角形内角和定理求解即可；（2）由线段垂直平分线的性质结合△ABC与△ABD的周长之差为8cm，即可求出BC=8cm．过点D作DH⊥AB于H．由△ADB的面积为10cm2，AB=5cm，可求出DH=4【解题过程】（1）解：∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C．∵∠ADB=∠DBC+∠C=48°，∴∠DBC=∠C=24°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=24°，∴∠A=180°−∠ABD−∠ADB=108°；（2）解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE=12BC，DE=BC∵C△ABC−C△ABD=8∴AB+BC+AC−AB+BD+AD∴AB+BC+AC−AB+CD+AD∴AB+BC+AC−AB+AC=8cm过点D作DH⊥AB于H．

∵△ADB的面积为10cm2，且S△ADB∴10=1∴DH=4cm∵BD平分∠ABC，∴DE=DH=4cm∴S△DBC16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．【思路点拨】（1）在CA上截取CF＝CB，然后分别以C、F为圆心，AB、AC为半径画弧，两弧的交点为D，从而得到满足条件的△DCF；（2）先利用全等三角形的性质得到DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，证明MN＝12DF＝BC，再证明△PMN≌△PCB，所以PC＝PM，从而得到PC＝13【解题过程】（1）解：如图，△DCF为所作；（2）解：如图2，∵△DCF≌△ABC，∴DF＝AC＝4，CF＝CB＝2，∠DFC＝∠ACB＝90°，∴DF∥BC，作FP的垂直平分线交PD于N，连接FN，作NH⊥DF于H，如图，∴NP＝NF，MP＝MF，∴∠NPF＝∠NFP，∴∠NDF＝∠NFD，∴ND＝NF，∴FH＝DH∵FH＝MN，∴MN＝FH＝DH＝2，∴MN＝BC，∵MN∥DF，∴MN∥BC，∴∠PMN＝∠PCB，在△PMN和△PCB中，∠MPN=∠CPB∠PMN=∠PCB∴△PMN≌△PCB（AAS），∴PC＝PM，而PM＝MF，∴PC＝13CF＝217．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG．

（1）如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B'关于AD对称，求证：CG=（2）如图