2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲函数的单调性与最大(小)值(知识+真题+8类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第02讲函数的单调性与最大（小）值目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：函数的单调性 3角度1：求函数的单调区间 3角度2：根据函数的单调性求参数 4角度3：复合函数的单调性 4角度4：根据函数单调性解不等式 4高频考点二：函数的最大（小）值 5角度1：利用函数单调性求最值 5角度2：根据函数最值求参数 6角度3：不等式恒成立问题 6角度4：不等式有解问题 7第四部分：典型易错题型 9备注：单调区间容易忽视定义域 9备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较 9备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域 9第五部分：新定义题（解答题） 10第一部分：基础知识1、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．2、函数的最值（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最大值（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最小值3、常用高频结论（1）设，.①若有或，则在闭区间上是增函数；②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.（2）函数相加或相减后单调性：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）增增增减减减增减增减增减（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．第二部分：高考真题回顾1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数的单调性角度1：求函数的单调区间典型例题例题1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·四川宜宾·高一校考期末）函数的单调递减区间是．角度2：根据函数的单调性求参数典型例题例题1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为．角度3：复合函数的单调性典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，则单调递增区间为．例题2．（2024·全国·高一假期作业）函数的单调递减区间是.角度4：根据函数单调性解不等式典型例题例题1．（2024上·福建莆田·高一校联考期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是.例题2．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求在R上的解析式；(2)判断的单调性，并解不等式．练透核心考点1．（2024上·浙江温州·高一统考期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和5．（2024·江苏·高一假期作业）函数的单增区间为（

）A． B．C． D．6．（2024下·全国·高一开学考试）若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为．高频考点二：函数的最大（小）值角度1：利用函数单调性求最值典型例题例题1．（2024下·高二课前预习）函数在上的最大值和最小值分别是（）A．12， B．5， C．5， D．12，例题2．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）函数的定义域为，则值域为（

）A． B． C． D．例题3．（2024上·河南许昌·高一统考期末）已知函数．(1)判断函数奇偶性，并用定义法证明；(2)写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；(3)求函数在上的最大值和最小值．角度2：根据函数最值求参数典型例题例题1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是.角度4：不等式有解问题典型例题例题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例题2．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第四中学校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是.例题3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求实数的取值范围.练透核心考点1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·高一专题练习）函数，的最大值是（

）A． B． C．1 D．23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为．4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.(1)若是奇函数，求实数的值；(2)若，求在上的值域.5．（2024·全国·高一假期作业）已知(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值6．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数.(1)设函数，实数满足，求；(2)若在时恒成立，求的取值范围.7．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数.(1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；(2)若存在，使成立，求实数的范围.8．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数，．(1)求函数在上的值域；(2)若，，使得，求实数的取值范围．第四部分：典型易错题型备注：单调区间容易忽视定义域1．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数的单调增区间是．2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是.备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较1．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知是上的减函数，则实数的取值范围是．2．（2023上·广东深圳·高一校考期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是.备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域1．（2023上·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是．2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是减函数，则满足的x的取值范围是．第五部分：新定义题（解答题）1．（2024上·福建泉州·高一统考期末）给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”.(1)证明：函数对于不具有“确界保持性”；(2)判断函数对于是否具有“确界保持性”；(3)若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.第02讲函数的单调性与最大（小）值目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：函数的单调性 4角度1：求函数的单调区间 4角度2：根据函数的单调性求参数 5角度3：复合函数的单调性 6角度4：根据函数单调性解不等式 7高频考点二：函数的最大（小）值 10角度1：利用函数单调性求最值 10角度2：根据函数最值求参数 12角度3：不等式恒成立问题 14角度4：不等式有解问题 15第四部分：典型易错题型 23备注：单调区间容易忽视定义域 23备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较 24备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域 24第五部分：新定义题（解答题） 25第一部分：基础知识1、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．2、函数的最值（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最大值（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最小值3、常用高频结论（1）设，.①若有或，则在闭区间上是增函数；②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.（2）函数相加或相减后单调性：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）增增增减减减增减增减增减（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．第二部分：高考真题回顾1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D第三部分：高频考点一遍过高频考点一：函数的单调性角度1：求函数的单调区间典型例题例题1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解.【详解】由题意，令，解得，即函数的单调递增区间是.故选：D.例题2．（2024上·四川宜宾·高一校考期末）函数的单调递减区间是．【答案】【分析】根据题意，由条件可得在单调递减，在单调递增，再由复合函数的单调性即可得到结果.【详解】设，由可得，或，则函数，由在单调递减，在单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间是.故答案为：角度2：根据函数的单调性求参数典型例题例题1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围.【详解】因为函数在R上单调递增．所以，解得，即实数a的取值范围是.故选：A．例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为．【答案】【分析】分、和三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解.【详解】若，则在上单调递增，所以函数在上单调递增，符合题意；若，则函数在上单调递增，符合题意；若，则在上单调递减，在上单调递增，则，解得；综上所述：k的取值范围为.故答案为：.角度3：复合函数的单调性典型例题例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，则单调递增区间为．【答案】/【分析】根据二次函数以及指数函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可求解.【详解】由于在单调递减，在单调递增，而函数为上的单调递增函数，所以的单调递增区间为，故答案为：例题2．（2024·全国·高一假期作业）函数的单调递减区间是.【答案】和【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果.【详解】当或时，，对称轴为，当时，，对称轴为，作出的图象如图所示，由图可知单调递减区间为，故答案为：和

角度4：根据函数单调性解不等式典型例题例题1．（2024上·福建莆田·高一校联考期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是.【答案】【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可.【详解】因为偶函数在区间上是增函数，所以在区间上单调递减，不等式等价于，等价于，即，解得，即满足的取值范围是.故答案为：例题2．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求在R上的解析式；(2)判断的单调性，并解不等式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解.（2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.【详解】（1）设，则，当时，，因为，所以，即，又，所以，所以；（2）时，单调递增，又因为函数是定义在R上的奇函数，所以在上是单调增函数，不等式可化为，所以，即，解得或.所以不等式的解集为或.练透核心考点1．（2024上·浙江温州·高一统考期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】由题意只需，由此对比选项即可得解.【详解】由题意当时，单调递减，当时，单调递增，若函数在定义域上是减函数，只需，解得，对比选项可知的值可以是.故选：D.2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.【详解】易知，显然在上单调递增，在上单调递减，因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，所以.故选：A3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.【详解】定义在上的函数，函数为偶函数且在上单调递增，若，则有，即，解得.所以的取值范围为.故选：D4．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B5．（2024·江苏·高一假期作业）函数的单增区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】得出分段函数解析式，即可得解.【详解】.因为，，所以的增区间是．故选：D6．（2024下·全国·高一开学考试）若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】先得到函数在R上单调递增，再根据分段函数单调递增需满足每一段上单调递增，且在分段处，左端点的函数值小于等于右端点的函数值，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得在R上单调递增，由题意得，解得.故答案为：高频考点二：函数的最大（小）值角度1：利用函数单调性求最值典型例题例题1．（2024下·高二课前预习）函数在上的最大值和最小值分别是（）A．12， B．5， C．5， D．12，【答案】C【分析】将函数求导，得到导函数零点，在函数定义域上分析讨论函数的单调性，再考虑区间的端点值，即得函数的最值.【详解】由求导得：，令可解得：或，因，故，由可解得：，由可解得：，故函数在区间上单调递增，在上单调递减，故当时，函数；又，故当时，函数.即函数在上的最大值和最小值分别是.故选:C．例题2．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）函数的定义域为，则值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域.【详解】因为函数的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，可知在内的最小值为，最大值为，所以值域为.故选：A.例题3．（2024上·河南许昌·高一统考期末）已知函数．(1)判断函数奇偶性，并用定义法证明；(2)写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；(3)求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)单调递增区间为和，单调递减区间为和，证明见解析；(3)最大值为10，最小值为6.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义计算即可；（2）利用定义法作差计算函数的单调性即可；（3）利用函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）函数为奇函数．由函数可知其定义域为，关于原点对称，设，有．所以函数为奇函数；（2）函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为和．下面证明单调区间，设，则，若，则，此时，若，则，此时，即在上单调递减，在上单调递增，由函数为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，综上：函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为和．（3）由上可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．则函数在上的最大值为10，最小值为6．角度2：根据函数最值求参数典型例题例题1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围.【详解】解：由题意，在中，∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.故答案为：.例题2．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数在区间上有最小值4，则实数k＝．【答案】4【分析】由函数在上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【详解】解：依题意，，则，当且仅当时，等号成立则，解得．故答案为：4．【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．例题3．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若函数在的最大值为2，则的取值范围是.【答案】【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出．【详解】设，，，因为函数在的最大值为2，，所以，解得：，当时，函数在上先递减再递增，而，所以，，且，即函数在的最大值为2，符合题意；当时，函数在上递减，所以，而，所以函数在的最大值为2，符合题意，综上，．故答案为：角度3：不等式恒成立问题典型例题例题1．（多选）（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（

）A．-2 B．0 C．3 D．7【答案】BCD【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围，得到答案.【详解】当时，恒成立，满足要求，当时，需满足，解得，故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确.故选：BCD例题2．（2023上·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，且，求函数的值域；(2)若，都有，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）配方后得到函数的单调性，从而求出函数的最值，得到值域；（2）转化为在上恒成立，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.【详解】（1）时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，又，故最大值为8，故值域为；（2）在上恒成立，故只需，解得或，故的取值范围是.例题3．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知幂函数在上单调递减.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由幂函数的概念与性质直接列式求解;（2）分离参数，利用基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，则，解得，故（2）由（1）可知，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，因此，实数的取值范围是.角度4：不等式有解问题典型例题例题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，从而根据题意可得或，进而求解即可．【详解】原不等式可化为，令，是关于的一次函数，因为“，”为真命题，所以或，即或，解得或,所以的取值范围为．故选：B．例题2．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第四中学校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是.【答案】【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围.【详解】变形为，故在上有解，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故答案为：例题3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)最大值为170，最小值为(2)【分析】（1）换元后得到，，求出最值；（2）转化为，只需，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到，求出答案.【详解】（1）令，故，当时，取得最小值，最小值为，又，，故的最大值为170，最小值为；（2），即，令，故在上有解，，只需，其中在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，故，解得，故实数的取值范围为.练透核心考点1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求.【详解】，，即，，∴，其中在上单调递减，在上单调递增，其中时，，当时，，故，即，由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”，其他选项均不合要求.故选：A2．（2024·全国·高一专题练习）函数，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可.【详解】，而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，所以在上单调递增，所以当时，函数，有最大值为.故选：B3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为．【答案】【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．【详解】解：函数，即，,，当时，不成立；当，即时，在,递减，可得为最大值，即，解得，成立；当，即时，在,递增，可得为最大值，即，解得，不成立；综上可得．故答案为：.4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.(1)若是奇函数，求实数的值；(2)若，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解；（2）结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）由题意，，，；（2），，，令，，令，，设，，，在上单调递减，，即，同理可证在上单调递增，，即，综上，在上的值域.5．（2024·全国·高一假期作业）已知(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）且，利用作差法证明即可；（2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解.【详解】（1）且，则，因为，所以，又因为，所以，因此，所以在是减函数；（2）由（1）可知，是减函数，所以时，取得最大值为，时，取得最小值为，因为最大值与最小值之差为1，所以，解得.6．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数.(1)设函数，实数满足，求；(2)若在时恒成立，求的取值范围.【答案】(1)0(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解；（2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性．【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，且，则是上的奇函数，从而，因为，所以，得，所以.（2）若，则在上单调递增，因为在时恒成立，所以，解得，所以.若，由可得，当且仅当，即时等号成立，则在上单调递减，在上单调递增.若，则，解得，与矛盾；若，则，解得，所以.综上所述，的取值范围是.7．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数.(1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；(2)若存在，使成立，求实数的范围.【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；(2).【分析】（1）利用单调性定义，令，作差法判断符号，即可得结果；（2）问题化为成立，即可求参数范围.【详解】（1）在区间上单调递增.证明如下：设，则因为，所以，，，即所以，故在区间上单调递增.（2）由（1）可知在上单调递增，所以，当时，取得最小值，即又存在，使成立，所以只需成立，即，解得.故实数的范围为.8．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数，．(1)求函数在上的值域；(2)若，，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数可求得单调性，结合单调性可确定最值，由此可得值域；（2）将问题转化为，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.【详解】（1），当时，；在上单调递减，，；在上的值域为.（2），，使得，；当时，；由（1）知：当时，，，解得：，即实数的取值范围为.第四部分：典型易错题型备注：单调区间容易忽视定义域1．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数的单调增区间是．【答案】【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间.【详解】由题意可知，解得，即函数定义