计算机图形处理技术

第三章计算机图形处理技术

计算机辅助设计与制造

第一节图形变换

♦:♦一、窗口—视区变换

1.窗口：用户在所需要的图形部分区域选定一个观察框。

窗口区：用户指定的任一区域（份

a窗口区用、于或等于用户域"邳户域：程序员用来定义草

图的整个自然空间（初）；人们所要描述的图形均在用户域中

定义；用户域是一个实数域，理论上是连续无限的）

b小于用户域的窗口区网U做用户域的子域。

c窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口

等等

d窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，

在第I层窗口中可再定义第1+1层窗口等等。

计算机辅助设计与制造

2.视图区：任何小于或等于屏幕域的区域视

区；是在图形设备上定义的矩形区域，用于输

出所要显示的图形和文字。(屏幕域(QC)：

设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。)

a视图区用设备坐标定义在屏幕域中

b窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区

的坐标转换。

c视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边

形等。

d视图区也可以嵌套。

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3、窗口与视区的变换

♦:♦简化为：

<T⑴式

=C♦y

1Ysw+d

❖1）当即c时，即X方向的变化与p方向的变化

不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变

形。

♦:*2）当归c=l,左加0则Ys^Yw,图形完全

相同。

♦:♦思考：前面讲的窗口一视图变换时，假设窗口

的边和坐标轴平行，如果窗口的边不和坐标轴

平行呢？

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H

❖A.先让窗口尸Gm转-a角，使它和厂重

合。

❖B.用(1)式进行计算。

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二、二维图形的几何变换

图形变换是计算机图形学基础内容之一。

几何变换，投影变换，视窗变换

线性变换，属性不变，拓扑关系不变。

作用：

♦:♦把用户坐标系与设备坐标系联系起来;

♦:♦可由简单图形生成复杂图形；

。可用二维图形表示三维形体；

。动态显示。

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1、工程图形的齐次坐标矩阵表示

♦:♦所谓齐次坐标表示法就是由〃+1维向量表示一个〃维向

量。如〃维向量(P1/2,..・/〃)表示为一

(hP[hP2,…hPn,h),其中〃称为哑坐标。

♦：♦1、力可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是

唯一的。

♦:♦如普通坐标系下的点(2,3)变换为齐次坐标可以是

(1」.5。5)(4,6,2)(693)等等。

2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”

♦由普通坐标x/z一齐次坐标

由齐次坐标+〃一普通坐标

♦3、当〃=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，

因为前〃个坐标就是普通坐标系下的〃维坐标。

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（X,y）点对应的齐次坐标为（乙，九，力）

3=hx,yh=hy,"0

（x,y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线

、二hx

』二hy

lzh,—h

计算机辅助设计与制造

齐次坐标的作用

1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用

矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从

一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。

2.便于表示无穷远点。

例如：(xxh,yxh,h),令h等于0

3.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平

面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换

成多面体。

4.变换具有统一表示形式的优点

＞便于变换合成

»便于硬件实现

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2、二维图形的基本几何变换

世界坐关于窗窗口到扫描显

学界标系内口的裁_J视区的设＞.一

坐标系的变换剪1变换坐标系转换示

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♦:♦图形变换：对图形的几何信息经过几何

变换后产生新的图形。

♦:♦图形变换的两种形式：

♦:7.图形不变，坐标系改变；

".图形改变，坐标系不变。

♦:♦我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲

的。

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1、二维基本变换-比例变换

p00、

(x*y*1)=(xy1)|0d0|=(<7-xd-y1)

b°d

>以坐标原点为放缩参照点

»当天加1时：恒等比例变换

A当声0>1时：沿方向等比例放大。

A当天水1时：沿x,y方向等比例缩小

A当期加寸：沿工y方向作非均匀的比例变换，图形变形。

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2、二维基本变换-对称变换

।ab0、

(x*y*1)=(xy1)|cd0|={ax+cybx+dy1)

001,

♦当b=d=0,Q=l,d=-l时，(x*y*l)=(x-j/1)：后x轴对称的反射变换。

♦当b=c=0,4=d=-l时，(x*j/*l)=(-x-y1)：与原点对称的反射变换。

♦：♦当b=c=l,a=d=0时，(x*y*l)=(yx1)：与歹=不对称的反射变换。

♦当b=c=-l,Q=d=0时，(x*y*l)=(・y-x1)：与产-x对称的反射变换。

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3、三维基本交换逆转变换

注意；■是逆时针旋转角度。

(x',y')

XX?COS6ZpHBfx.)

y=X7sin6Za

x1=『cos(9+a)=pcosacos3-psinasin3=xcos3-ysin3

y1="sin(8+a)="sinacos9+pcoscrsin0=xsin3ycos3

4、二维基本变换-错切变换

■2）当b=0时，（x*v*1）=（xdx+y1）图形的x坐标不变；

■当表0：图形沿+y方向作错切位移。ABCD-^

A1B1C1D1

■当d<0：图形沿-y方向作错切位移。4BCD一

二维基本变换二错切变换

■2）当b=0时，（x*v*1）=（xdx+y1）图形的x坐标不变；

■当亦0：图形沿+V方向作错切位移。ABCD^A1B1C1D1

■当d<0：图形沿-y方向作错切位移。ABCD-^A2B2C2D2

二维基本变换二错切变换

■3)当bwO且dM时，

上(x*y*1)=(x+bydx+y1)：图形沿x,y两

个方向作错切位移。

■•••错切变换引起图形角度关系的改变，

甚至导致图形发生变形。

5、二维基本变换-平移变换

平移

■平移变换只改变图形的位置，不改变图形

的大小和形状

3、复合变换

♦:♦复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上

的几何变换。

♦:♦注意：任何一个线性变换都可以分解为上述几

类变换。

计算机辅助设计与制造

求点尸(x,y)经第一次平移变换(7x1,7yi),第二次平

移变换(7x2,7y2)后的坐标?(x*,y*)

解：设点Rx,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x，/

1),则

■经第二次平移变换后的坐标为P*(x*y*1)

■・・・变换矩阵为丁尸771・个

■解:设点（X,y）为线段上的任意一点，

点（x'，y'）为点（x,y）放大后的坐标则:

设点(x‘'，y'')为点(x'，y：)经平移后的坐标为：

[x‘'，y'',1]二[x\y\l]T2(10,0)则:

[x",y：品[x,,y\l]T2(10,0)=[X,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令:M=S2(2,2)T2(10,0),则M即为组合变换

■三维其次坐标

■(x,y,z)点对应的齐次坐标为

■标准齐次坐标(x,y,z,1)八

■右手坐标系

在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换

下，对称变换则是以面、线、点为基准的。

-对称于XOY平面

[x1y1z11]=[xy-zl]=[xyz1]

-对称于YOZ平面

[x1y1z11]=-xyzl]=[xyz1

-对称于XOZ平面

[x1y*z11]=[x-yzl]=[xyz1]

-绕X轴变换

空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标

不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。

x'"x

y1=pcos(a+0)=y*cos。-z*sin®

z1=psin(a+0)=y*sin。+z*cos。

■矩阵表示为:

।0cos0sin00

x*y1z*1]=xyz

I0-sin0cos90

0001

■遵循右手法则，即若6〉0,大拇指指向

轴的方向，其它手指指的方向为旋转方

向。

-绕Y轴旋转

此时，Y坐标不变，X,Z坐标相应变化。

x1=psin(a+0)=x^cosO+z*sin6

y1=y

z1=pcos(a+0)=z*cos0-x*sin。

■矩阵表示为

cos00-sin60

100

[x'y,z'1]=[xyz1\°

sin00cos30

0001

'■矩阵表示为:

cos0sin000

0001

第二节计算机辅助绘图

O—、交互式绘图

优3:直观：灵活缺点：速度慢，绘图工作量大、

效率低。

绘图步骤：设置绘图环境或套用模板；交互式绘图、

打印输出。

♦:♦二、程序参数化绘图

几何参数和定位参数。

缺点：要求高，编程工作量大。

计算机辅助设计与制造

参数化设计（Parametric）（也叫尺寸驱动Dimension-

Driven）是利用图形支撑软件提供的尺寸驱动方式进行绘图

（又称参数化绘图），它不仅可使CAD系统具有交互式绘图

功能，还具有自动绘图的功能。

基本思想：以草图形式快速绘制图形，进行尺寸标注，通过

程序准确产生图形。

优点：灵活、高效。

比较先进的图形支撑软件都提供这种功能。尺寸驱动一般是

建立在变量几何原理上的，设计者可以采用“HandFre铲方

式随手勾画出零件的拓扑结构，然后再给拓扑结构添加几何

和尺寸约束，系统会自动将拓乎卜舂构按照给定的约束转换成

零件的几有形状和几何大小。这种方式大大提高了绘图效率,

它也支持极速的概念设计。

一般是由尺寸驱动参数化软件模块在非参数化图形

基础上引入了约束机制实现的。

几何约束和尺寸约束的定义

2、尺寸驱动参数化绘图软件的主要功

台B--

a）草图绘制与整理

b）参数化尺寸驱动

四、参数化图库的使用和建立

利用绘图软件自身带有的标准图形库和建立

用户自己的图形库。

建立图形库的几种途径:

五、工程图的自动生成

三、计算机辅助绘图

计算机辅助绘图是CAD中计算机应用最成熟的领域。计算机辅助绘制二维图

形常用的方法有四种：

第一种是直接利用图形支撑软件提供的各种功能，利用人机交互方式将图形

笔一笔地画出来。比较老式的CAD系统都是采用这种方式，主要缺点是速度慢,

绘图工作量大;

第二种是利用图形支撑软件提供的尺寸驱动方式进行绘图（又称参数化绘

图），比较先进的图形支撑软件都提供这种功能。这种方式大大提高了绘图效率,

它也支持快速的概念设计；

第三种是利用图形支撑软件提供的二次开发工具，将一些常用的图素参数化,

并将这些图素存在图库中。绘图时，根据需要从图库中按菜单调用有关图素，并

将之拼装成有关的霄件图形。由于图素已经参数化，可以方便地修改尺寸。这种

利用参数化图素拼囊成零件的绘图方法可以极大地提高绘图我率。

第四种方法是采用三维造型系统完成零件的三维立体模型，然后采用投影和

剖切方式由三维模型生成二维图形，最后抖对二维图形进行必要的修改和补充并

标注尺寸、公差和其它技术要求。目前比较先进的CAD系统都具有孜种功能。这

是最为理想的绘图方法。这种绘图方式一般均可提供相关修改功能。在计算机辅

助绘图系统中，要特别重视尺寸、公差和其它技术要求的标注问题，标注不仅繁

琐、工作量大，而且容易出错（遍标、错标、重复标）。据统计，绘图工作量的

40—60%是各种标注。所以，计算机辅助绘图的研究和应用重点应放在标注上。

___--

■曲面造型是计算机图形学和计算机辅助几宿设计90mpliter

AidedGeometricDesfgn）的一项重要内容，也是

CAD/CAM作业中的一顼箪要的技术基础。

■主要研究在计算机图象系统的环境下对机械设计与制造中常

常遇到各种形状复杂的外形表面（曲面）的表示、设计、显

示和分析。它肇源于飞机、船舶的外形放样工艺，由Coons、

Bezier等大师于六十年代奠定理论基础。经三十多年发展，

现在它已经形成了以Bezier和B样条方法为代表的参数化特

一-征设整计和疆隐式辘代数神曲面龌表示慨这两:类W方A法P为Pr主o体x，im以a适^值

（Interpolation）、拟

三种季段为骨架的几

■介绍Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面的

构造描述方法。

1、曲装曲面的数学表示形声

2、参数曲线定义及其切矢量、法矢量和曲率

3、曲线段间连续性定义

参数连续性的判断标准：参数连续和几何连续一

__

4、参数曲面的定义

♦:♦二、Bzier曲线曲面

由于几何外形设计的要求越来越高，传统的曲线曲面

表示方法，已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺

汽车公司的PEBezier构造了一种以逼近为基础的参

数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种

称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该

系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表

示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工

具一样得心应手。

♦:7、Bezier曲线的定义和性质

定义：给定空间个点的位置矢量Pi(i=0,1,

2,…，〃)，则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公

式是：

计算机辅助设计与制造

2、常见的几种Bezier曲线

2）二次Bez⑥r曲线

3）三次Bezier曲线

如下图三次Bezier曲线所示。

■3、Bezier曲线的几何特性

(3)一兀何不变性

’(4》全局控制性

■4、Bezier曲线的拼接

几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲

优。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会

引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来

计算上的困难用中L般不超过10次。所以

有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，

并在接合处保持一定的连续条件。

■一•坐JBbzrerffi线的对所^我11」卫I以胃，|史地叫,

可以给出Bezier曲面的定义和性质；B3z宿i呻

线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲

面的情况。

■1.定义

般实际应用中，“，m不大于4。

设备.(01・、幻=01•:⑼为8+1)X(加+1)个空间点列,则加X冏次

张量积形式的加zier曲线为：

E3,V）=££月遇洸@»*（＞）w,ve[o,i]

2-0J-0

其中4万3)=qy(1-访z,(v)=C“，(1-》厂/是庆ms初冏基函数◎

依次用线段连接点列号.QL…"J=o1…〃)中相邻两点所形成的空间

网格，称之为特征网格。虎刀那曲面的矩阵表示式是:

・♦::,・・・".」・・・・・

^00

尸"v)=[鸟霜@),,、必或@)]尸10

2.性质

■(1)Bezier曲面特征网格的四个角市正好是Bdzier

曲面的四仝角点，即P(O,O)=Poo,P(1,O)=PmO,

P(O,1)=Pon,P(1,1)=Pmno

■(2)Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier

曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨鼻切央只与

定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且

PooPwPoi、PonPlnPo,n-1>PmnPm,n-^Pm-A,n^PmOPm-

1,0尸向(下图打上斜线的三角形)；其跨界三阶导矢

只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。~"

■(3)几何不变性。

■(4)对称性。

■(5)凸包性。

P(u,l)

P(0,v)

P(0,0)=PQOP(U＞。)P(1,0)=P3O

图双三次Bezier曲面及边界信息

--1~~-'一.I▼―h••▼・-F「1「F--•'■,

有许多优越性，但丽舌不苦比f-

Bezier曲线或曲面不能作局部修改；其二是

Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。1972年,

Gordon等人提出了B样条方法，在保留

Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方

法的弱点。

HB样条峥的定义11ap

与Bezier曲线得定义方法类似，B样条曲线方程

定义为：

映)=2:4")

2=0

口其中，尸炉01…〃)是控制多边形的顶点，

M,k(f)(/三01…〃)称为k阶(卜1次)B样条基函数，其中每

「个称为B样条，它是一个称为节点矢量，即非

递减的参数隰列北弱"4册斯决定的上阶分段多项式，也即为上阶

书中该递推公式表明：欲确定第/个k阶B样条

Ni,k(u),需要用到uw+i,…,U/+K共k+1个节点，称

区向［Ui,UHk］为M,k(U)的支承区间。曲线方程中，

〃+1个控制顶点R.(/三0,1,…4)，要用到〃+1个林介

B样条M,k(u)。它们支撑区间的并集定义了这一

组B样条基的节点矢量U寸0用,…，加小

■2、B样条曲线的节点矢量和定义域

3、均匀的诉条曲线一一=

11二次8样条曲线

2）二次B样条曲线

3）三次B样条曲线

几何特征；

4、B样条曲线取几何性质

1）局部性

2）连续性

3）几何不变性

4）凸包性

设乎亩内C+1个控制顶点尸0尸1,…尸〃构成B样条曲线尸⑴

的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与尸（。的交

点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。

7）直线保持性.一

控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。

缩减性

设平面内〃+1个控制顶点尸O,PI,…尸〃构成B样条曲线尸⑹

的特征•多邱丁在该平面内的任意一条直线与尸⑴的交

点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。

二5、Bj1条曲线控帝画点的反算

隔6、B样条曲面

四、N