专题35几何中的动点问题

几何中的动点问题1．（2023•耿马县一模）如图，在中，，、分别为、的中点，连接并延长至点，且，点为直线上的一个动点．（1）求证：四边形为菱形．（2）若，菱形的面积为24，求的最小值．【解答】（1）证明：是的中点，，，四边形是平行四边形，、分别为、的中点，，，，，四边形为菱形；（2）解：四边形为菱形，、关于对称，当为与的交点时，最小，最小值为的长，过作交的延长线于点，，菱形的面积为24，，，，，．2．（2023•浦东新区二模）已知：的直径，是的中点，是上的一个动点（不与点、、重合），射线交射线于点．（1）如图1，当时，求线段的长；（2）如图2，当点在上运动时，连接、，中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．【解答】（1）解：如图1，连接、、，是的中点，是半径，，，，，，，，，，，，．（2）不变，．如图2，连接，是的中点，，是的直径，，，，．（3）解：①如图3，当点在的延长线上时，，，，是的中点，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，．②如图4，当点在上时，过点作于，，，，，，，，设，，，，由得，，，，，，，③如图5，当点在上时，，长度与②中相同，，，综上得，与面积的比值为：或或．3．（2023•新抚区三模）如图，在矩形中，是射线上的动点，连接，，分别为，的中点，连接，，，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，当时，直接写出的长．【解答】（1）证明：为的中点，，四边形是矩形，，，在和中，，，；（2）证明：延长、交于点，如图所示：四边形是矩形，，，，为的中点，，在和中，，，，，由（1）得：，，，，在和中，，，；（3）过作于，则四边形是矩形，，，，，由（2）知，．4．（2023•长沙模拟）如图，为的直径，弦于点，且为的中点，交于点，若，，动点是上一点，过点作的切线，交的延长线于点．（1）求的长；（2）连接，求证：；（3）当动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．【解答】（1）解：为的中点，弦于，，，，，（2）证明：连接，，，交于点，，，，，，，，，，是的中位线，，为的直径，，；（3）解：的值不变．理由：如图2，连接，则，，，，，同理，则，，由（1）知，设，则，故，解得：，故，即，．当点与点重合时：，当点与点重合时：，当点不与点、重合时：连接、、、，，，，，，．综上所述，的比值不变，比值为．5．（2023•张店区一模）如图1，边长为的正方形中，点为边上一个动点，连接，作于点，交边于，交边于．（1）求证：；（2）如图2，连接，线段交于点，点为的中点．①当时，求的长；②线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：过点作，交于点，交于点，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，；（2）解：①连接，，，，，又点为的中点，垂直平分，，正方形关于对称，，，点，，在以点为圆心为半径的圆上，四边形是正方形，，，，，，；②存在最小值和最大值，的最小值为，最大值为2，理由：由①知，是正方形的对角线，，当点和点重合时，，此时最小，最小值，当点和重合时，，此时最大，最大值．6．（2023•许昌一模）（1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，，求证：．小华同学给出了如下的部分证明过程．证明：延长到点使，连接，四边形是正方形，，，在和中，，请你完成剩余的证明过程．（2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了和两个条件，请求出正方形的边长．（3）拓展探究：如图2，在边长为6的正方形中，点在的延长线上，，连接交于点，动点在边上，动点在线段上（点与、不重合），且，连接并延长，交射线于点，设，请直接写出的取值范围．【解答】（1）证明：如图1中，延长到点使，连接，正方形，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．（2）解：由（1）可得，设正方形的边长是，在中，，，，，解得，（舍去），正方形的边长是6；（3）解：过点作交的延长线于，过点作于，则，，，，，，，，，设，则，，，，解得或（舍去），，动点在线段上（点与、不重合），，．7．（2023•慈溪市一模）【证明体验】（1）如图1，在中，为边上一点，连结，若，求证：．（2）在中，，，，为边上一动点，连结，为中点，连结．【思考探究】①如图2，当时，求的长．【拓展延伸】②如图3，当时，求的长．【解答】（1）证明：，，，，．（2）解：①如图，延长至，使，连接，则为的中点，为中点，是的中位线，，，，，，，，，，在中，，，，则，，，设，则，，，解得：，，，不符合题意，舍去，的长为2．②如图，延长至，使，连接，过点作于点，则为的中点，为中点，是的中位线，，，，，由①知，，，，，，，，设，则，，，，在中，，，，，，，，在中，，即，解得：，，，不符合题意，舍去，的长为．8．（2023•靖江市模拟）如图，在矩形中，．点、分别在、上，四边形为菱形．（1）利用尺规作图在图1中作出菱形（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，动点从点出发沿射线方向运动，同时，动点从点出发沿射线方向运动，且、两点运动速度相同，、相交于点．①求的度数．②连接，线段长度的最小值为．【解答】解：（1）如图，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，则四边形是菱形；（2）连接，，，四边形是菱形，，，，，，，，，，和都是等边三角形，，，，、两点运动速度相同，，，，；②，，如图，延长至，使，连接，作的外接圆，连接，，，，，是等边三角形，，，点在圆上运动，当点在线段上时，有最小值，，，，，，，，，的最小值为，故答案为：．9．（2023•延庆区一模）如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点（不与点，重合），连接交于点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．（1）如图1，当是的角平分线时，①求证：；②直接写出45．（2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【解答】（1）①证明：在中，，，，是边上的高，，，是的角平分线，，，，，．②解：如图1，过点作于点，交的延长线于点，则，，是等腰直角三角形，，，，，由旋转的性质得：，，．，，，故答案为：45；（2）解：依题意补全图2，，证明如下：过点作于点，交的延长线于点，则，，是等腰直角三角形，，，，，，由旋转的性质得：，，．，，，，，．10．（2023•南关区校级模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线向点运动，在、上的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．连结、，设点的运动时间为秒．（1）线段的长为；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）当为钝角时，求的取值范围；（4）做点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值．【解答】解：（1）如图1中，过点作于点．，，，，，，．故答案为：．（2）当时，．当时，．综上所述，；（3）如图1中，当时，，，，此时．如图2中，当时，，，此时，观察图形可知满足条件的的值为：或．（4）如图3中，当时，过点作于点．设，则，，，，．如图4中，当时，过点作于点．设，则，，，，．综上所述，满足条件的的值为或．11．（2023•宜兴市一模）如图，矩形中，，．点在上运动（点不与点、重合）将沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处（包括矩形边界）．（1）求的取值范围；（2）连接并延长交矩形的边于点，当时，求的长．【解答】解：（1）当落在上时，的长度达到最大，四边形是矩形，，，，沿直线翻折，，，，，，，，，，，的取值范围是；（2）如图，将沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处，，，，，，，，设，，过作于，将沿直线翻折，使得点落在矩形内的点处，，，，，，，，，为的中位线，，在中，，，解得，（不合题意舍去），．12．（2023•鄞州区校级一模）（1）特殊发现如图1，正方形与正方形的顶点重合，、分别在、边上，连接，则有：①；②直线与直线所夹的锐角等于度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、，①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若、、三点在同一直线上，且过边的中点，，直接写出的长；（3）拓展延伸如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．【解答】解：（1）①连接，，如图，四边形和四边形为正方形，，，，三点在一条直线上．，，和为等腰直角三角形，，，，；②，，三点在一条直线上，，直线与直线所夹的锐角等于．故答案为：；45；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由：连接，，如图，四边形和四边形为正方形，，，和为等腰直角三角形，，，，，，，；延长，交于点，交于点，，．，．，即直线与直线所夹的锐角等于，（1）中的结论仍然成立；②连接，，如图，四边形为正方形，．由①知：，．边的中点为，．在和中，，，，，．故答案为：；（3）的值是定值，定值为3，理由：过点作于点，连接，，，与交于点，如图，四边形为正方形，，由折叠的性质可得：，，，．，，．，．，，．为等腰直角三角形，，，，．由（2）①的结论可得：，，，．，，，，，．，的值是定值，定值为3．13．（2023•金寨县一模）如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含，两点），将沿直线翻折，点落在点处，在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，．（1）求证：；（2）求的周长；（3）求线段长度的最小值．【解答】证明：（1），，，，，，，，，四边形是正方形，，，．（2）将沿直线翻折，点落在点处，，，，且四边形是正方形，，，又，，，的周长为：；所以的周长为4．（3）设，则，，，，作于，，最小时最小，，时，最小值，的最小值，所以，线段长度的最小值为．14．（2023•郁南县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点，其中，，动点从点出发，以的速度在上向点运动，动点同时从点出发，以的速度在上向点运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是．（1）请直接写出，的长度；（2）当为何值时，与相似；（3）记的面积为，求出与的函数表达式，并求出的最小值及此时的值．【解答】解：（1）四边形是矩形，，，，（2），或，当时，，，，当时，，，，综上所述：或；（3）如图，作于，于，四边形是矩形，，，，，，，同理可得：，，，，，，当时，最大值为．15．（2023•衡山县二模）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．例2如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．证明：延长至点，使，连结、．（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（2）【应用】如图②，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么．（3）【拓展】如图③，在等腰直角三角形中，，，是边中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点所经过的路径长是多少？【解答】（1）证明：延长到，使，连接，，则，是斜边上的中线，，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，，；（2）解：如图2中，设交于点．，，，，由翻折的性质可知，，，，，，，，，，，，故答案为：；（3）过点作，，如图，，，．是边中点，，同理：，，．四边形为正方形，．，，．．在和中，，．．为等腰直角三角形，当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线，即所经过的路径为，，，的中点所经过的路径长为．16．（2023•长春一模）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线于点，连结，将绕点逆时针旋转得到．设点的运动时间为（秒．（1）4．（2）用含的代数式表示线段的长．（3）当点落在边上时，求的值．（4）当与重叠部分为三角形时，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）在中，，，，，．故答案为：4；（2）如图中，当点在线段上时，，，，．如图中，当点在线段上时，．，，综上所述，；（3）如图2中，当点落在上时，，，，解得，时，点落在上；（4）如图3中，当点落在边上时，，，解得，．观察图象可知当时，点落在内部．综合（3）（4）可知，当或在内部时，与重叠部分为三角形，当点与重合时，，解得，满足条件的的值为：或．17．（2023•鹿城区校级一模）如图1，在中，，，．点为的中点，过点作射线交于点，点为射线上一动点，过点作于点，点为边上一点，连结，且满足，设，．（1）求线段的长；（2）求关于的函数表达式；（3）如图2，连结．①当为等腰三角形时，求的值．②以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得线段，当点落在边上时，求的值．【解答】解：（1）过点作于点．，，，，在中，，，点为的中点，；（2），，，，，，，，，，．（3）①分三种情形：当时，，．当时，过点作于点，则，，，，．当时，过点作于点，则，．，，．综上所述，满足条件的的值为6或或；②如图，过点作交的延长线于点．，，，，，，，，，，．18．（2023•涡阳县模拟）如图，中，，，为边上一动点（不与、重合），和的垂直平分线交于点，连接、、和，与相交于点，设．（1）请用含的代数式表示的度数；（2）求证：；（3）若，求的值．【解答】（1）解：和的垂直平分线交于点，，，，，，，，，，；（2）证明：，，，和的垂直平分线交于点，，，，，即，，，，，，，，，；（3）解：当时，，，，，，，，设，则，，，．19．（2023•金华模拟）如图，在中，，，．点是直线上一动点．过点作，满足点在上方，，以、为邻边作．（1）求的长以及点到的距离．（2）设线段与边交于点，线段与边交于点．当时，求的长．（3）连结，沿直线分割四边形，当分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，求的长．【解答】解：（1）如图1，作于，，，，；（2）如图2，设和交点，作于，四边形是平行四边形，，，，，，，同理可得：，，可设，，，，，，由得，，，；（3）如图3，当点在上时，当经过点时，和可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，即是上的高，，，，如图4，当点在的延长线上时，作于，由上可知：，当时，，，，此时点是的中点，和四边形可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，，如图5，当点和点重合时，分四边形成的和四边形可以拼成一个不重叠无缝隙的等腰三角形，此时，综上所述：或或10可以分四边形分割的两部分可以拼成一个不重叠无缝