第8讲平面直角坐标系与函数基础知识

第8讲平面直角坐标系与函数基础知识考法一：平面直角坐标系1．（2022·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】∵a2⩾0，∴a2+1⩾1，∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限．故选B.2．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1，∴，在Rt△BCD中，，在Rt△AOB中，，∵OB＋BD＝OD＝m，∴，化简变形得：3m4−22m2−25＝0，解得：或（舍去），∴，故C正确．故选：C．3．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________.【答案】【解析】解：如下图所示：马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为，故答案为：．4．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________．【答案】（3，0）【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴OA=BC=3，∴点A的坐标是（3，0），故答案是：（3，0）．5．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．【答案】(1)k的值为，的值为6(2)或【解析】（1）解：把代入，得．∴．把代入，得．∴．把代入，得．∴k的值为，的值为6．（2）当时，．∴．∵为x轴上的一动点，∴．∴，．∵，∴．∴或．1．有序数对（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．2．点的坐标特征点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限﹢+第二象限+第三象限第四象限+x轴上正半轴上+0负半轴上0y轴上正半轴上0+负半轴上0原点003．轴对称（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（x，y）．4．中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（x，y）．5．图形在坐标系中的旋转图形（点）的旋转与坐标变化：（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，x）；（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（x，y）；（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（y，x）；（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（x，y）．6．图形在坐标系中的平移图形（点）的平移与坐标变化（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（xa，y）；（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，yb）．1．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知，，，若点D使得，则点D的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：当四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角相等有，∴，点B向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点C，∴将点A向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点D，∴D点的坐标可能为，故选：A．2．（2022·江苏徐州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点在y轴上，连接AB、BC．若，则m的值为（

）A．4 B． C．5 D．【答案】A【解析】过点作轴于点，设与轴交于点，如图，则点，设过点的直线解析式为：，，解得，直线的解析式为，，，，，，，，，，，，即．故选A．3．（2022·江苏徐州·统考二模）如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD=OA=3，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM==CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=3，OD=3，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，∴OM=CD=，即OM的最大值为；故选A4．（2022·江苏盐城·校考三模）已知点A在第二象限，到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，点A的坐标为______．【答案】【解析】解：点A在第二象限，到x轴的距离是5，到y轴的距离是6，点A的坐标为：(6,5)，故答案为：(6,5）．5．（2022·江苏南京·南京市花园中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为_____．【答案】2，（3，2）【解析】解：如图，∵AC∥x轴，∴y=2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值=42=2，此时点C的坐标为（3，2），故答案为：2，（3，2）．考法二：函数的基础知识1．（2020·江苏无锡·统考中考真题）函数中自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由已知，3x﹣1≥0可知，故选B．2．（2020·江苏南通·统考中考真题）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2【答案】C【解析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式得：y＝，解得EH＝AB＝6，∴BH=AE=8,由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，∴ED=4,∴BC=AD＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．故选：C．3．（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），△ABC和△A′B′C′是两个边长不相等的等边三角形，点B′、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则△ABC的边长是___．【答案】5【解析】解：当点B'移动到点B时，重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B'C'＝a，，过点A'作A'H⊥B'C'，则A'H为△A'B'C'的高，∵△A'B'C'是等边三角形，∴∠A'B'H＝60°，∴sin60°＝，∴A'H＝，∴，即，解得a＝﹣2（舍）或a＝2，当点C'移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC＝a＋3＝2＋3＝5，∴△ABC的边长是5，故答案为5．4．（2022·江苏南通·统考中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示．(1)写出图中点B表示的实际意义；(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求a的值．【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等(2)，(3)80【解析】（1）解：由图可知：B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．（2）解：由图可知：过，，设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，∴，解得：，∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：；当时，乙函数图象过，，设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，∴；当时，乙函数图象过，，设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，∴；综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为；（3）解：甲的利润为：，乙的利润为：∴当时，甲乙的利润和为：，解得（舍去）；当时，甲乙的利润和为：，解得；∴当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．5．（2022·江苏盐城·统考中考真题）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发，两人离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数关系如图所示．(1)小丽步行的速度为__________m/min；(2)当两人相遇时，求他们到甲地的距离．【答案】(1)80；(2)960m【解析】（1）解：由图象可知，小丽步行30分钟走了2400米，小丽的速度为：2400÷30=80(m/min)，故答案为：80．（2）解法1：小丽离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数表达式是，小华离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数表达式是，两人相遇即时，，解得，当时，（m）．答：两人相遇时离甲地的距离是960m．解法2：设小丽与小华经过min相遇，由题意得，解得，所以两人相遇时离甲地的距离是m．答：两人相遇时离甲地的距离是960m．1.函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对函数定义的理解，主要抓住以下几点：①有两个变量．②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同。④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数。2.函数取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．3.函数解析式及函数值（1）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x1表示y是x的函数，若x=2y1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．（2）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．4.函数的图象及其画法一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．5.函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．1．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）将一根长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为，底边长为，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由已知得，由三角形三边关系得：，解得：，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D．2．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）函数自变量x的取值范围是（

）．A． B． C．且 D．【答案】C【解析】解：由题意得，解得且，故选：C．3．（2022·江苏南通·统考二模）如图1，点P从正方形ABCD的顶点A出发，沿折线移动到点C停止．设点P移动的路径长为x（cm），PD与PB的差为y（cm）．若y与x的对应关系如图2所示，则图2中的值是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【解析】解：∵当与点重合时候取得最大值4，当到达点时，，连接，如图，∴，设正方形的边长为，则，解得，．故选B．4．（2022·江苏淮安·淮阴中学新城校区校联考二模）如图1，正方形和正方形的对角线都在直线l上，将正方形沿着直线l从点D与点E重合开始向右平移，直到点B与点G重合为止．设点D平移的距离为x，两个正方形重合部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则正方形的边长为___________．【答案】【解析】解：根据题意和图像的变化情况，可知，∴，∴，∴，∴，故答案为：．5．（2022·江苏盐城·校考三模）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示．(1)A、B两地之间的路程是____________，a的值为____________；(2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)当两车相距70千米时，x的值为____________．【答案】(1)340，；(2)；(3)或或．【解析】（1）解：由图可知：甲乙两地相距340千米，设甲车的速度为，乙车速度为：，由题可得：，解得：，∴，故答案为：340，；（2）解：由图可知：甲到B点的时间为：（小时），故，甲到B点的时间为：（小时），故，设线段的解析式为：，将，代入可得：，解得：，∴线段的解析式为：．（3）解：设时间为x时，两车相距70千米，则当两车未相遇前：，解得：；当两车相遇后：，解得：；当甲车返回时：，解得：；综上所述：或，．故答案为：或或．一、单选题1．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：点的坐标为，，四边形是正方形，，，，连接，如图：由勾股定理得：，由旋转的性质得：，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，，，，，，，，，发现是8次一循环，则，点的坐标为，故选：A．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考）如图，A（，1），B（，4），C（，4），点P是边上一动点，连接，以为斜边在的右上方作等腰直角，当点P在边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】解：如图，由题意，点P在的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是．A（，1），B（，4），C（，4），，，，，，，，，同法可得，，，，点Q的轨迹形成的封闭图形面积．故选：B．3．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考）如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则长的最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】解：如图，连接，∵，，∴，若要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，∴，∵，∴，∴，故选：C．4．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM=，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3．∴OM的最大值．故选：A．5．（2022秋·江苏南通·九年级校考）如图，在矩形中，，点同时从点B出发、终点都是点D．速度都是，点P的运动路径是，点Q的运动路径是．设线段与左侧矩形的边围成的阴影部分面积为S，则面积S与运动时间t之间的函数图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：当时，点P在上，点Q在上，此时阴影部分为，由题意：，∴．此时的函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分；当时，点P在上，点Q在上，此时阴影部分为直角梯形，如图，由题意：，∴，此时的函数图象为直线的一部分，是一条线段；当时，点P在上，点Q在上，此时阴影部分为五边形，如图，由题意：，∴，此时的函数图象为抛物线的一部分，综上，面积S与运动时间t之间的函数图象为：A．故选：A．6．（2022秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵，，，∴BC=，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵，∴CH=4.8，∴AH=，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=；故选：D．二、填空题7．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是_________.【答案】【解析】由题意得，，解得．8．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，A，B，C，D四给点的坐标分别为，，，．若线段绕某点旋转一个角度后可以得到线段，则这个旋转中心的坐标是____．【答案】或【解析】解：分两种情况：当旋转后点A与点D重合，点B与点C重合时，连接，，作、的垂直平分线、相交于M，则点M就是所要求作的旋转中心；当旋转后点A与点C重合，点B与点D重合时，连接，，作、的垂直平分线、相交于，则点就是所要求作的旋转中心；由，，，，建立平面直角坐标系，再由平面直角坐标系得旋转中心为或，如图所示：故答案为：或．9．（2022·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，点在直线上，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________．【答案】，，【解析】解：∵点在直线上，∴设D（n，1），∵，，，∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：①若四边形ABCD为平行四边形，对角线中点坐标为：或，∴，解得：，∴D（，1），②若四边形ADBC为平行四边形，对角线中点坐标为：或，∴，解得：，∴D（0，1），③若四边形ABDC为平行四边形，对角线中点坐标为：或，，∴，解得：，∴D（2，1），故答案为：或或．10．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图，以O当原点建立坐标系，若黑子A坐标与和白子B的位置如图所示，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为_______的位置处．【答案】（3，7）或（7，3）【解析】解：根据题意得，白子B的坐标为（5，1）；因为白方已把（4，6），（5，5），（6，4）三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即（3，7）或（7，3），故答案为：（3，7）或（7，3）．11．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考）如图（1），点P是直径为AB的半圆O上一动点（可以与点A，B重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接PA．设PA＝x，PD＝y，图（2）是点P运动过程中y与x之间的函数关系的图像，其中M为曲线的最高点，则mn的值为_______．【答案】4【解析】解：由图像得AB＝4，∴圆O的半径为2，当点D和点O重合时，PD最大，此时PD为圆O的半径，∴y＝2，当y＝2时，x＝＝＝2，∴点M的坐标为（2，2），即m＝2，n＝2，∴mn＝4，故答案为：4．12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是_____：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时，速度为0m/s；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．【答案】②③【解析】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；④设函数解析式为：，把点O（0，0）代入得：，解得，∴函数解析式为，把h=30代入解析式得，，解得：t=4.5或t=1.5，∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；故答案为：②③；13．（2022·江苏扬州·校联考三模）在△ABC中，AH⊥BC于点H，点P从B点出发沿BC向C点运动，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图1），而y关于x的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当△ABP为锐角三角形时x的取值范围为______．【答案】1＜x＜4【解析】解：根据题意，AB＝2，点A到BC的距离为，即AH＝，此时P到达点H，BP＝1．当点C与点H重合时，△ABP为直角三角形．则C在H右侧时，△ABP为锐角三角形．当∠BAP＝90°时，∠BAH＋∠CAH＝90°，∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴∠CAH＋∠C＝90°∴∠BAH＝∠C∴△AHB∽△PHA，∴，∴AH2＝BH•HP，∴（）2＝1•HP，∴HP＝3，∴BP＝4，当△ABP为锐角三角形时，1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4．14．小淇利用绘图软件画出函数的图像，下列关于该函数性质的四种说法：①图像与x轴有两个交点；②图像关于原点中心对称；③最大值是3，最小值是；④当时，y随x的增大而减小．其中，所有正确说法的序号是____．【答案】②③④【解析】解：①图像与x轴有三个交点，故①错误；②图像关于原点中心对称，故②正确；③当时，，时，，∴函数得最大值是3，最小值是，故③正确；④当时，y随x的增大而减小，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题15．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考）已知如图：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出向下平移个单位长度得到的；(2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为：；(3)的面积是平方单位．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【解析】（1）如图所示，即为所求（2）解：如图所示，即为所求，（3）．16．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．(1)若的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为________；(2)的外接圆与x轴的另一个交点坐标是________；(3)的外接圆的弧的长是________．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：如图所示，是的垂直平分线，直线是的垂直平分线，直线与线段交于点故答案为：（2）解：如（1）图，连接，以点M为圆心，以长为半径作圆，交轴于另一点，故答案为：（3）解：如（1）图所示，连接，作，垂足为点，，垂足为点，在和中，∴∴∵∴∵∴弧的长为故答案为：17．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期末）校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为6m．(1)把该桥孔看作一个二次函数的图像，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；(2)施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，图中每个立柱之间距离相等，请你计算模型中左侧第二根立柱（AB）的高．【答案】(1)（建系的方式不同，则答案不定）；(2)【解析】（1）以桥孔正上方中心为原点O，过原点的水平线为x轴，过原点的垂线为y轴建立直角坐标系，如图，设这个二次函数的解析式为，根据桥孔的跨径为8m，拱高6m，可知二次函数过点(4,6)和(4,6)两个点，将(4,6)代入，有6=16a，解得：，即这个二次函数的解析式为；（2）根据每根立柱的间距相等，由图可知B点坐标为(2,6)，A点的横坐标与B点相等也为2，即将x=2代入得，即A点坐标为：，即，即模型中左侧第二根立柱AB的高度为．18．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(